云南省元江縣一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題含解析

云南省元江縣一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8042．在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為（）A．30 B．36 C．60 D．723．已知三棱錐的體積為，，，，，且平面平面PBC，那么三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．4．平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由類比思維，我們可以得到（）A．空間中平行于同一直線的兩直線平行B．空間中平行于同一平面的兩直線平行C．空間中平行于同一直線的兩平面平行D．空間中平行于同一平面的兩平面平行5．已知集合,則中所含元素的個數(shù)為（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知，則展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．9．數(shù)學歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．110．12名同學合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．11．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，則（）A． B． C．12 D．2412．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為______．14．已知函數(shù).為的導函數(shù)，若，則實數(shù)的值為__________.15．已知函數(shù)（），若對任意，總存在滿足，則正數(shù)a的最小值是_______.16．已知的外接圓半徑為1，，點在線段上，且，則面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖（1）.在中，，，，、分別是、上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：平面；（2）當點在何處時，三棱錐體積最大，并求出最大值；（3）當三棱錐體積最大時，求與平面所成角的大小.18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）已知，求證．19．（12分）學校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球、2個黑球,乙箱子里裝有1個白球、2個黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)（1）求在1次游戲中,①摸出3個白球的概率;②獲獎的概率;（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列.20．（12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望21．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為．（1）求直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求的面積．22．（10分）已知函數(shù).（1）若是的一個極值點，判斷的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：由題意可知發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點：二項分布的期望與方差．2、C【解題分析】

記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案?！绢}目詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選：C。【題目點撥】本題考查排列組合綜合問題，題中兩個事件出現(xiàn)了重疊，可以利用容斥原理來等價處理，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。3、D【解題分析】試題分析：取中點，連接，由知，則，又平面平面，所以平面，設，則，又，則，，，，顯然是其外接球球心，因此．故選D．考點：棱錐與外接球，體積．4、D【解題分析】

由平面中的線類比空間中的面即可得解?！绢}目詳解】平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由類比方法得：空間中平行于同一平面的兩平面平行.故選：D【題目點撥】本題主要考查了類比推理，考查平面中的線類比空間中的面知識，屬于基礎題。5、D【解題分析】列舉法得出集合，共含個元素．故答案選6、D【解題分析】

由奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，根據(jù)的圖象和的定義域便可判斷出錯誤，而由的單調(diào)性便可判斷選項錯誤，從而得出正確．【題目詳解】選項：根據(jù)的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：的定義域為，知該函數(shù)非奇非偶，可知錯誤；選項：時，為增函數(shù)，不符合題意，可知錯誤；選項：，可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)單調(diào)性的問題，屬于基礎題．7、B【解題分析】

==﹣1，則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開式中x3項的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B【題目點撥】本題考查集合的混合運算.8、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果．【題目詳解】設陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當時，；當時，.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點撥】本題考查利用定積分計算曲邊多邊形的面積，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．9、D【解題分析】

求出當n=k時，左邊的代數(shù)式，當n=k+1時，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【題目詳解】當n=k時，左邊的代數(shù)式為1k+1當n=k+1時，左邊的代數(shù)式為1k+2故用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：12k+1【題目點撥】本題考查用數(shù)學歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，屬于中檔題.10、C【解題分析】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點：排列組合點評：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計數(shù)原理的方法11、D【解題分析】

由，利用等比中項的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出．【題目詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選D．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比中項的性質(zhì)，正確運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題．12、C【解題分析】

利用函數(shù)的周期求出的值，利用逆向變換將函數(shù)的圖象向左平行個單位長度，得出函數(shù)的圖象，根據(jù)平移規(guī)律得出的值.【題目詳解】由于函數(shù)的周期為，，則，利用逆向變換，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以，因此，，故選：C.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)周期的計算，同時也考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數(shù)解析式，可簡化計算，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，設正方體的邊長為，則，解得該圓柱的側(cè)面積為，故答案為.14、【解題分析】

通過對原函數(shù)求導，代入1即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故.【題目點撥】本題主要考查導函數(shù)的運算法則，難度不大.15、【解題分析】

對任意，總存在滿足，只需函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.【題目詳解】函數(shù)（）是對勾函數(shù)，對任意，在時，即取得最小值，值域為當時，若，即時在上是單減函數(shù)，在上是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.顯然成立當時，若，即時是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.，解得綜上正數(shù)a的最小值是故答案為：【題目點撥】利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零點、方程根的問題，有關(guān)不等式的問題等.解決上述問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.16、【解題分析】

由所以可知為直徑，設，求導得到面積的最大值.【題目詳解】由所以可知為直徑，所以，設，則，在中，有，，所以的面積，.方法一：（導數(shù)法），所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，的面積的最大值為.方法二：（均值不等式），因為.當且僅當，即時等號成立，即.【題目點撥】本題考查了面積的最大值問題，引入?yún)?shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）點位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為（3）【解題分析】

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)將三棱錐的體積表示成某個變量的函數(shù)，再求其最大值；(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設，則，由（1），又因為，，∴平面；所以，因此當，即點位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.18、(1).(2)證明見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先求導，再利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最大值.（Ⅱ）利用分析法證明，先轉(zhuǎn)化成證明再構(gòu)造函數(shù)，再求證函數(shù).詳解：（I）因為，所以當時；當時，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以的最大值為.（II）由得，，則，又因為，有，構(gòu)造函數(shù)則，當時，，可得在單調(diào)遞增，有，所以有．點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是先轉(zhuǎn)化成證明其二構(gòu)造函數(shù)，再求證函數(shù).19、（I）（i）；（ii）（II）X的分布列見解析，數(shù)學期望【解題分析】解：(1)①設“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝.②設“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X

0

1

2

P

X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.20、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

數(shù)學期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解題分析】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為．（2）的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：

0

2

4

6

8

考點：離散型隨機變量的分布列及概率．21、（1）（2）【解題分析】

（1）先消去參數(shù)，化為直角坐標方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯(lián)立，得，求得