【高數(shù)-微積分課件】1.4反函數(shù)

【高數(shù)-微積分課件】1.4反函數(shù)匯報(bào)人：AA2024-01-26CONTENTS反函數(shù)基本概念反函數(shù)性質(zhì)與定理求反函數(shù)方法反函數(shù)在微積分中應(yīng)用典型例題分析與解答反函數(shù)基本概念01設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的定義域?yàn)?D$，值域?yàn)?f(D)$。如果對于值域$f(D)$中的每一個(gè)$y$，在定義域$D$中有且只有一個(gè)$x$使得$g(y)=x$，則按此對應(yīng)法則得到了一個(gè)定義在$f(D)$上的函數(shù)，并把該函數(shù)稱為函數(shù)$y=f(x)$的反函數(shù)，記為$x=f^{-1}(y)$。反函數(shù)定義函數(shù)$y=f(x)$與它的反函數(shù)$x=f^{-1}(y)$的圖像關(guān)于直線$y=x$對稱。函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射。一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致。反函數(shù)存在條件大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f(x)，定義域是{0}且f(x)=C（其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域?yàn)閧0}）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時(shí)能過2個(gè)及以上點(diǎn)即沒有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。反函數(shù)存在條件一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性。嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。反函數(shù)是相互的且具有唯一性。定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）。反函數(shù)存在條件反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域。互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像具有對稱性，即圖像關(guān)于直線$y=x$對稱。原函數(shù)若是奇函數(shù)，則其反函數(shù)為奇函數(shù)。若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則一定有反函數(shù)，且反函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的一致。原函數(shù)與反函數(shù)的圖像若有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線$y=x$上或關(guān)于直線$y=x$對稱出現(xiàn)。反函數(shù)性質(zhì)與定理020102反函數(shù)連續(xù)性如果函數(shù)$f$在某點(diǎn)$x_0$處連續(xù)且$f'(x_0)neq0$，則$f$在$x_0$處的反函數(shù)$f^{-1}$也在對應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)。如果函數(shù)$f$在某區(qū)間$I$上單調(diào)，且$f'$在該區(qū)間上存在且不等于0，則$f$的反函數(shù)$f^{-1}$在對應(yīng)區(qū)間上也是連續(xù)的。如果函數(shù)$f$在某區(qū)間$I$上單調(diào)可微且$f'(x)neq0$，則反函數(shù)$f^{-1}$在對應(yīng)區(qū)間上也是可微的，并且$(f^{-1})'(y)=frac{1}{f'(x)}$，其中$y=f(x)$，$xinI$。如果函數(shù)$f$在某點(diǎn)$x_0$處可微且$f'(x_0)neq0$，則反函數(shù)$f^{-1}$在對應(yīng)點(diǎn)處也可微，并且$(f^{-1})'(y_0)=frac{1}{f'(x_0)}$，其中$y_0=f(x_0)$。反函數(shù)可微性如果函數(shù)$f$在包含點(diǎn)$x_0$的某開區(qū)間$I$上連續(xù)，在$x_0$處可微且$f'(x_0)neq0$，則存在包含點(diǎn)$y_0=f(x_0)$的某開區(qū)間$J$和定義在區(qū)間$J$上的反函數(shù)$f^{-1}$，使得$(f^{-1})'(y)=frac{1}{f'(x)}$，其中$y=f(x)$，$xinIcapf^{-1}(J)$。反函數(shù)定理反函數(shù)定理在求解一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分時(shí)非常有用。例如，對于某些難以直接求導(dǎo)的復(fù)合函數(shù)，可以先求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。此外，反函數(shù)定理還可以用于證明一些與反函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)或定理。應(yīng)用反函數(shù)定理及應(yīng)用求反函數(shù)方法03觀察原函數(shù)的定義域和值域，確定反函數(shù)的定義域和值域。通過觀察原函數(shù)的解析式，嘗試直接寫出反函數(shù)的解析式。驗(yàn)證反函數(shù)的正確性，即反函數(shù)的值域是否等于原函數(shù)的定義域，且反函數(shù)與原函數(shù)在各自的定義域內(nèi)是否一一對應(yīng)。觀察法求反函數(shù)將原函數(shù)中的自變量和因變量互換位置，得到新的函數(shù)關(guān)系式。解新的函數(shù)關(guān)系式，求出因變量關(guān)于自變量的表達(dá)式，即為反函數(shù)的解析式。同樣需要驗(yàn)證反函數(shù)的正確性?；Q法求反函數(shù)020401當(dāng)原函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，可以嘗試使用復(fù)合法求反函數(shù)。將原函數(shù)拆分成若干個(gè)簡單函數(shù)的復(fù)合，分別求出每個(gè)簡單函數(shù)的反函數(shù)。同樣需要驗(yàn)證反函數(shù)的正確性。03將這些簡單函數(shù)的反函數(shù)按照原函數(shù)的復(fù)合順序進(jìn)行復(fù)合，得到原函數(shù)的反函數(shù)。復(fù)合法求反函數(shù)7777反函數(shù)在微積分中應(yīng)用04123如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且$f'(x)neq0$，則它的反函數(shù)$x=phi(y)$在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且$phi'(y)=frac{1}{f'(x)}$。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式若$y=f(u)$和$u=g(x)$都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$也可導(dǎo)，且$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果$y$是$x$的函數(shù)，但由方程$F(x,y)=0$所確定，則稱$y$是$x$的隱函數(shù)。對隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，需要對方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并解出$frac{dy}{dx}$。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用反函數(shù)求導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的積分公式對于復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$的積分，可以通過換元法將其轉(zhuǎn)化為對簡單函數(shù)的積分進(jìn)行計(jì)算。復(fù)合函數(shù)的積分隱函數(shù)的積分對于由方程$F(x,y)=0$所確定的隱函數(shù)$y=y(x)$的積分，可以通過對方程兩邊同時(shí)積分并解出所求積分表達(dá)式。如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且$f'(x)neq0$，則它的反函數(shù)$x=phi(y)$在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的定積分可以通過換元法轉(zhuǎn)化為對原函數(shù)的定積分進(jìn)行計(jì)算。利用反函數(shù)求積分形如$frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的微分方程稱為一階線性微分方程。通過求解該方程可以得到原函數(shù)或其反函數(shù)的解析式。一階線性微分方程形如$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的微分方程稱為可分離變量的微分方程。通過求解該方程可以得到原函數(shù)或其反函數(shù)的解析式?？煞蛛x變量的微分方程形如$frac{dy}{dx}=frac{f(y)}{g(x)}$的微分方程稱為齊次方程。通過求解該方程可以得到原函數(shù)或其反函數(shù)的解析式。齊次方程反函數(shù)在微分方程中應(yīng)用典型例題分析與解答05010405060302題目：設(shè)函數(shù)$y=f(x)$和$x=g(y)$，試判斷$g(y)$是否為$f(x)$的反函數(shù)，并給出證明。解答1.根據(jù)反函數(shù)的定義，若$y=f(x)$的反函數(shù)存在，則對于$f$的值域中的每一個(gè)$y$值，有唯一的$x$與之對應(yīng)，使得$y=f(x)$。2.假設(shè)$g(y)$是$f(x)$的反函數(shù)，則對于$f$的值域中的每一個(gè)$y$值，應(yīng)有唯一的$x=g(y)$滿足$y=f(x)$。3.要證明$g(y)$是$f(x)$的反函數(shù)，需要驗(yàn)證對于所有在$f$的值域中的$y$，都有$f(g(y))=y$和$g(f(x))=x$。4.通過代入和運(yùn)算驗(yàn)證上述等式是否成立。若成立，則$g(y)$是$f(x)$的反函數(shù)；否則不是。例題一3.這樣，原積分就轉(zhuǎn)化為了關(guān)于$y$的積分，可以通過求解$intfrac{dy}{g'(y)}$來得到答案。2.將上式代入原積分$inth(x)dx=intf'(x)dx=intfrac{dy}{frac{dx}{dy}}=intfrac{dy}{g'(y)}$。1.根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，有$frac{dx}{dy}=frac{1}{frac{dy}{dx}}$，即$frac{dx}{dy}=frac{1}{f'(x)}$。題目：已知函數(shù)$y=f(x)$的反函數(shù)為$x=g(y)$，且$f'(x)=h(x)$，求$inth(x)dx$。解答例題二：利用反函數(shù)性質(zhì)求解復(fù)雜微積分問題題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(q)=q^2+2q+3$（單位：元），其中$q$為產(chǎn)量（單位：件）。若該產(chǎn)品的市場需求函數(shù)為$p=10-q$（單位：元/件），求使利潤最大的產(chǎn)量。解答1.根據(jù)題意，利潤函數(shù)為$pi(q)=pq-C(q)=(10-q)q-(q^2+2q+3)=-2q^2+8q