重慶市云陽江口中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

重慶市云陽江口中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．下列參數(shù)方程可以用來表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）3．牡丹花會(huì)期間，記者在王城公園隨機(jī)采訪6名外國(guó)游客，其中有2名游客來過洛陽，從這6人中任選2人進(jìn)行采訪，則這2人中至少有1人來過洛陽的概率是（）A． B． C． D．4．設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生；（Ⅳ）A，B，C最多有兩個(gè)發(fā)生；其中相互為對(duì)立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ5．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．186．若是的增函數(shù),則的取值范圍是()A． B． C． D．7．等于（）A．B．C．1D．8．設(shè)，若，則=（）A． B． C． D．9．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次驗(yàn)，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點(diǎn)（s，t）B．與相交，交點(diǎn)不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點(diǎn)（s，t）對(duì)稱D．與必定重合10．有五名同學(xué)站成一排拍畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．3211．為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或12．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16，左焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為調(diào)査某高校學(xué)生對(duì)“一帶一路”政策的了解情況,現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為500的樣本.其中大一年級(jí)抽取200人,大二年級(jí)抽取100人.若其他年級(jí)共有學(xué)生2000人,則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是_______..14．已知函數(shù)，使在上取得最大值3，最小值-29，則的值為__________．15．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別是，右焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在（或）處，則雙曲線的離心率是__________．16．周長(zhǎng)為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）已知函數(shù)，；.（1）求的最大值；（2）若對(duì)，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.19．（12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求圓心的極坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與圓的交點(diǎn)為,求的值.21．（12分）已知二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)（1）求的值；（2）求的值22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗(yàn)即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【題目詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

選項(xiàng)A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)D：利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【題目詳解】選項(xiàng)A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項(xiàng)B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項(xiàng)C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項(xiàng)D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個(gè)參數(shù)方程中橫坐標(biāo)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.3、C【解題分析】分析：從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解．詳解：由題意，從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)排列、組合的相關(guān)知識(shí)得到基本事件的個(gè)數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．4、B【解題分析】

利用互斥事件、對(duì)立事件的定義直接求解．【題目詳解】解：，，是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ），，中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ），，中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ），，中至少有兩個(gè)發(fā)生（Ⅳ），，最多有兩個(gè)發(fā)生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故中的兩個(gè)事件相互為對(duì)立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查相互為對(duì)立事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】試題分析：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有21人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數(shù)：18人，第三組中沒有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點(diǎn)：頻率分布直方圖6、A【解題分析】

利用函數(shù)是上的增函數(shù)，保證每支都是增函數(shù)，還要使得兩支函數(shù)在分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小，即，然后列不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由于函數(shù)是的增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，即；且有，即，得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)，在求解分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：（1）確保每支函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)的單調(diào)性一致；（2）結(jié)合圖象確保各支函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系．7、A【解題分析】試題分析：因?yàn)?，故選A．考點(diǎn)：定積分的運(yùn)算．8、C【解題分析】

先計(jì)算，帶入，求出即可。【題目詳解】對(duì)求導(dǎo)得將帶入有?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)求導(dǎo)，屬于簡(jiǎn)單題。9、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），∴與相交于點(diǎn)，A說法正確．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個(gè)位置，分3步進(jìn)行分析：①將甲安排在3號(hào)位置；②在1、2、4、5中一個(gè)位置任選1個(gè)，安排乙，依據(jù)乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個(gè)位置，分3步進(jìn)行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號(hào)位置；②在1、2、4、5中一個(gè)位置任選1個(gè)，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個(gè)位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意題目的限制條件，優(yōu)先滿足受到限制的元素.11、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設(shè)直線與曲線相切，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，分析可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當(dāng)時(shí)，有唯一解，此時(shí)直線與曲線相切．分析圖形可知，當(dāng)或或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)．故選.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的處理方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求相切時(shí)斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點(diǎn)的位置是實(shí)心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來解決.12、A【解題分析】由于焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線漸近線的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故焦點(diǎn)到漸近線的距離為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5000【解題分析】

由題意，其他年級(jí)抽取200人，其他年級(jí)共有學(xué)生2000人，根據(jù)題意列出等式，即可求出該校學(xué)生總?cè)藬?shù).【題目詳解】由題意，其他年級(jí)抽取200人，其他年級(jí)共有學(xué)生2000人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，故答案是：5000.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)分層抽樣的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，屬于簡(jiǎn)單題目.14、3【解題分析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可判斷在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值，可得最大值，從而可得結(jié)果.詳解：函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)，，由解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.由，解得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取得極大值同時(shí)也是最大值，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.15、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的外接圓面積取最小值時(shí)，取到最大值，則，利用基本不等式求出的最小值，利用等號(hào)成立求出的表達(dá)式，令求出雙曲線的離心率的值．【題目詳解】如下圖所示，將代入雙曲線的方程得，得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由的外接圓面積取最小值時(shí)，則取到最大值，則取到最大值，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，由題意可得，則，此時(shí)，雙曲線的離心率為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本題中將三角形的外接圓面積最小轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的角取最大值，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的最值求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，屬于難題．16、【解題分析】

設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為,則另一邊長(zhǎng)為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【題目詳解】設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為,則另一邊長(zhǎng)為,,則圓柱的體積==,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知變形為為常數(shù)，利用等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求和.【題目詳解】解：（1）依題意，，故，故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故（2）依題意，，累加可得，，故，（時(shí)也適合）；，故，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，；綜上所述，【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的證明以及累加法求通項(xiàng)公式，最后得到，當(dāng)通項(xiàng)公式里出現(xiàn)時(shí)，需分是奇數(shù)和偶數(shù)討論求和.18、【解題分析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以的最大值為；（2）若對(duì)，總存在使得成立，則轉(zhuǎn)化為，由（1）知，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，對(duì)求導(dǎo)，，分類討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，只需滿足，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，只需滿足，，解得，當(dāng)，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，可以求出的取值范圍。（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴，等號(hào)右端為等比數(shù)列求和。試題解析：（1）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴，∴的最大值為.（2），使得成立，等價(jià)于由（1）知，，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒為正，滿足題意.當(dāng)時(shí)，，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，，∴，∴.若，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，綜上的取值范圍為.（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。19、（1）（2）見解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式得X的分布列為X01234P進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.20、(1).(2)1.【解題分析】分析：（I）先把圓的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，再寫出圓心的直角坐標(biāo)，再化成極坐標(biāo).（Ⅱ）利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.詳解：（I）由題意可知圓的直角坐標(biāo)系方程為，所以圓心坐標(biāo)為（1,1），所以圓心的極坐標(biāo)為.