2024屆廣東省深圳市平湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆廣東省深圳市平湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)平面內(nèi)的圓：，若為純虛數(shù)，則與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內(nèi) D．不能確定2．從A，B，C，D，E5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽，其中A不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．1203．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．644．已知函數(shù)滿足，函數(shù).若函數(shù)與的圖象共有個交點，記作，則的值為A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于直線對稱8．雙曲線的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓C的離心率為()A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）11．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為A．32 B．128 C．64 D．25612．設(shè)集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，則A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個長方體共一項點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是____________.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.15．已知向量，且，則_______.16．已知函數(shù)，其中，若只有一個零點，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．18．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時，求在上的值域；若方程有三個不同的解，求b的取值范圍．19．（12分）求證：20．（12分）如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點.（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程.（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）甲，乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊局，每局射擊次，射擊中目標(biāo)得分，未命中目標(biāo)得分，兩人局的得分情況如下：甲乙（1）若從甲的局比賽中，隨機(jī)選取局，求這局的得分恰好相等的概率；（2）從甲，乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局，記這局的得分和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù),再利用為純虛數(shù)求出對應(yīng)的點的軌跡方程,再與圓：比較即可.【題目詳解】由題,復(fù)平面內(nèi)圓：對應(yīng)的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數(shù),則設(shè),則因為為純虛數(shù),可設(shè),.故故,因為,故.當(dāng)有.當(dāng)時,兩式相除有,化簡得.故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是.則所有的點都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的軌跡問題,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)的點的關(guān)系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.2、C【解題分析】

根據(jù)題意,分2種情況討論:①不參加任何競賽,此時只需要將四個人全排列，對應(yīng)參加四科競賽即可；②參加競賽,依次分析與其他四人的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理可得此時參加方案的種數(shù)，進(jìn)而由分類計數(shù)原理計算可得結(jié)論.【題目詳解】參加時參賽方案有(種)，不參加時參賽方案有(種)，所以不同的參賽方案共72種，故選C.【題目點撥】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.3、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.4、A【解題分析】分析：根據(jù)題意求解，的對稱中心點坐標(biāo)的關(guān)系，即兩個圖象的交點的關(guān)系，即可解得答案詳解：函數(shù)滿足，即函數(shù)關(guān)于點對稱函數(shù)即函數(shù)關(guān)于點對稱函數(shù)與的圖象共有個交點即在兩邊各有個交點，則共有組，故，故選點睛：本題結(jié)合函數(shù)的對稱性考查了函數(shù)交點問題，在解答此類題目時先通過化簡求得函數(shù)的對稱中心，再由交點個數(shù)結(jié)合圖像左右各一半，然后求和，本題有一定難度，解題方法需要掌握。5、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為來求解，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，令，則.，其中，且函數(shù)單調(diào)遞增.①當(dāng)時，對任意的,，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，合乎題意；②當(dāng)時，令，得，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值求解，屬于常考題，屬于中等題。6、C【解題分析】

先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【題目詳解】解：逆命題:設(shè)，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設(shè)，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因為原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當(dāng)時，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.【題目點撥】本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進(jìn)而判斷其對稱性即可【題目詳解】由題,因為最小正周期為,所以,則平移后的圖像的解析式為,此時函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因為,當(dāng)時,,所以,令,則,即對稱點為；令,則對稱軸為,當(dāng)時,，故選：D【題目點撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對稱性8、B【解題分析】

求出直線方程,利用過過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為列出方程求解即可.【題目詳解】雙曲線的左焦點過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,可得：,可得:則雙曲線的離心率為:故選:B.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查離心率的求法,考查計算能力.9、A【解題分析】分析：的定義域為，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域為，由得

所以．

①若，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當(dāng)時，即，此時

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因為是f（x）的極大值點，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識點的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．10、B【解題分析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?！绢}目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【題目點撥】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。11、C【解題分析】

先求出通項公式公式，再根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，可得，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【題目詳解】由，，可得，解得，，，，令，當(dāng)或時，有最小值，即，的最大值為，故選C．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的求和公式，指數(shù)冪的運算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題12、D【解題分析】

根據(jù)交集定義求解．【題目詳解】由題意A∩B={1,5}．故選D．【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由長方體對角線與棱長的關(guān)系計算．【題目詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，解得，∴對角線長．故答案為．【題目點撥】本題考查求長方體的對角線長，設(shè)長方體棱長分別為，則對角線長．14、.【解題分析】

設(shè)，由圓的切點弦所在直線方程可知的方程為，進(jìn)而可求圓心到距離，從而求出弦長，結(jié)合已知可求出弦長的取值范圍.【題目詳解】解：設(shè)，當(dāng)時，此時過點與圓相切直線的斜率，則過點與圓相切直線方程為，即，當(dāng)時，，此時切線方程或滿足.綜上所述，過點與圓相切直線方程為；同理，過點與圓相切直線方程為，設(shè)，則直線的方程為，此時圓心到距離.所以.由可知，，則，所以.故答案為:.【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了圓的切線，考查了弦長的求解.在圓中求解弦長時，通常是結(jié)合幾何法，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求解弦長.15、2【解題分析】由題意可得解得.【名師點睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運算：.16、【解題分析】

把表示成分段函數(shù)，將一個零點問題轉(zhuǎn)化成一個交點問題，作出圖形，從而得到答案.【題目詳解】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，；而的只有一個零點可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個交點，作出圖形，，此時，斜率越來越小時，無交點，斜率越來越大時，有一個交點，故的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)的圖像，零點問題，將零點問題轉(zhuǎn)化成交點問題是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的作圖能力，分析能力，難度中等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,（2）見解析（3）【解題分析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個法向量．于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點N因為，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值為18、12．【解題分析】

（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性確定最值取得的點，從而得到值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化成與有三個交點的問題，通過求導(dǎo)得到圖象，通過圖象可知只需位于極大值和極小值之間即可，從而得到不等式，求解出范圍.【題目詳解】（1）當(dāng)時，則令，解得或列表如下；由表可知，在上的最小值為，最大值為所以在的值域是（2）由，得設(shè)，則由，解得：由，解得：或所以在遞減；在，遞增所以極大值為：；極小值為：，畫出的圖象如圖所示；有三個不同解與有三個不同交點結(jié)合圖形知，解得：，所以方程有三個不同的解時，的取值范圍是【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題以及導(dǎo)數(shù)問題中的根的個數(shù)問題.解決根的個數(shù)類問題的關(guān)鍵在于能夠?qū)栴}變成曲線和平行于軸直線的交點個數(shù)問題，從而利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得到相應(yīng)的關(guān)系.19、證明見解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【題目點撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.20、（I）證明見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）連接，交于，則為的中點，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，計算出平面的一個法向量，記直線平面所成角為