高等數(shù)學(微積分學)教學課件

高等數(shù)學(微積分學)教學課件匯報人：AA2024-01-24緒論極限與連續(xù)導數(shù)與微分積分學微分方程無窮級數(shù)目錄01緒論古代微積分思想的萌芽01古希臘時期，阿基米德利用窮竭法計算面積和體積，中國古代數(shù)學家劉徽提出割圓術(shù)，這些都是微積分思想的早期萌芽。17世紀微積分的創(chuàng)立0217世紀，牛頓和萊布尼茨分別獨立地創(chuàng)立了微積分學，其中牛頓注重物理應用，萊布尼茨則更注重數(shù)學形式。18-19世紀微積分的發(fā)展03這一時期，數(shù)學家們對微積分的理論基礎(chǔ)進行了深入研究，如柯西、魏爾斯特拉斯等人對極限理論的貢獻，使得微積分學更加嚴密。微積分學的歷史與發(fā)展研究對象微積分學主要研究函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，包括函數(shù)的極限、連續(xù)性、可微性、可積性等。任務微積分學的任務主要包括以下幾個方面：建立函數(shù)的概念，研究函數(shù)的性質(zhì)；建立極限理論，研究函數(shù)的極限及其性質(zhì)；建立微分學，研究函數(shù)的微分及其性質(zhì)；建立積分學，研究函數(shù)的積分及其性質(zhì)。微積分學的研究對象與任務基本思想微積分學的基本思想包括“以直代曲”、“以不變代變”等，即通過局部線性近似來研究非線性問題，通過常量近似來研究變量問題。方法微積分學的方法主要包括極限方法、微分方法和積分方法。其中極限方法是微積分學的理論基礎(chǔ)，微分方法用于研究函數(shù)的局部性質(zhì)，積分方法則用于研究函數(shù)的全局性質(zhì)。這些方法在解決實際問題時具有廣泛的應用價值。微積分學的基本思想與方法02極限與連續(xù)123描述函數(shù)在某一點或無窮遠處的變化趨勢。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運算法則。極限的性質(zhì)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，夾逼定理。極限存在的條件極限的概念與性質(zhì)極限為零的變量稱為無窮小量。無窮小量的定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮大量的定義無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。無窮小量與無窮大量的關(guān)系有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。無窮小量的性質(zhì)無窮小量與無窮大量03連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、局部保號性、四則運算法則、復合函數(shù)的連續(xù)性。01連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)在某一點連續(xù)，當且僅當函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值。02間斷點的類型第一類間斷點（可去間斷點、跳躍間斷點）和第二類間斷點（無窮間斷點、振蕩間斷點）。函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零點存在定理。一致連續(xù)性的概念描述函數(shù)在某一區(qū)間上整體連續(xù)的性質(zhì)。一致連續(xù)性的判定Cantor定理、Heine定理等。連續(xù)函數(shù)的應用在經(jīng)濟學、物理學、工程學等領(lǐng)域中的應用舉例。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)03導數(shù)與微分通過極限思想，定義函數(shù)在某一點處的切線斜率。導數(shù)的定義導數(shù)的幾何意義可導與連續(xù)的關(guān)系導數(shù)的性質(zhì)描述函數(shù)圖像在某一點處的切線斜率和變化率?？蓪П剡B續(xù)，連續(xù)不一定可導。包括局部性質(zhì)（如單調(diào)性、極值）和全局性質(zhì)（如凸性、拐點）。導數(shù)的概念與性質(zhì)包括常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等?；境醯群瘮?shù)的導數(shù)公式加法、減法、乘法、除法的求導法則。四則運算的導數(shù)法則鏈式法則的應用。復合函數(shù)的求導法則通過對方程兩邊同時求導來求解隱函數(shù)的導數(shù)。隱函數(shù)的求導法則導數(shù)的計算法則微分的定義函數(shù)在某一點處的微小變化量。微分的幾何意義描述函數(shù)圖像在某一點處的微小切線段。微分的基本公式和運算法則包括基本初等函數(shù)的微分公式和四則運算的微分法則。微分在近似計算中的應用如利用微分求函數(shù)的近似值、估計誤差等。微分及其應用高階導數(shù)與隱函數(shù)求導高階導數(shù)的定義與性質(zhì)二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù)，具有描述函數(shù)更精細變化的能力。高階導數(shù)的計算法則逐次求導法則和萊布尼茲公式等。隱函數(shù)的二階導數(shù)求法通過對方程兩邊同時求二階導數(shù)來求解隱函數(shù)的二階導數(shù)。高階導數(shù)在函數(shù)性態(tài)研究中的應用如判斷函數(shù)的凸性、拐點等。04積分學不定積分的定義原函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系，不定積分的符號表示?；痉e分公式與法則常見函數(shù)的積分公式，積分法則的應用。不定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)。不定積分的概念與性質(zhì)通過變量代換簡化積分，包括三角代換、根式代換等。換元積分法適用于被積函數(shù)為兩個函數(shù)乘積的形式，通過分部計算簡化積分。分部積分法結(jié)合換元法與分部積分法求解復合函數(shù)的積分。復合函數(shù)的積分換元積分法與分部積分法定積分的定義定積分的幾何意義，定積分的符號表示。定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、保序性、絕對可積性。微積分基本定理建立不定積分與定積分之間的聯(lián)系，揭示微分與積分的互逆關(guān)系。定積分的概念與性質(zhì)定積分的計算利用原函數(shù)求定積分，利用定積分的性質(zhì)簡化計算。定積分的應用求面積、體積、弧長等幾何量，求物理量如功、壓力等。廣義積分無窮區(qū)間上的定積分，無界函數(shù)的定積分，其計算與應用。定積分的計算與應用05微分方程微分方程的定義含有未知函數(shù)及其導數(shù)的方程初始條件確定解在某個點的取值條件微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)微分方程的階未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)微分方程的基本概念可分離變量法將方程改寫為可分離變量的形式，然后積分求解齊次方程法通過變量替換將方程化為可分離變量的形式一階線性微分方程法通過常數(shù)變易法或公式法求解伯努利方程法通過變量替換將方程化為一階線性微分方程求解一階微分方程及其解法高階非線性微分方程法通過變量替換、降階等方法求解歐拉方程法通過變量替換將方程化為常系數(shù)線性微分方程求解高階線性微分方程法通過特征根法或常數(shù)變易法求解高階微分方程及其解法微分方程的應用舉例幾何應用求曲線的切線、法線、弧長等物理應用求速度、加速度、力等物理量工程應用求振動、波動、熱傳導等工程問題的解經(jīng)濟應用求經(jīng)濟增長、復利計算等經(jīng)濟問題的解06無窮級數(shù)級數(shù)的部分和前n項和$S_n=sum_{i=1}^{n}u_i$。線性性質(zhì)、結(jié)合律、交換律等。級數(shù)的性質(zhì)無窮序列各項的和，記作$sum_{n=1}^{infty}u_n$。級數(shù)的定義若$lim_{ntoinfty}S_n=S$存在，則稱級數(shù)收斂，否則發(fā)散。級數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)ABCD正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)的定義所有項均為非負的級數(shù)。比值審斂法（達朗貝爾定理）通過計算$lim_{ntoinfty}frac{u_{n+1}}{u_n}$的值，判斷級數(shù)斂散性。比較審斂法通過比較兩個正項級數(shù)的通項，判斷其斂散性。根值審斂法（柯西定理）通過計算$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{u_n}$的值，判斷級數(shù)斂散性。包含正項和負項的級數(shù)。任意項級數(shù)的定義若$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂；若原級數(shù)收斂但$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$發(fā)散，則稱原級數(shù)條件收斂。絕對收斂與條件收斂相鄰兩項符號相反的級數(shù)，可用萊布尼茲定理判斷其斂散性。交錯級數(shù)及其審斂法任意項級數(shù)及其審斂法形如$sum_{