湖南省東安縣天成實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖南省東安縣天成實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)為偶函數(shù)，記，，，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．2．平面向量與的夾角為，，，則()A． B． C．0 D．23．?dāng)?shù)列an中，則anA．3333 B．7777 C．33333 D．777774．關(guān)于x的不等式的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．（4,5）5．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．36．設(shè)是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量,又,,則與的值分別為(

)A．， B．， C．， D．，7．函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．8．函數(shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，，分別是雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則等于（）．A． B． C．或 D．或10．定義：如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量，那么這個(gè)向量列做等差向量列，這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項(xiàng)，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．12．牡丹花會(huì)期間，記者在王城公園隨機(jī)采訪(fǎng)6名外國(guó)游客，其中有2名游客來(lái)過(guò)洛陽(yáng)，從這6人中任選2人進(jìn)行采訪(fǎng)，則這2人中至少有1人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，，則．14．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限.15．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．16．已知可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有這些零點(diǎn)之和為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大?。虎谠诶釶C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足，使得直線(xiàn)AM與平面PBC所成的角為，求的值．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.19．（12分）是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，日均值在微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在微克應(yīng)立方米微克立方米之間，空氣質(zhì)量為二級(jí)：在微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某市年全年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表：日均值（微克/立方米）頻數(shù)（天）（1）從這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出天，求恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這天的數(shù)據(jù)中任取天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.20．（12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.21．（12分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證：.22．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，且（1）分別計(jì)算出的值，然后猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，在上單調(diào)遞增，并且，因?yàn)?，，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性【思路點(diǎn)睛】本題考察的是比較大小相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調(diào)性法和中間量法，本題的題設(shè)中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?shù)，即可求出參數(shù)的值，所以我們采用單調(diào)性法，經(jīng)觀(guān)察即可得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)可以通過(guò)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到同一側(cè)，進(jìn)而判斷出幾個(gè)的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出所給幾個(gè)值的大?。?、D【解題分析】

先由，求出，再求出，進(jìn)而可求出【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模的運(yùn)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解題分析】

分別計(jì)算a1、a2、a3歸納出an的表達(dá)式，然后令【題目詳解】∵an=11?1︸a3猜想，對(duì)任意的n∈N*，an=11?1【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，解歸納推理的問(wèn)題的思路就由特殊到一般，尋找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行歸納，考查邏輯推理能力，屬于中等題。4、A【解題分析】

不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，由此根據(jù)解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，能求出的取值范圍。【題目詳解】關(guān)于的不等式，不等式可變形為，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，4，則；當(dāng)時(shí)，得，，此時(shí)解集中的整數(shù)為-2，-1，0，則故a的取值范圍是，選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題難點(diǎn)在于分類(lèi)討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根大小不確定，所以要對(duì)和1的大小進(jìn)行分類(lèi)討論。其次在觀(guān)察的范圍的時(shí)候要注意范圍的端點(diǎn)能否取到，防止選擇錯(cuò)誤的B選項(xiàng)。5、D【解題分析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【題目詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．6、B【解題分析】分析：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，列出方程，即可求解答案.詳解：由題意隨機(jī)變量，又由，且，解得，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中熟記二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.7、B【解題分析】

根據(jù)已知條件可以把轉(zhuǎn)化為即為函數(shù)在為和對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，且，是分別為時(shí)對(duì)應(yīng)圖像上點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，再結(jié)合圖像即可得到答案.【題目詳解】，是分別為時(shí)對(duì)應(yīng)圖像上點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，，為圖像上為和對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，（如圖）由圖可知，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及斜率公式，比較斜率大小，屬于較易題.8、C【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根即可求解.【題目詳解】因?yàn)閒(x)=x3-x2+mx+1，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問(wèn)題得到了解決，還可以使解決問(wèn)題的難度大大降低，本題將單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解題的關(guān)鍵9、D【解題分析】由，可得，又由題意得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，∴∴，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得，∴或．經(jīng)檢驗(yàn)知或都滿(mǎn)足題意．選．點(diǎn)睛：此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是已知雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，求該點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離，實(shí)質(zhì)上是考查雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用．解題時(shí)比較容易忽視對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)際上，雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小距離為，到右焦點(diǎn)的最小距離為．同樣雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是，到左焦點(diǎn)的最小距離是．10、D【解題分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【題目詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c非零向量）垂直，所以因此故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、向量垂直坐標(biāo)表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.11、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后觀(guān)察求解.12、C【解題分析】分析：從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪(fǎng)，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解．詳解：由題意，從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪(fǎng)，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)排列、組合的相關(guān)知識(shí)得到基本事件的個(gè)數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以,因此點(diǎn)睛：利用正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，及曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1.14、四【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和加法運(yùn)算公式得到結(jié)果即可.詳解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）位于第四象限.故答案為：四.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.15、【解題分析】

畫(huà)出圖形,利用折疊與展開(kāi)法則使和在同一個(gè)平面,轉(zhuǎn)化折線(xiàn)段為直線(xiàn)段距離最小,即可求得的最小值．【題目詳解】當(dāng)?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)是在底面上的射影,即是最小值.展開(kāi)三角形與三角形在同一個(gè)平面上,如圖:長(zhǎng)方體中，，長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為:在中:故故過(guò)點(diǎn)作,即為最小值.在,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫(huà)好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).16、【解題分析】

根據(jù)為奇函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，計(jì)算得到答案.【題目詳解】函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)于對(duì)稱(chēng)關(guān)于對(duì)稱(chēng)恰有個(gè)零點(diǎn)所有這些零點(diǎn)之和為：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)，找出中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、Ⅰ詳見(jiàn)解析；Ⅱ①，②或．【解題分析】

Ⅰ可以通過(guò)已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大?。磺蟪銎矫鍼BC的法向量，利用線(xiàn)面角的公式求出的值.【題目詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時(shí)，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線(xiàn)AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過(guò)線(xiàn)面角公式求定比分點(diǎn)問(wèn)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號(hào)，可得，再由可得，問(wèn)題得證；（Ⅲ）令，得，當(dāng)時(shí)，由可得，再由可使問(wèn)題得證.【題目詳解】（Ⅰ）解：由題意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）證明：因?yàn)?，且，所以與同號(hào)，…，與也同號(hào).而，因此.又，所以.綜上，有成立.（Ⅲ）證明：令，則，且.由，得到.于是當(dāng)時(shí)，，又，因此，即.考慮，故，即.當(dāng)時(shí)，也成立.綜上所述，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推式，數(shù)列求和，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.19、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布即可得出隨機(jī)變量的分布列.【題目詳解】（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)．隨機(jī)抽取天，恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，.因此，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了超幾何分布及其分布列等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．20、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分