天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

和平區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時間100分鐘．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共36分）注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答在試卷上無效．3．本卷共9小題，每小題4分，共36分．一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若直線l的一個方向向量為，求直線的傾斜角（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線斜率，進(jìn)而求出直線傾斜角即得.【詳解】直線l的一個方向向量為，則直線斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C2.平行六面體中，化簡（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.【詳解】如圖所示，.故選：B.3.已知直線：，直線：，若，則實數(shù)（）A.－4或0 B.0或1 C.－4 D.0【答案】A【解析】【分析】由直線垂直的充要條件列方程即可求解.【詳解】由題意直線：，直線：，且，所以，解得或.故選：A.4.已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接將兩圓方程作差即可得公共弦方程.【詳解】由題意圓：和圓：，將兩式作差得，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得.故選：B.5.設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】先由等比中項求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式計算即可.【詳解】因為是正項等比數(shù)列，所以，則可化為，解得，或(舍）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則,所以，則.故選：.6.設(shè)點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】因為直線與直線平行，所以的最小值為直線與直線距離，求解即可.【詳解】由直線可得，所以直線與直線平行，所以的最小值為直線與直線距離，所以.故選：C.7.經(jīng)過原點和點且圓心在直線上的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令圓心為，由圓所經(jīng)過的點及兩點距離公式列方程求出圓心坐標(biāo)，即可寫出圓的方程.【詳解】由題設(shè)，令圓心為，又圓經(jīng)過原點和點，所以，整理可得，故圓心為，所以半徑平方，則圓的方程為.故選：D8.直線l與雙曲線交于A，B兩點，線段AB的中點為點，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，代入雙曲線方程，兩式相減可得，由題目條件經(jīng)整理后可得答案.【詳解】設(shè)，，則直線l的斜率為代入，得，兩式相減得：.又線段AB的中點為點，則.則.經(jīng)檢驗滿足題意.故選：D9.橢圓的兩個焦點為，，點M是橢圓上一點，且滿足．則橢圓離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)為短軸端點時，，即，進(jìn)而可以求離心率的取值范圍.【詳解】點M是橢圓上一點，且滿足，設(shè)短軸端點，當(dāng)時，必存在點，使，如圖：此時，所以，所以，即，即，所以橢圓離心率的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求離心率的取值范圍關(guān)鍵是要根據(jù)題目條件構(gòu)造關(guān)于的不等式，然后解不等式即可.第Ⅱ卷（非選擇題共64分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共10小題，共64分．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分．試題中包含兩個空的，答對1個給2分，全部答對的給4分）10.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下“竹九節(jié)”問題，現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，且上面節(jié)的容積共，下面節(jié)的容積共，則第節(jié)的容積為_______，節(jié)竹總?cè)莘e為_______.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)第節(jié)的容積為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，利用等差數(shù)列的求和公式可求得節(jié)竹總?cè)莘e.【詳解】設(shè)第節(jié)的容積為，則數(shù)列為等差數(shù)列，由已知可得，，所以，，，所以，，節(jié)竹總?cè)莘e為.故答案為：；.11.已知直線和圓相交于兩點；弦長，則______．【答案】1【解析】【分析】利用垂徑定理求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為則由題意可得，則.故答案為：.12.設(shè)點F為拋物線C：的焦點，點A在拋物線C上，點，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，代入兩點間的距離公式即可得解.【詳解】因為拋物線C：的焦點為，所以，由拋物線的定義知（不妨設(shè)A在第一象限），所以.故答案為：13.在棱長為1正方體中，為線段的中點，則到平面的距離為______；【答案】【解析】【分析】以D為坐標(biāo)原點，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個法向量，再利用點到面的距離公式求解即可.【詳解】解：以D坐標(biāo)原點，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)面的一個法向量為，則，當(dāng)，面的一個法向量為，則到平面的距離.故答案為：【點睛】本題考查空間向量法求點到面的距離，考查學(xué)生計算能力，是基礎(chǔ)題.14.雙曲線的左、右焦點分別為點，，過點作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的方程求出和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式可求出，在中，由余弦定理求得，即可得解.【詳解】由，得，漸近線方程為，所以，所以，，由雙曲線的對稱性，點到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，直角中，，，故，中，由余弦定理得，，所以，所以.故答案為：.15.設(shè)數(shù)列、的前n項和分別為、，若，，，則下列4個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是______個．①；②；③無論實數(shù)m取何值，直線恒過定點；④橢圓的兩個焦點分別為點、，點P為橢圓上的任意一點，則的周長與的值相同．【答案】3【解析】【分析】當(dāng)，兩式作差得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而確定數(shù)列的通項公式，再利用直線過定點及橢圓定義逐個判斷即可得答案.【詳解】因為，當(dāng)，兩式作差得，所以①又，令，所以，，故滿足①，故是以為首項為公比的等比數(shù)列，，又，所以，易得對①，，故①正確對②，，故②正確對③，，即，則解得，故直線過定點，即定點，故③正確對④，易知橢圓，且其長半軸長為，半焦距為，所以的周長為，故④錯誤.綜上，正確結(jié)論為①②③故答案為：三、解答題（本大題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前n項和，并證明．【答案】16.證明見解析17.，證明見解析【解析】【分析】（1）將條件變形為即可證明；（2）求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法求和，觀察可得答案.【小問1詳解】由數(shù)列的各項都為正數(shù)，且，有，即，所以，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】因為，由（Ⅰ）有，所以，則，，又因為，所以，所以得證．17.如圖，在直三棱柱中，，，點D為的中點，點E為的中點，點F為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，只需證明，即就可以了.（2）分別求出兩平面的法向量，由法向量夾角的余弦的絕對值即可得解.【小問1詳解】因為，所以，又面，面，所以，即兩兩垂直，依題意，以為原點，分別以、、方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因為，點D為的中點，點E為的中點，點F為的中點．則，，，，，，，，．所以，易知平面的一個法向量為，因為，所以，又平面，所以平面．【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，，，取，有，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為公比大于0的等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分別利用等差等比數(shù)列知識分別求出通項公式，從而求解.（2）由(1)知，然后利用錯位相減法求和，從而求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因為，有，，故．由，，有，則，故．所以數(shù)列的通項公式為；數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，所以①②由①－②得，得，所以．故數(shù)列的前項和為.19.已知橢圓的左頂點為點A，上、下頂點分別為點B、C，左焦點為點F，且橢圓的焦距為，為等邊三角形．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)過原點O且斜率為的直線l與橢圓交于P、Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P、M均在第一象限．若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為（2）【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓左頂點為，上頂點為，下頂點為，左焦點為，由題意可得，解方程即可求出，可得橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)直線l的方程為，由結(jié)合題意可得，即，分別聯(lián)立直線l與直線和橢圓的方程解得，，再代入，解方程即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)橢圓左頂點為，上頂點為，下頂點為，左焦點為．因為為等邊三角形，所以，即，因為焦距為，所以，又，故，，，所以