專題二十 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解答題-2022屆天津市各區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題分類匯編

2022屆天津市各區(qū)高三年級二模數(shù)學(xué)分類匯編專題二十導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【2022和平二模】設(shè)為實數(shù)，且，已知函數(shù).（1）當(dāng)時，曲線的切線方程為，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（3）若對任意，函數(shù)）有兩個不同的零點，求的取值范圍.【2022南開二?！恳阎瘮?shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個極值點，且，求的最大值．【2022河西二模】已知函數(shù)，，，．（1）若直線與的圖象相切，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，討論曲線與曲線公共點的個數(shù)．（3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由．【2022河北二模】已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.【2022河?xùn)|二?！恳阎瘮?shù)（且）．（1），求函數(shù)在處的切線方程．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個零點，且，證明：．【2020紅橋二模】已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．【2022濱海新區(qū)二模】已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個零點.（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）是的極值點，求證：.【2022部分區(qū)二?！吭O(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù)；（3）若有兩個極值點且，證明：.【2022耀華中學(xué)二模】已知為的導(dǎo)函數(shù).（1）求在的切線方程；（2）討論在定義域內(nèi)的極值；（3）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【2022天津一中五月考】已知函數(shù)（自然對數(shù)底數(shù)）.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，（?。┳C明：存在唯一的極值點；（ⅱ）證明：.2022屆天津市各區(qū)高三年級二模數(shù)學(xué)分類匯編專題二十導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（答案及解析）【2022和平二?！吭O(shè)為實數(shù)，且，已知函數(shù).（1）當(dāng)時，曲線的切線方程為，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（3）若對任意，函數(shù)）有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，點斜式寫出切線方程，與已知切線方程對照即可求解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分和討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間；（3）由（2）知函數(shù)有兩個零點可轉(zhuǎn)化為極小值，化簡換元后可得對任意都成立，即可得出.【小問1詳解】設(shè)切點坐標，切線方程為，即又曲線的切線方程為，.【小問2詳解】，令，即，又，，所以不等式化為，當(dāng)時，不等式恒成立，在R上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時，解集為，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.綜上，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】函數(shù)有兩個不同的零點，，即，，即，設(shè)，令當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即對任意成立，，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)有兩個不同零點問題，可在已知函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為極小值為負即可，據(jù)此得出不等式，令換元后構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點，得出滿足不等式的條件為即可求解.【2022南開二?！恳阎瘮?shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個極值點，且，求的最大值．【答案】（1），；（2）（3）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，與的關(guān)系表，從而得到函數(shù)的極值點，計算可得；（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，即可得到不等式組，解得即可；（3）求出的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上有兩個不等實根，令，則在上有兩個不等實根、，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理得到且，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最大值；【小問1詳解】解：當(dāng)時，令，解得，，所以，與的關(guān)系如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，即；【小問2詳解】解：因為，所以令，則依題意在上恒成立，令，則，解得【小問3詳解】解：因為，即，則，因為在上有兩個極值點，即在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根、，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，所以，解得，所以，所以在和上各有一個實根，所以函數(shù)在上有兩個極值點時，并且，因為，所以，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，所以，即則因為且，所以滿足題意的整數(shù)的最大值為；【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．【2022河西二?！恳阎瘮?shù)，，，．（1）若直線與的圖象相切，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，討論曲線與曲線公共點的個數(shù)．（3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）；理由見解析【分析】（1）由題意可知，直線是函數(shù)在處的切線方程，由此我們可以根據(jù)函數(shù)值相等和直線的斜率等于在該點取得得到函數(shù)值列出方程組，求解即可；（2）題中討論的零點個數(shù)，我們可以進行參變分離，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，通過求解函數(shù)的值域，即可進行判斷求解；（3）題中要比較兩個式子，我們可以將式子進行通分、化簡合并，轉(zhuǎn)化成部分有相同變量形式的式子，然后對該部分獅子構(gòu)造函數(shù)判斷其正負，即可完成大小的判斷.【小問1詳解】（1）設(shè)直線與相切與點，，則有解得，．【小問2詳解】當(dāng)，時，曲線與曲線的公共點個數(shù)即方程根的個數(shù)．由，令，則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增．故（2）是的極小值同時也為最小值．所以對曲線與曲線公共點的個數(shù)，討論如下：當(dāng)時，有0個公共點；當(dāng)，有1個公共點；當(dāng)有2個公共點．【小問3詳解】設(shè)令，．則的導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．因此，，故在上單調(diào)遞增，而，所以在上，．因為當(dāng)時，且，故，所以當(dāng)時，.【點睛】在求解函數(shù)的交點個數(shù)時，我們可以利用參編分離將函數(shù)分成兩部分，例如本題，我們轉(zhuǎn)化成與兩個函數(shù)圖像的交點問題，這樣，我們將零點問題，轉(zhuǎn)化成無參數(shù)的函數(shù)求解值域的問題，這樣的話，難度馬上就下來了.【2022河北二模】已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）代入的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最大值即可；（2）首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）首先根據(jù)函數(shù)有兩個極值點得一元二次方程有兩根，進而可得判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，所以可以得兩極值點，的關(guān)系，及極值點的取值范圍；然后寫出關(guān)于極值點的表達式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞減，所以的最大值為；（2）由已知得，，.①當(dāng)時，由得所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞；②當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，由，得或，所以當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；④當(dāng)時，由，得或，因而當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）證明：，則定義域為，，若有兩個極值點，（），則方程的判別式，且，，，又∵，∴，即，，設(shè)，其中，由得，由于，即，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的最大值為，從而成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【2022河?xùn)|二?！恳阎瘮?shù)（且）．（1），求函數(shù)在處的切線方程．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個零點，且，證明：．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論：a<0和a>0分別討論單調(diào)性；（3）本題屬于極值點偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明f(2e-x2)>0，由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e-x2)>0.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以.，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】的定義域為(0，+∞)，.當(dāng)a<0時，恒成立，所以在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，.在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.【小問3詳解】當(dāng)，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意可得：.由及得：.欲證x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)=0，只要證明f(2e-x2)>0即可.由得.所以令則，則g(t)在(e，2e)上是遞增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.綜上x1+x2>2e.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明不等式．【2020紅橋二?！恳阎瘮?shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．【答案】（Ⅰ）由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是（Ⅲ）【詳解】解：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．于是對任意成立等價于對任意成立．由得．①當(dāng)時，．此時在上單調(diào)遞增．故，符合題意．②當(dāng)時，．當(dāng)變化時的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ），，，由此得，故．【2022濱海新區(qū)二模】已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個零點.（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）是的極值點，求證：.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，求出，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出答案.（2）（i）分類討論，求出的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求出a的取值范圍；（ii）設(shè)，，令，由轉(zhuǎn)化為，由（i）可知，是的極值點，故，即，即，由，，只需證，令，證.【小問1詳解】的定義域是，，可得，又故曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】（i）由（1）可知①時，，在單調(diào)遞增，此時至多有一個零點；②時，，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，要使有兩個零點，需，解得，即，而，，當(dāng)時，令，則，故，，，由零點存在性定理可知，在與上分別存在唯一零點．綜上.（ii）因為，，令，由，即，由（i）可知，是的極值點故，即，由，，只需證，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，；.【2022部分區(qū)二?！吭O(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù)；（3）若有兩個極值點且，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得到的解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得，，再對分三種情況討論結(jié)合零點存在性定理，分別得到函數(shù)的零點個數(shù)；（3）由（2）可得且，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得到，從而得證；【小問1詳解】解：因為，所以．即，，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】解：由（1）得，．當(dāng)時，，則在上無零點．當(dāng)時，，則在上有一個零點．當(dāng)時，，因為，，，所以，，，故在上有兩個零點．綜上，當(dāng)時，在上無零點；當(dāng)時，在上有一個零點；當(dāng)時，在上有兩個零點．【小問3詳解】證明：由（2）及有兩個極值點，且，可得，在上有兩個零點，且．所以，兩式相減得，即．因為，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．【2022耀華中學(xué)二?！恳阎獮榈膶?dǎo)函數(shù).（1）求在的切線方程；（2）討論在定義域內(nèi)的極值；（3）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析