高中物理選修3.6電粒子在磁場中的勻速圓周運動

帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動帶電粒子僅受洛侖茲力時的勻速圓周運動，是比較常見的一種運動形式，也是考查的比較頻繁的一類題目。通常所涉及到的有完整的圓周運動和部分圓周運動。cbcbavvo帶電粒子做勻速圓周運動的圓心及運動時間的確定的方法圓心的確定：通過速度的垂線oa、ob,弦ab的垂直平分線或入射速度與出射速度夾角的角平分線oc，三線中的任意兩線來定．如圖所示．時間的確定：t=s/v=θ/ω=（θ/2π）T，式中為弧長，v為線速度，為圓心角，為角速度，T為周期．這類問題通常有兩種考查的形式：1．所給的磁場非常明確，可以根據(jù)磁場的分布按部就班的來解決，這一類比較常見，難度較小?！纠}】如圖所示，一束電子，電量為e，以速度v垂直磁感應強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿過磁場時的速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量為，穿過磁場的時間是．〖解析〗該題考查帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動，先定圓心，過A、B兩點作速度的垂線，定圓心；然后由幾何關系求半徑R=d/sin300，由洛侖茲力提供向心力可得qvB=mv2/R，解得m=2eBd/v，由圓心角為30°，可得t=(300/3600)T=2πm/(12eB)．2．所給的磁場并不明確，需要充分發(fā)揮想象力，利用所學的物理知識分析、判斷，對物理情景的分析要求較高。這一類考查的不多，有一定的難度。oPyxoPyx〖解析〗設粒子速度方向與x軸的夾角為θ，粒子在磁場中運動軌跡如圖示，為使粒子平行與x軸射出磁場，則軌跡圓心O1正上方的P點應為磁場的邊界點,由幾何知識：P點橫坐標x=Rsinθ,P點縱坐標y=R-Rcosθ,整理可得x2+（R-y）2=R2,即磁場區(qū)域的下邊界為以（0，R）為圓心，以R為半徑的圓；易知磁場的上邊界為沿y軸正向射入磁場區(qū)域的粒子的運動軌跡，其圓心坐標為（R,0），如圖所示的陰影區(qū)域即為符合題目條件的磁場區(qū)域的最小分布。其最小面積不難由幾何知識求出。3.帶電粒子在有界磁場區(qū)域中的圓周運動有界磁場區(qū)域常見有三種情況：單邊界磁場區(qū)域、矩形磁場區(qū)域、圓形磁場區(qū)域MNMNBOvyxoBvvaO/BvLROvrvRvO/Ov平行練習：××××××××××××OL××××××××××××OL2v0A．使電子速度大于eBL/mB．使電子速度小于eBL/mC．使電子速度大于eBL/2m，小于eBL/D．電子速度可隨意取值2．K－介子衰變的方程為：K－→π－＋π0，其中K－介子和π－介子帶負的基元電荷，π0介子不帶電。一個K－介子沿垂直于磁場的方向射入勻強磁場中，其軌跡為圓弧AP，衰變后產(chǎn)生的π－介子的軌跡為圓弧PB，兩軌跡在P點相切，它們的半徑RK-與Rπ-之比為2︰1。π0介子的軌跡未畫出。由此可知π－的動量大小與π0的動量大小之比為A1︰1B1︰2C1︰33．如圖所示，在y＜0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。（全國高考卷）提示：由幾何關系得，偏轉(zhuǎn)半徑r=l/2sinθ；又r=mv/qB，兩式聯(lián)立得q/m=2vsinθ/Bl。4．如圖，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應強度的大小B＝0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光干板ab，板面與磁場方向平行。在距ab的距離為l＝16cm處，有一個點狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v＝3.0×106m/s。已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m＝5.0×107C/kg?，F(xiàn)只考慮到圖紙平面中運動的粒子，求abRabcd2RP1P2QSRN提示：Rabcd2RP1P2QSRN因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠點。為定出P1點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P1。由圖中幾何關系得：NP1＝再考慮N的右側(cè)，任何粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑，S為圓心作圓，交ab與N的右側(cè)的P2點，此即粒子大到右側(cè)的最遠點。由圖中幾何關系得：NP2＝所求的長度為P1P2＝NP1＋NP2＝20cmOyx××××××××A5．如圖所示，半徑為R＝10cm的圓形區(qū)域邊界跟y軸相切于坐標原點O，磁感應強度B＝0.332T，方向垂直紙面向里，在O處有一放射源S，可沿紙面向各個方向射出速率均為v＝3.2Oyx××××××××A（1）畫出粒子通過磁場空間做圓周運動的圓心的軌跡（2）求出粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角。（3）再以過O點并垂直紙面的直線為軸旋轉(zhuǎn)磁場區(qū)域，能使穿過磁場區(qū)域且偏轉(zhuǎn)角最大的粒子射到正方向的y軸上，則圓形磁場直徑OA至少應轉(zhuǎn)過多大的角度。提示：（1）粒子的速度相同，在同一勻強磁場中運動的半徑相同，均由洛倫茲力提供向心力F＝qvB＝mv2/r，則有r＝vm/qB＝20cm，所以粒子的圓心與S（即O點）的距離均為r，其圓心的軌跡為以S為圓心，以20cm為半徑的一段圓弧。（2）由于粒子的軌道半徑r大于磁場區(qū)域的半徑R，粒子最長的軌跡對應的弦為2R時，粒子在磁場中最大的偏轉(zhuǎn)角的軌跡就是粒子在磁場中最長的軌跡線，由于最長的軌跡線的弦長與其軌跡半徑相等，所以偏轉(zhuǎn)角的最大值為＝60°。（3）由（2）中可知粒子的最大偏轉(zhuǎn)角為60°，且對應的弦為磁場的直徑，故粒子在磁場軌跡的入射點和出射點與其軌跡圓心的連線和磁場的直徑組成一個正三角形，也就是粒子離開磁場時與x軸正方向的夾角為30°。因此要使偏轉(zhuǎn)角最大的粒子離開磁場時能打在y軸的正方向上，則粒子與x軸的正方向的夾角為90°，則OA繞過O點的水平軸至少要轉(zhuǎn)過＝60°。6．據(jù)有關資料介紹，受控核聚變裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子沒有通常意義上的“容器”可裝，而是由磁場約束帶電粒子運動使之束縛在某個區(qū)域內(nèi)?，F(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個問題：如圖所示是一個截面為內(nèi)徑R1＝0.6m、外徑R2＝1.2m的環(huán)狀區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直于截面向里的勻強磁場。已知氦核的比荷q/m＝4.8×107C/kg，磁場的磁感應強度BAR2R1O×BAR2R1O××××××××××××××××××××××（2）若氦核沿磁場區(qū)域的半徑方向平行于截面從A點射入磁場，畫出氦核在磁場中運動而不穿出外邊界的最大圓軌道示意圖。（3）若氦核在平行于截面從A點沿各個方向射入磁場都不穿出磁場外邊界，求氦核的最大速度。v提示：（1）設氦核的質(zhì)量為m，電量為q，以速度v在磁感應強度為B的勻強磁場中做半徑為r的勻速圓周運動，由洛倫茲力計算公式和牛頓運動定律，有qvB＝mv2/r，解得v＝qBr/m。v（2）略。應與外圓相切。（3）當氦核以vm的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，則以vm速度沿各方向射入磁場區(qū)的氦核都不能穿出磁場外邊界。則氦核做圓周運動的半徑為r′＝0.3m，由qvB＝mv2/r，得r＝mv/qB，所以在速度為vm時不穿出磁場外邊界應滿足的條件是r′≥mvm/qB，解得vm≤5.76×106m二、帶電粒子在電磁場中的幾種典型應用1.質(zhì)譜儀如圖所示為質(zhì)譜儀結(jié)構(gòu)示意圖，質(zhì)量為m所帶電荷量為q的粒子經(jīng)狹縫S1飄入加速電壓為U的加速電場，后經(jīng)狹縫S3進入磁感應強度為B的偏轉(zhuǎn)，粒子打在感光底片P上距狹縫S3為d的某點。(qU=1/2mv2；qvB=mv2/R；d=2R；聯(lián)立上式可求得粒子的質(zhì)量為：m=qB2d2/8U；注意：磁場兩譜線間距離為軌跡圓直徑之差)2.回旋加速器（1932.勞倫斯）Sd高頻電源導向板如圖所示為回旋加速器結(jié)構(gòu)示意圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設質(zhì)子從粒子源SSd高頻電源導向板分析：①盒內(nèi)有無電場？（D形盒由金屬制成，能屏蔽盒外電場）②粒子在盒內(nèi)做什么運動？（盒內(nèi)勻速圓周運動，經(jīng)盒間電場加速后回旋半徑逐漸增大）③交流電頻率應為多大？（交流電頻率等于粒子回旋頻率，即f=1/T=qB/2πm）④粒子離開加速器時的速度？最大動能是？（R=mv/qB，故最大速度Vm=qBR/m；Ekm=(qBR)2/2m）⑤試推證當R>>d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（質(zhì)子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）。（粒子在電場中加速總時間為：t1=nd/（v/2）=2nd/v；粒子在D形盒中回旋時間為：t2=nπR/v。因t1/t2=2d/πR<<1，即當R>>d時，粒子在電場中加速的總時間相對與D形盒中的回旋時間可忽略不計。）×××××××××××××××××××××××××××××××××××××+×××××××××××××××××××××××××××××××××××××+_如圖所示為粒子速度選擇器結(jié)構(gòu)示意圖，重力不計、運動方向相同的正離子束射入正交的電磁場中，已知電場強度為E，方向向下，磁感應強度為B，方向垂直與紙面向內(nèi)。若離子束的運動軌跡不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，則qvB=qE，即v=E/B。這樣就把速度滿足v=E/B的離子從速度選擇器中選擇出來了。BRBR＋＋＋＋＋+－－－－―4.磁流體發(fā)電機acb如圖所示為磁流體發(fā)電機的原理示意圖，等離子體從發(fā)電通道左側(cè)向右側(cè)高速噴射，兩極板間有圖示方向的勻強磁場。隨正負離子的不斷偏轉(zhuǎn)，兩極板間電場強度逐漸增加，當剛進入的正負離子所受洛倫茲力與電場力等大反向時，兩極板間電壓達到最大值U=Bbv，此即為等離子發(fā)電機的電動勢。設發(fā)電通道內(nèi)的等離子束可視為電阻率為acb細節(jié)：磁流體發(fā)電機的等效內(nèi)阻為r=ρb/ac；等效電動勢為E=Bdv；故回路中的電流為I=Bdv/(r+R)5.霍爾效應acbAacbAA/IB分析：上面的敘述中，若電流I是由自由電子的定向移動形成的，電子的平均定向移動速率為v，電荷量為e，則：①達到穩(wěn)定狀態(tài)時，導體板上側(cè)面A的電勢（低于）下側(cè)面A/的電勢；②電子所受洛侖茲力大小為evB,當導體板上下兩側(cè)面間電勢差為U時，電子所受靜電力大小為eU/b=evB；③設金屬導體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，則I=nevbc，由U=kIB/c可得霍爾系數(shù)為k=1/ne細節(jié)：霍爾效應與載流子的種類有關。帶電粒子在復合場中的運動問題分析方法復合場包括分立場和疊加場兩類。分立場指電場、磁場互不疊加，帶電粒子在電場和磁場中的運動各自遵循各自的運動規(guī)律(如電場中的類平拋運動、磁場中的圓周運動)；疊加場指電場、磁場和重力場并存的區(qū)域，帶電微粒（計重力類）或帶電粒子（不計重力類）在疊加場中同時受電場力、洛侖茲力和重力作用，因洛侖茲力的大小和方向隨粒子速度的變化而變化，故其所受合外力一般為變力，其運動情況一般較為復雜。當帶電粒子在復合場中所受合外力為零時，所處狀態(tài)是靜止或勻速直線運動狀態(tài)；當帶電粒子所受合外力只充當向心力時，粒子做勻速圓周運動；當帶電粒子所受合外力變化且與速度方向不在一條直線上時，粒子做非勻變速曲線運動．除了要寫出相應的受力特點的方程之外，還要用到運動學公式，或者從能量的觀點（即動能定理或能量守恒定律）寫出方程，同時應關注“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等描述粒子臨界運動狀態(tài)的詞語。【例題】電視機的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術實現(xiàn)的．電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖所示．磁場方向垂直于圓面．磁場區(qū)的中心為O，半徑為r．當不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點．為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，此時磁場的磁感應強度B應為多少？〖解析〗電子在磁場中沿圓弧ab運動，圓心為C，半徑為R．如圖所示．以v表示電子進入磁場時的速度，m、e分別表示電子的質(zhì)量和電量，則eU＝mv2……①evB＝……②……③由以上各式解得：B＝……④××××××××××××××××××××××××××××××××MN37°（1）小環(huán)帶的是什么電？（2）小環(huán)滑到P處時速度有多大？（3）在離P點多遠處，小環(huán)與細桿之間沒有擠壓？〖解析〗（1）小環(huán)下滑時所受的洛倫茲力總是垂直于細桿方向的，只有垂直桿向上才可能使小環(huán)向左上方拉桿，由左手定則可判定小環(huán)帶負電。（2）小環(huán)運動到P處時，受重力mg、洛倫茲力F、桿的彈力T如圖所示。在垂直于桿的方向上，小環(huán)受重力的分力F2，桿的拉力T和洛倫茲力F互相平衡，即Bqv＝T＋mgcos37°解得環(huán)滑到P點的速度v＝1.2mg/Bq(3)從上問的受力分析可知，當洛倫茲力F′＝mgcos37°時，環(huán)與桿間無擠壓，設此時環(huán)速度為v′，則Bqv′＝0.8mg，即v′＝0.8mg/Bq。因為v′＜v，易知這個位置在P上邊某點Q處。令QP＝s。因本題中洛倫茲力的變化沒有影響小環(huán)沿光滑桿下滑的勻加速運動的性質(zhì)，故有v2＝v′2＋2as××××××××××××××××××abc1.如圖所示，在真空中勻強電場的方向豎直向下，勻強磁場的方向垂直紙面向里，三個油滴a、b、c帶有等量同種電荷，其中a靜止，b向右做勻速運動，c向左做勻速運動，比較它們的重力Ga、Gb、Gc的關系，正確的是A．Ga最大B．Gb最大C．Gc最大D．Gb最小××××××××××××××××××××××××××mvBA．當速度v＝mg/Bq時，物體做勻速運動B．物體的速度由v減小到零所用的時間小于mv/(mg－Bqv)C．物體的速度由v減小到零所用的時間大于mv/(mg－Bqv)D．當速度方向時，物體一定做勻減速運動3．湯姆生用來測定電子的比荷（電子的電荷量和質(zhì)量之比）的實驗裝置如圖所示。真空管內(nèi)的陰極K發(fā)出的電子（不計初速、重力和電子間的相互作用）經(jīng)加速電壓加速后，穿過A′中心的小孔沿中心軸O1O的方向進入到兩塊水平正對放置的平行極板P和P′間的區(qū)域，當極板間不加偏轉(zhuǎn)電壓時，電子束打在熒光屏的中心O點處，形成了一個亮點；加上偏轉(zhuǎn)電壓U后，亮點偏離到O′點，O′與O點的豎直間距為d，水平間距可忽略不計，此時，在P和P′間的區(qū)域，再加上一個方向垂直于紙面向里的勻強磁場，調(diào)節(jié)磁場的強弱，當磁感應強度的大小為B時，亮點重新回到O點，已知極板水平方向的長度為L1，極板間距為b，極板右端到熒光屏的距離為L2（如圖所示）。（江蘇物理卷）（1）求打在熒光屏O點的電子速度的大小。(v=U/Bb)（2）推導出電子的比荷的表達式。(q/m=Ud/B2bL1(L2+L1/2))4.（2007高考湖北卷）兩屏幕熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x和y軸，交點O為原點，如圖所示。在y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向內(nèi)的勻強磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應強度大小均為B。在O點出有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x周經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值。已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間與在x>a的區(qū)域中運動的時間之比為2︰5，在磁場中運動的總時間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。提示：對于y軸上的光屏亮線范圍的臨界條件如圖1