2024屆廣東省廣雅中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2024屆廣東省廣雅中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，都是實數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．甲、乙、丙、丁4個人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種3．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某同學(xué)從家到學(xué)校要經(jīng)過兩個十字路口.設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口都遇到紅燈的概率為，則他在第二個路口遇到紅燈的概率為（）A． B． C． D．5．如圖陰影部分為曲邊梯形，其曲線對應(yīng)函數(shù)為，在長方形內(nèi)隨機投擲一顆黃豆，則它落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．6．已知離散型隨機變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．7．《九章算術(shù)》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176兩），問玉、石重各幾何?”其意思：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質(zhì)量是11斤（176兩），問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩?”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的，分別為（）A．96,80 B．100,76 C．98,78 D．94,828．若函數(shù)有小于零的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．定義函數(shù)為不大于的最大整數(shù)，對于函數(shù)有以下四個命題：①；②在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)；③；④的定義域是，值域是.其中真命題的序號是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．11．求值：4cos50°－tan40°＝()A． B． C． D．2－112．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管進行測試，那么在五次測試中恰有三次測到正品的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）?（1+z）＝﹣7+16i，則z的共軛復(fù)數(shù)_____．14．在下列命題中：①兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；②復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)；④若，則；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充要條件；⑥復(fù)數(shù)；⑦復(fù)數(shù)滿足；⑧復(fù)數(shù)為實數(shù).其中正確命題的是______.（填序號）15．在半徑為1的球面上，若A，B兩點的球面距離為，則線段AB的長|AB|＝_____．16．給出下列演繹推理：“自然數(shù)是整數(shù)，，所以是整數(shù)”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應(yīng)填寫___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).18．（12分）已知，．（1）如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知復(fù)數(shù)，(其中是虛數(shù)單位).(1)當(dāng)為實數(shù)時，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，求的取值范圍.20．（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）已知集合P＝，函數(shù)的定義域為Q.（Ⅰ）若PQ，求實數(shù)的范圍；（Ⅱ）若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的范圍.22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）與函數(shù)在處的切線互相平行．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.2、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列．【題目詳解】因為甲乙兩人必須相鄰，看成一個整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點撥】本題考查排列問題，相鄰問題用捆綁法求解．3、B【解題分析】

把復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)．【題目詳解】，對應(yīng)點，在第二象限．故選B．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

記在兩個路口遇到紅燈分別為事件A，B，由于兩個事件相互獨立，所以，代入數(shù)據(jù)可得解.【題目詳解】記事件A為：“在第一個路口遇到紅燈”，事件B為：“在第二個路口遇到紅燈”，由于兩個事件相互獨立，所以，所以.【題目點撥】本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率問題，考查運用概率的基本運算.5、D【解題分析】

通過定積分可求出空白部分面積，于是利用幾何概型公式可得答案.【題目詳解】由題可知長方形面積為3，而長方形空白部分面積為：，故所求概率為，故選D.【題目點撥】本題主要考查定積分求幾何面積，幾何概型的運算，難度中等.6、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機變量的分布列寫出兩點分步的隨機變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0，二是兩個概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點撥】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

流程圖的作用是求出的一個解，其中且為偶數(shù)，逐個計算可得輸出值.【題目詳解】執(zhí)行程序：，，，故輸出的分別為98,78.故選C.【題目點撥】本題考查算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)，讀懂流程圖的作用是關(guān)鍵，此類題是基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】分析：函數(shù)有小于零的極值點轉(zhuǎn)化為有負根，通過討論此方程根為負根，求得實數(shù)的取值范圍.詳解：設(shè)，則，函數(shù)在上有小于零的極值點，有負根，①當(dāng)時，由，無實數(shù)根，函數(shù)無極值點，不合題意，②當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，為函數(shù)的極值點，，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選A.點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.9、D【解題分析】

畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域與值域，從而可判斷各命題的真假.【題目詳解】畫出的圖象，如圖所示，可知是最小正周期為1的函數(shù)，當(dāng)時，，可得，①正確；由圖可知，在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)，②正確；由圖可知，的定義域是，值域是，④正確；由圖可知，，③是錯誤的.真命題的序號是①②④，故選D.【題目點撥】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的定義域與值域，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.10、C【解題分析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，過點作，垂足為點，求得圓的圓心和半徑，運用圓外一點到圓上的點的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【題目詳解】如圖：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點，過點作，垂足為點，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以的最小值為故選：C【題目點撥】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計算能力，屬于較難題.11、C【解題分析】

原式第一項利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計算，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，約分即可得到結(jié)果．【題目詳解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故選C．【題目點撥】本題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．12、D【解題分析】

根據(jù)二項分布獨立重復(fù)試驗的概率求出所求事件的概率?！绢}目詳解】由題意可知，五次測試中恰有三次測到正品，則有兩次測到次品，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：D。【題目點撥】本題考查獨立重復(fù)試驗概率的計算，主要考查學(xué)生對于事件基本屬性的判斷以及對公式的理解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4﹣6i【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算法則求得復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【題目詳解】由（1+2i）?（1+z）＝﹣7+16i，得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除法運算法則，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14、⑧【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】①當(dāng)復(fù)數(shù)虛部為0時可以比較大小，①錯誤；②復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，②錯誤；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)，③錯誤；④若，不能得到，舉反例，④錯誤；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件，⑤錯誤；⑥復(fù)數(shù)，取，不能得到，⑥錯誤；⑦復(fù)數(shù)滿足，取，，⑦錯誤；⑧復(fù)數(shù)為實數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義知⑧正確.故答案為：⑧.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的性質(zhì)，定義，意在考查學(xué)生對于復(fù)數(shù)知識的理解和掌握.15、【解題分析】

根據(jù)球面距離的概念得弦所對的球心角，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)球心為，根據(jù)球面距離的概念可得，在三角形中，由余弦定理可得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了球面距離的概念，考查了余弦定理，關(guān)鍵是根據(jù)球面距離求得球心角，屬于基礎(chǔ)題.16、是自然數(shù).【解題分析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數(shù)是整數(shù)，是自然數(shù)，是整數(shù)”，故答案為是自然數(shù).點睛：本題考查演繹推理的三段論的應(yīng)用，考查對基本知識的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、人；（2）人；15.70.【解題分析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖能估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)．（3）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)．解析：學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)人；（2）樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是：人；由圖可知眾數(shù)落在第三組，是，.18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）求g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），即是方程g'（x）＝0的兩個根．然后解a即可．（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．（3）將不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．【題目詳解】（1）由題意的解集是：即的兩根分別是，1．將或代入方程得．∴．（2）由（1）知：，∴，∴點處的切線斜率，∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，即．（3）∵，即：對上恒成立可得對上恒成立設(shè)，則令，得或（舍）當(dāng)時，；當(dāng)時，∴當(dāng)時，取得最大值∴．的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，最值之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力．對含有參數(shù)恒成立問題，則需要轉(zhuǎn)化為最值恒成立．19、(1)1；(2).【解題分析】試題分析：(1)整理計算，滿足題意時，，即.(2)由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的模的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是.試題解析：(1)，所以，當(dāng)為實數(shù)時，，即.(2)因為，所以，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以.20、（1）；（2）；（3）最大值為1，最小值為【解題分析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期，（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性得，解得結(jié)果，（3）先根據(jù)自變量范圍得，再根據(jù)得最值.【題目詳解】解：（1）由題意