廣東省普寧市華僑中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

廣東省普寧市華僑中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l1：與直線l2：垂直，則的值為（）A．﹣2 B． C．2 D．2．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．3．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．4．已知點在以點為焦點的拋物線（為參數(shù)）上，則等于（）A． B． C． D．5．甲乙丙丁四名學生報名參加四項體育比賽，每人只報一項，記事件“四名同學所報比賽各不相同”，事件“甲同學單獨報一項比賽”，則()A． B． C． D．6．5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．7．命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知隨機變量，若，則（）A． B． C． D．9．設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．如圖，表示三個開關(guān)，設在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9、0.8、0.7，那么該系統(tǒng)正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.49611．某大學中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級的學生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應抽二年級的學生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人12．設實數(shù)a=log23，b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．b>c>a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)()為純虛數(shù)，則____.14．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則________.15．設向量=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.16．已知一組數(shù)據(jù)6,7,8，，的平均數(shù)是8，且，則該組數(shù)據(jù)的方差為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(A)在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，是曲線上的動點，為線段的中點，設點的軌跡為曲線.(1)求的坐標方程；(2)若射線與曲線異于極點的交點為，與曲線異于極點的交點為，求.(B)設函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）為促進全面健身運動，某地跑步團體對本團內(nèi)的跑友每周的跑步千米數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取的100名跑友，分別統(tǒng)計他們一周跑步的千米數(shù)，并繪制了如圖頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖計算跑步千米數(shù)不小于70千米的人數(shù)；（2）已知跑步千米數(shù)在的人數(shù)是跑步千米數(shù)在的，跑步千米數(shù)在的人數(shù)是跑步千米數(shù)在的，現(xiàn)在從跑步千米數(shù)在的跑友中抽取3名代表發(fā)言，用表示所選的3人中跑步千米數(shù)在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.19．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點（）均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù).20．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的圖象是否是中心對稱圖形？若是，求出對稱中心；若不是，請說明理由；（2）設，試討論的零點個數(shù)情況.21．（12分）已知函數(shù)的定義域為.（1）若，解不等式；（2）若，求證：.22．（10分）已知點P(3，1)在矩陣變換下得到點P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)兩直線垂直的條件，得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，直線l1：與直線l2：垂直，則滿足，解得，故選A.【題目點撥】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應用，其中解答中熟記兩直線垂直的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、A【解題分析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項求解即可【題目詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【題目點撥】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.3、A【解題分析】設，則當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增存在，成立，，故選點睛：本題利用導數(shù)求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導數(shù)，求出新函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎．4、D【解題分析】分析：欲求，根據(jù)拋物線的定義，即求到準線的距離，從而求得即可.詳解：拋物線，準線，為到準線的距離，即為4，故選：D.點睛：拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡化．5、D【解題分析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點撥】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計算求解.6、D【解題分析】

根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】5名同學在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是答案為D【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.7、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當a≠0時，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②當a＝0時，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則0＜a＜1；所以當0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分條件．故選：B．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數(shù)恒成立的問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．8、D【解題分析】

由二項分布的期望公式，可計算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機變量，由二項分布的期望公式，可得故選：D【題目點撥】本題考查了二項分布的期望公式及概率公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】令,則，設，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。10、B【解題分析】

由題中意思可知，當、元件至少有一個在工作，且元件在工作時，該系統(tǒng)正常公式，再利用獨立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【題目詳解】由題意可知，該系統(tǒng)正常工作時，、元件至少有一個在工作，且元件在元件，當、元件至少有一個在工作時，其概率為，由獨立事件的概率乘法公式可知，該系統(tǒng)正常工作的概率為，故選B．【題目點撥】本題考查獨立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，在處理至少等問題時，可利用對立事件的概率來計算，考查計算能力，屬于中等題．11、C【解題分析】

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,

則應抽二年級的學生人數(shù)為:

(人).

故答案為80.12、A【解題分析】分析：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間量比較大小.詳解：∵a=log23＞log22=1，0＜b=1312＜（1c=log132∴a＞b＞c．故選A．點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值0,1的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】試題分析：由題意得，復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得或，當時，（舍去），所以.考點：復數(shù)的概念.14、【解題分析】

先計算復數(shù)，再計算復數(shù)的模.【題目詳解】故答案為【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.15、-1.【解題分析】

根據(jù)坐標表示出，再根據(jù)，得坐標關(guān)系，解方程即可.【題目詳解】，，由得：，，即.【題目點撥】此題考查向量的運算，在解決向量基礎題時，常常用到以下：設，則①；②.16、2【解題分析】

根據(jù)題意，列出關(guān)于的等量關(guān)系式，結(jié)合，求得的值，利用方差公式求得結(jié)果.【題目詳解】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，且，所以，化簡得，又，所以的值分別為或，所以該組數(shù)據(jù)的方差為：，故答案是：2.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)求一組數(shù)據(jù)的方差的問題，涉及到的知識點有方差公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(A)(1)(為參數(shù))，(2)(B)(1)；(2).【解題分析】試題分析：A(1)結(jié)合題意可得的極坐標方程是(為參數(shù))，(2)聯(lián)立極坐標方程與參數(shù)方程，結(jié)合極徑的定義可得B(1)由題意零點分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的條件得到關(guān)于實數(shù)a的不等式組，求解不等式可得實數(shù)的取值范圍是.試題解析：(A)解：(1)設，則由條件知，由于點在曲線上，所以，即，從而的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為普通方程即，將，所以曲線后得到極坐標方程為.(2)曲線的極坐標方程為，當時，代入曲線的極坐標方程，得，即，解得或，所以射線與的交點的極徑為，曲線的極坐標方程為.同理可得射線與的交點的極徑為.所以.(B)解：(1)當時，由解得.(2)因為且.所以只需，解得.18、（1）60人；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）由圖可得（2）先求出跑步千米數(shù)在的人數(shù)，再依題意求出其他區(qū)間的人數(shù)，可知跑步千米數(shù)在的人數(shù)為2，跑步千米數(shù)在的人數(shù)為5，列出分布列求解即可【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可得跑步千米數(shù)不小于70千米的人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，跑步千米數(shù)在的人數(shù)為，所以跑步千米數(shù)在的人數(shù)為.因為跑步千米數(shù)在的人數(shù)為，所以跑步千米數(shù)在的人數(shù)為，則跑步千米數(shù)在的人數(shù)為.所以的所有可能取值為0，1，2，則；；.所以的分布列為012故數(shù)學期望.【題目點撥】本題考察的頻率分布直方圖的識別和超幾何分布19、（1）；（2）1．【解題分析】分析：（1）由已知條件推導出，由此能求出；（2）由，利用裂項求和法求出，由此能求出滿足要求的最小整數(shù).詳解：（1）當時，當時，符合上式綜上，（2）所以由對所有都成立，所以，得,故最小正整數(shù)的值為.點睛：利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等．20、（1）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：；（2）當或時，有個零點；當時，有個零點【解題分析】

（1）設，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，從而可得的對稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)的討論，即的解的個數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個數(shù)，從而得到零點個數(shù)，綜合得到結(jié)果.【題目詳解】（1）設定義域為：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：（2）令，可知為其中一個解，即為一個零點只需討論的解的個數(shù)即可①當時，無解有且僅有一個零點②當時，為方程的解有，共個零點③當時，（i）若，即時，為方程的解有，共個零點（ii）若，即時，的解為：有且僅有一個零點（iii）若，即時，，方程無解有且僅有一個零點綜上所述：當或時，有個零點；當時，有個零點【題目點撥】本題考查函數(shù)對稱性的判斷、函數(shù)零點個數(shù)的討論.解決本題中零點個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的討論，從而根據(jù)的不同范圍得到方程根的個數(shù)，進而得到零點個數(shù)，屬于較難題.21、(1)(2)見解析【解題分析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對值去掉后解不等式可得所求．（2）結(jié)合題意運用絕對值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當時，不等式化為，解得；②當時，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點睛：含絕對值不等式的常用解法（1）基本性質(zhì)法：當a>0時，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法去掉