河南省中原名校2024屆數學高二下期末教學質量檢測試題含解析

河南省中原名校2024屆數學高二下期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數，則復數的模為（）A．2 B． C．1 D．02．設為兩個隨機事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨立事件；（3）若，，，則為相互獨立事件；（4）若，，，則為相互獨立事件；（5）若，，，則為相互獨立事件；其中正確命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．43．我國古代數學名著九章算術中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐現有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．4．六位同學排成一排，其中甲和乙兩位同學相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種5．設地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．6．等差數列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．27．已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中，的圖象大致是（）A． B． C． D．8．設P，Q分別是圓和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A． B．C． D．9．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題10．若函數對任意都有成立，則（）A．B．C．D．與的大小不確定11．設集合，，，則中的元素個數為（）A． B． C． D．12．已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，使”是假命題，則實數的取值范圍為__________.14．向量經過矩陣變換后的向量是________15．如圖所示，滿足如下條件：①第行首尾兩數均為；②表中的遞推關系類似“楊輝三角”.則第行的第2個數是__________．16．若，，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（本小題滿分12分）在等比數列中，.(1)求；(2)設，求數列的前項和.18．（12分）函數．當時，求函數的極值；若，設，若存在，使得成立，求實數a的取值范圍．19．（12分）已知平面直角坐標系xOy，直線l過點P0,3，且傾斜角為α，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為（1）求直線l的參數方程和圓C的標準方程；（2）設直線l與圓C交于M、N兩點，若PM-PN=2，求直線20．（12分）已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側面積與體積；（2）若為線段的中點，求與平面所成角的大小.21．（12分）隨著我國互聯(lián)網信息技術的發(fā)展，網絡購物已經成為許多人消費的一種重要方式，某市為了了解本市市民的網絡購物情況，特委托一家網絡公司進行了網絡問卷調查，并從參與調查的10000名網民中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到了下表所示數據：經常進行網絡購物偶爾或從不進行網絡購物合計男性5050100女性6040100合計11090200（1）依據上述數據，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該市市民進行網絡購物的情況與性別有關？（2）現從所抽取的女性網民中利用分層抽樣的方法再抽取人，從這人中隨機選出人贈送網絡優(yōu)惠券，求選出的人中至少有兩人是經常進行網絡購物的概率；（3）將頻率視為概率，從該市所有的參與調查的網民中隨機抽取人贈送禮物，記經常進行網絡購物的人數為，求的期望和方差.附：，其中22．（10分）如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.（Ⅰ）求證：.（Ⅱ）試問：當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據復數的除法運算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點撥】本題考查復數的除法運算和復數模的求法，解題的關鍵是正確求出復數，屬于基礎題．2、D【解題分析】

根據互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤；根據相互對立事件的概率和為1，結合相互獨立事件的概率滿足，可判斷（2）、（3）、（4）、（5）的正誤.【題目詳解】若為互斥事件，且，則，故（1）正確；若則由相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（2）正確；若，則由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（3）正確；若，當為相互獨立事件時，故（4）錯誤；若則由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（5）正確.故選D.【題目點撥】本題考查互斥事件、對立事件和獨立事件的概率，屬于基礎題.3、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．4、C【解題分析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個同學看成5個整體進行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學相鄰的排法有種.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查排列組合的應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.5、D【解題分析】

根據緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案?！绢}目詳解】設球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設A,B兩地間的徑度差的弧度數為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．【題目點撥】本題涉及到了地理相關的經緯度概念。學生需理解其基本概念，將題干所述信息轉換為數學相關知識求解。6、D【解題分析】

求導，根據導數得到a2,a4030是方程x【題目詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數f∴l(xiāng)og2【題目點撥】本題考查了等差數列的性質，函數的極值，對數運算，綜合性強，意在考查學生的綜合應用能力.7、C【解題分析】

根據圖象：分，，，，四種情況討論的單調性.【題目詳解】根據圖象：當，所以遞增，當，所以遞減，當，所以遞減，當，所以遞增，故選：C【題目點撥】本題主要考查導數與函數的圖象間的關系，還考查了數形結合的思想和理解辨析的能力，屬于?？碱}.8、C【解題分析】

求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離.【題目詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設，則，即，∴當時，，故的最大值為.故選C.【題目點撥】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點到圓的最大距離是這個點到圓心的距離與圓的半徑之和，根據圓外點在橢圓上，即可列出橢圓上一點到圓心的距離的解析式，結合函數最值，即可求得橢圓上一點到圓上一點的最大值.9、D【解題分析】

根據逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關系，結合充要條件的判定可知正確；根據復合命題的真假性可知錯誤，由此可得結果.【題目詳解】選項：根據逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.10、A【解題分析】

構造函數，利用導數可判斷g（x）的單調性，由單調性可得g（ln3）與g（ln5）的大小關系，整理即可得到答案．【題目詳解】解：令，則，因為對任意都有，所以，即在R上單調遞增，又，所以，即，即，故選：A．【題目點撥】本題考查導數的運算及利用導數研究函數的單調性，解決本題的關鍵是根據選項及已知條件合理構造函數，利用導數判斷函數的單調性，屬中檔題.11、C【解題分析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數即可.詳解：結合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據此可知中的元素個數為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、C【解題分析】

函數關于軸對稱的解析式為，則它與在有交點，在同一坐標系中分別畫出兩個函數的圖象，觀察圖象得到.【題目詳解】函數關于軸對稱的解析式為，函數，兩個函數的圖象如圖所示：若過點時，得，但此時兩函數圖象的交點在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數圖象有交點，則的圖象向右平移均存在交點，所以，故選C.【題目點撥】本題綜合考查函數的性質及圖象的平移問題，注意利用數形結合思想進行問題求解，能減少運算量.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

，使是假命題，則，使是真命題，對是否等于進行討論，當時不符合題意，當時，由二次函數的圖像與性質解答即可．【題目詳解】，使是假命題，則，使是真命題，當，即，轉化為，不是對任意的恒成立；當，，使即恒成立，即，第二個式子化簡得，解得或所以【題目點撥】本題考查命題間的關系以及二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是得出，使是真命題這一條件，屬于一般題．14、【解題分析】

根據即可求解?！绢}目詳解】根據矩陣對向量的變換可得故答案為：【題目點撥】本題考查向量經矩陣變換后的向量求法，關鍵掌握住變換的運算法則。15、【解題分析】

歸納前幾行的第二個數，發(fā)現，第行的第2個數可以用來表示，化簡上式由此可以得到答案．【題目詳解】由圖表可知第行的第2個數為：．故答案為：．【題目點撥】本題是一道找規(guī)律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規(guī)律的方法是解題的關鍵．16、【解題分析】

由題可得，，再利用基本不等式的性質即可得出結果.【題目詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為4.故答案為:4.【題目點撥】本題主要考查利用“整體乘1”的方法和基本不等式的性質來求最值，注意基本不等式的前提是正數.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).（2）.【解題分析】試題分析：(1)設的公比為q，依題意得方程組，解得，即可寫出通項公式.（2）因為，利用等差數列的求和公式即得.試題解析：(1)設的公比為q，依題意得，解得，因此，.（2）因為，所以數列的前n項和.考點：等比數列、等差數列.18、（1）見解析；（2），或【解題分析】

對求導，研究其單調區(qū)間，求得極值；構造函數，求導，對參數a分情況討論，最后取并集．【題目詳解】當時，，定義域為，，令，得，舍，當時，；當時，，當時，由極小值，無極大值；令，在上存在，使得成立，即在上存在，使得，在上的最小值小于1．又，當，即時，在上遞減，的最小值為，由可得，，；當，即時，在上遞增，此時最小值為，由可得；當，即時，可得的最小值為，，，此時，，不存在，使得成立．綜上，a的范圍為：，或．【題目點撥】此題考查了利用導數研究函數的單調性，求極值，最值等，并對分類討論，構造函數等做了考查，難度較大．對于函數恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數最值問題；或者直接求函數最值，使得函數最值大于或者小于1；或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數。19、（1）直線l的參數方程為x=tcosαy=3+tsinα（t為參數），圓C【解題分析】

（1）根據直線參數方程的幾何意義得出參數方程，根據極坐標與直角坐標的關系化簡得出圓的標準方程；（2）把直線l的參數方程代入圓的標準方程，根據參數的幾何意義及根與系數的關系得出α．【題目詳解】（1）因為直線l過點P(0,3)，且傾斜角為所以直線l的參數方程為x=tcosαy=3+tsinα因為圓C的極坐標方程為ρ2所以ρ2所以圓C的普通方程為：x2圓C的標準方程為：(x-1)2（2）直線l的參數方程為x=tcosαy=3+tsinα，代入圓C整理得t2設M、N兩點對應的參數分別為t1、t2，則△>0恒成立，t1所以|PM|-|PN|=t1因為0≤α<π，所以α=π4或【題目點撥】本題考查了參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的轉化，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．20、（1），（2）【解題分析】試題分析：⑴根據題意可得：在中，高∴⑵過作，垂足為，連結，則平面，∵平面，∴∴在中，就是與平面所成的角∵，∴，又是的中點，∴是的中位線，∴在中∴∴考點：線面角，棱柱的體積點評：解決的關鍵是對于幾何體體積公式以及空間中線面角的求解的表示，屬于基礎題．21、（1）不能（2）（3）【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表中的數據計算的觀測值，對照臨界值得出結論；（2）利用分層抽樣原理求出所抽取的5名女網民中經常進行網購和偶爾或不進行網購的人數，計算所求的概率值；（3）由列聯(lián)表中數據計算經常進行網購的頻率，將頻率視為概率知隨機變量服從次獨立重復實驗的概率模型，計算數學期望與方差的大?。囶}解析：（1）由列聯(lián)表數據計算.所以，不能再犯錯誤的概率不超過的前提下認為該市市民網購情況與性別有關.（2）由題意，抽取的5名女