圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（解析版）-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末綜合復(fù)習(xí)提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練(北師大版)

專題06圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

【典型例題】

I.如圖，在三角形ABC中，AC=4cm,BC=3cm,B4BC沿AB方向平移至回OEF,若AE=8的，BD=2cm.

求：⑴S4BC沿A8方向平移的距離；

(2)四邊形AEFC的周長(zhǎng).

【答案】(1)0ABC沿AB方向平移的距離是3a”；(2)四邊形AEFC的周長(zhǎng)是18c,"

【分析】

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得由AE=8cm,8Z>=2aw可求出A￡>的長(zhǎng)，即為平移的距離；

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)可求出CF和EF的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)^BABC沿AB方向平移至

EL4/J=BE.

EL4￡=8cm,BD=2cm,

g_2

^AD=BE=----=3CVM；

2

即MBC沿AB方向平移的距離是3cm.

(2)由平移的性質(zhì)可得：CF=A￡>=3a”，EF=BC=3cm,

EL4E=8C/M,AC=4cm,

回四邊形AEFC的周長(zhǎng)=AE+EF+C尸+AC=8+3+3+4=18(c/n).

回四邊形AEFC的周長(zhǎng)是18c/?i.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平移的性質(zhì)，屬于基本題型，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在0ABC中，回8=30。，S4c8=40。，AB=4cm,0ABe逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與勖￡>E重合，且點(diǎn)C

恰好成為A。的中點(diǎn).

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

(2)求出自BAE的度數(shù)和AE的長(zhǎng).

【答案】(1)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為110°；(2)0BAE=14O°,AE=2cm.

【分析】

(1)先利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出E1BAC=11O。，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求解；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得回EAO=UIC4B=110。，AE=AC,AD=AB=4cm,則可利用周角定義可計(jì)算出回班房⑶。。,

然后計(jì)算出AC,從而得到AE的長(zhǎng).

【詳解】

解：(1)0BAC=18O°-SB-a4CB=180°-30°-40°=110°,

即E)8A￡>=110°,

隨ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與0AOE重合，

團(tuán)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為110°；

(2)的4BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，

I20￡4D=0CAB=110°,AE=AC,AD=AB=4cm,

E0R4E=36O°-H0--110°=140°,

12點(diǎn)C恰好成為A。的中點(diǎn)，

i?L4C=—AD=2cm,

2

?4E=2cm

E

D

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;

旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

【專題訓(xùn)練】

一、選擇題

1.下列是四個(gè)汽車標(biāo)志圖案，其中可看作由“基本圖案”經(jīng)過(guò)平移得到的是（）

B.G08DD.

【答案】B

【分析】

根據(jù)平移的概念觀察即可

【詳解】

解：由"基本圖案"經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到

由“基本圖案"經(jīng)過(guò)平移得到

由“基本圖案”經(jīng)過(guò)翻折得到

不能由“基本圖案”經(jīng)過(guò)平移得到

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查平移的概念，考查觀察能力

2.如圖，將周長(zhǎng)為7的AABC沿8C方向平移2個(gè)單位得到△￡>所，則四邊形A8FD的周長(zhǎng)為（)

A.16B.9C.11D.12

【答案】C

【分析】

先根據(jù)平移的性質(zhì)得AC=DF,AD=CF=2,然后利用等線段代換得到四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AB+BC+AC+b+AD

【詳解】

解：aa4BC沿BC方向平移2個(gè)單位得到回￡>EF,

^AC=DF,AD=CF=2,

西4BC的周長(zhǎng)為7,

EL4B+BC+AC=7,

回四邊形ABFD的周長(zhǎng)

^AB+BC+CF+AC+AD

=1+CF+AD

=7+2+2

=11.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的

形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn).連

接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等.

3.如圖，在&AABC中，NC=90°,NA6C=30。，將RhABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到RtZVWP,使

點(diǎn)C'落在邊AB上，連接38'.則下列結(jié)論一定正確的是（）

B'

A.ZCAB^ZAB'C'B.AC^B'C'C.NABC=4ABBD.AB-BB1

【答案】D

【分析】

先計(jì)算11的BAC=60。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到E!CA￡r=glC4B=60。，AB=AB',則可判斷B4BB，為等邊三角

形，從而逐個(gè)判斷選項(xiàng)，即可.

【詳解】

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZABC^ZABC\BC=6'C故A、8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

00C=9O°,EL4BC=30°,

00BAC=6O",

BRt^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt^AB'C',使點(diǎn)C落在48上，

aaC'A8'=!3CAB=60°,AB^AB',

團(tuán)財(cái)89為等邊三角形，

國(guó)BB'=AB.NABCcZABB，

故C錯(cuò)誤，。正確.

故選。.

【點(diǎn)

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與

旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，將AABC紙片繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40。得到VA'8'C,連接AA，若AC_LA'9,則NAA'?的度

數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，求得aDA'C的度數(shù)，然后在等腰財(cái)CA'中利用等邊對(duì)等角求得avrc的度數(shù)，即可求解.

【詳解】

解：若AC13/V8，，垂足為，由旋轉(zhuǎn)可知，配)C4=4()。，CA=CA',

ELACaA'B',

EBZM'C=90°-SDCA'=90°-40°=50°.

E)C4=C4,

WCAA'^SCA'A^—(1800-0DCA9=」-x(180°-40°)=70°,

22

函44夕=70。-50°=20°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)

鍵.

5.如圖，在a48c中，AB=AC,。是BC中點(diǎn)，將04OC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得0AEF,點(diǎn)O,C分別對(duì)

應(yīng)點(diǎn)E,F,連接CF.若豳4c=62。，則I3CEE等于()

【答案】4

【分析】

由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD,a4CB=0ACB=59\AD^BC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=AC,0CAF=90°,

財(cái)FE=?4CO=59。，即可求解.

【詳解】

解：B48=AC,。是8c中點(diǎn)，回B4C=62。，

180°-Z￡?AC_

SBD=CD,^ACB=^1ACB=-----------=59°,AD^BC,

2

團(tuán)將MOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得0AEF,

BAF=AC,13cA尸=90°,0AFE=a4CO=59°,

0EL4FC=45°,

00CFE=59°-45°=14°,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，

等腰直角三角形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題

6.把點(diǎn)口4,5)先向上平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位后的坐標(biāo)為.

【答案】(8,7)

【分析】

讓點(diǎn)P的橫坐標(biāo)加4,縱坐標(biāo)加2即可得解.

【詳解】

解：點(diǎn)P(4,5)先向上平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位后的坐標(biāo)為(8,7),

故答案為:(8,7).

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形的平移變換，用到的知識(shí)點(diǎn)為：左右移動(dòng)改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減，右加：上下移動(dòng)改變點(diǎn)的

縱坐標(biāo)，下減，上加.

7.如圖，在三角形A8C中，0ABC=9O。，8c=11,把三角形A8C向下平移至三角形。后，AD=CG=6,

則圖中陰影部分的面積為.

ZIK

z)L\

B

【答案】48

【分析】

先根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE=6,EF=BC=\\,S01c=§9所，則BG=5,由于$陰影部分=S梯形班依，

所以利用梯形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：???三角形ABC向下平移至三角形。瓦

：.AD=BE=6,EF=BC=\\,S*BC=SWEF，

.BG=BC-CG=ll-6=5,

S^BEFG=-(5+11)X6=48,

S陰影部分+S3BG=^\DBG+S梯形BEFG，

S陰影部分=S梯形=48.

故答案為48.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的

形狀和大小完全相同：新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn).連

接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或共線)且相等.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-3,0)、點(diǎn)B(0,3),點(diǎn)E在上，將S4BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到MEE,則AE的值為—.

【答案】3行

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得04、的長(zhǎng)，利用勾股定理求出A8的長(zhǎng)即可得

答案.

【詳解】

團(tuán)將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到汕

財(cái)'夕=48,

團(tuán)點(diǎn)4(-3,0)、點(diǎn)B(0,3),

團(tuán)OA=3、03=3,

^A'B'=AB=^+32=3^,

故答案為：3亞

【點(diǎn)睛】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化一一旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；正確找出對(duì)應(yīng)邊

是解題關(guān)鍵.

9.如圖，將直角三角形ABC沿著方向平移得到三角形DEF，若48=6cm,=4cm,C”=1cm,

21

圖中陰影部分的面積為-rcn?,則三角形ABC沿著A8方向平移的距離為cm.

3

【答案】-

2

【分析】

根據(jù)題意，計(jì)算得“5；再根據(jù)陰影部分的面積MSMC-S^DBH，通過(guò)求解一元一次方程得￡)5,從而得

AD，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，得HB=BC—CH=4-1=3皿

0ZABC=90°

團(tuán)三角形DBH為直角三角形

1,13

0SMBC=萬(wàn)ABxBC=I2cm~,S^DBH=—DBxHB-—DB

2]

根據(jù)題意得：陰影部分的面積=sc-S4D8H，且陰影部分的面積為-rcn?

4

321

012--Z)B=—

24

SiDB-—cm

2

933

回AO=AB—=6——=-C7%,即三角形ABC沿著AB方向平移的距離為二cm

222

3

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移、一元一次方程、三角形面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移、一元一次方程的

性質(zhì)，從而完成求解.

10.如圖，在RtAABC中，NC=30。，將△ABC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)二(。<a<60)到^ABC，邊AC和邊AC

相交于點(diǎn)P,邊AC和邊BC相交于。，當(dāng)VBPQ為等腰三角形時(shí)，則&=.

【答案】20°或40

【分析】

過(guò)8作BD^AC于。，過(guò)B作BE0ACTE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得,則BD=BE,進(jìn)而得到平分EL4FC,

再根據(jù)13c=回。=30°,回8。。=回尸。。，可得(3C8Q=!3C'PQ=a,即可得出回8PQ=：(180°-EIC'PQ)=90°-

ga,分二種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180。，即可得到關(guān)于a的方程，進(jìn)而得到結(jié)果.

2

【詳解】

解：如圖，過(guò)8作8O04C于。，過(guò)8作8E04C7，

由旋轉(zhuǎn)可得，SABCBSSA'BC,則BD=BE,

尸平分M'PC,

又E0C=I3C'=3O°,U\BQC=^PQC',

WCBQ^CPQ=a,

甌8PQ=g(18O°-I3CPQ)=90°-gc,

分三種情況：

①如圖所示，當(dāng)尸8=尸0時(shí)，(3P8Q=l3P0B=l3C+(3QBC=3O°+a,

EHBPQ+回產(chǎn)8Q+EIPQB=180°,

090°-—a+2x(30°+a)=180°,

2

解得a=20°；

②如圖所示，當(dāng)時(shí)，^BPQ^BQP,

即90°-—a=30°+a,

2

解得a=40°；

③當(dāng)QP=QB時(shí)，^QPB=SQBP=90°-a,

又EBBQP=30°+a,

^BPQ+SPBQ+^BQP=2(90°--1-a)+30°+a=210°>180°(不合題意),

故答案為：20?；?0。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊上高

相等，得出B尸平分MFC,解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用.

三、解答題

11.若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯.

(1)求地毯的長(zhǎng)是多少米?

（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？

【答案】（1）7米；（2）140元

【分析】

（1）首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)；

（2）首先計(jì)算出地毯的面積，然后用面積乘以10即可得出答案.

【詳解】

（1）,/BC=3m,AB—5m,ZACB—90°,

：.AC=dAB。-BC。=V52-32=4m,

AC+BC=lm,

回地毯的長(zhǎng)為Im-,

（2）地毯的面積為7x2=14加2,

團(tuán)鋪這個(gè)樓梯所需的花費(fèi)為14x10=140（元）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理及平移的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是關(guān)鍵.

12.已知：如圖，把一個(gè)含30。角的直角三角板ABC繞著頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到三角形COE,點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)。落在BC的延長(zhǎng)線上.

（1）三角板A8C旋轉(zhuǎn)了多少度？

（2）連接BE,求回BEC的度數(shù).

（1）三角尺旋轉(zhuǎn)的角度即為財(cái)CO的度數(shù)，而和三角尺的30。角互為補(bǔ)角，山此可求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BC=CE,由此可得出I3BCE的形狀，進(jìn)而求出0BEC的度數(shù)：

【詳解】

解：（1）回把一塊直角三角板ABC繞著30。角的頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

團(tuán)0AC8=3O°,

00DCE=3OO,

0B4CD=0BC￡=180°-30°=150°,

即旋轉(zhuǎn)了150°；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，CB=CE,故回C3E為等腰三角形，

“180°-150°

故(3BEC=EIC8E=-----------=15°；

2

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.如圖所示，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6,PB=S,PC=10,若將繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△/<48.

(1)求PP的長(zhǎng)；

(2)Z4P8的度數(shù).

【答案】(1)6；(2)1500

【分析】

(1)連結(jié)尸尸，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知8P'=PC=10,AP'=AP,^PAC=^P'AB,根據(jù)朋4C+回BAP=EIP'AB+團(tuán)BAP=60°

可得S4PP為等邊三角形，即可證明PF=AP=6；

(2)利用勾股定理的逆定理可得團(tuán)8Q產(chǎn)為直角三角形，且I3BP戶=90。，由(1)得幽/7>=60。，即可得答案.

【詳解】

解：(1)連結(jié)尸P，如圖.

回AABC為等邊三角形，

^AB^AC,ABAC=60°,

0^PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針能轉(zhuǎn)后，得到△P'A8，

E0MC+^BAP=^P>AB+SBAP=60",

(2NPAP=60。，P,B=CP=10,AP'=AP=6,

團(tuán)AAPP'為等邊三角形，

0/4叩=60°,PP'=AP=6.

（2）在△3P7y中，

⑦BP=8,PP=6,PB=10,

在團(tuán)8尸產(chǎn)中，

0PP'-+PB1=P'B-<

圖APBP為直角三角形,NPPB=90。，

團(tuán)ZAPB=ZAPP'+ZP'PB=600+90°=150°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.

14.如圖，在EL4BC中，AF1SBC于點(diǎn)F.將財(cái)BC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到ELWE,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D

恰好落在BC邊上.

(1)若05=50。,求回D4F的度數(shù)；

(2)若EIE=EIC4。，求證：AD=CD.

【答案】(1)40°；(2)見解析

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AO=A8,則&4。尸=回8=50。，可求出答案；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出回C=囪E,得出回C=囪CA。，可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)回將0A8C繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到MOE,

國(guó)奶。尸=奶=50°,

團(tuán)在Rf^ADF中,0ZMF=9O。-50。=40。；

(2)證明：團(tuán)將助3C繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到MOE,點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在3c邊上.

盟。=團(tuán)￡;

又隨E=l3cAO,

團(tuán)團(tuán)C=aCA￡>,

0AC=CO.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確記住旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵.

15.如圖，A(—3,2),B(-l-2),C(l,-1).將AABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向上平移1個(gè)單位

長(zhǎng)度，可以得到△A4G.

(1)△A4C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為—.

(2)求ZiAgG的面積.

3

(3)已知點(diǎn)尸在x軸上，以A、G、P為頂點(diǎn)的三角形面積為彳，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為—.

【答案】(1)(0,3),(4,0)；(2)5；(3)(3,0)或(5,0)

【分析】

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)，將平移之后的圖形畫出，然后確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可;

(2)利用割補(bǔ)法求解，用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積即可；

(3)由于點(diǎn)p在“軸上，所以以PG為底邊，4的縱坐標(biāo)為高計(jì)算求解即可.

【詳解】

解：(1)如圖，laAfiG為所作，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,3)；頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4,0)；

故答案為:(0,3)；(4,0)；

(2)G1A］BC］的面積=4x4-；x2x4一;x2xl-gx4x3=5；

(3)設(shè)P點(diǎn)得坐標(biāo)為Q,。)，

3

?.?以4、G、P為頂點(diǎn)得三角形得面積為5，

/.1x3x|f-4|=|,解得［=3或2=5,

即P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(5,0).

故答案為:(3,0)或(5,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查平移變換，理解平移的性質(zhì)，熟記在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法是解題關(guān)鍵.

16.已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別為8(-5T),。(一1,-3),三角形川夕。是三角形4BC經(jīng)過(guò)

平移得到的，三角形ABC中任意一點(diǎn)P(x,y)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x+6,y+4).

(1)請(qǐng)寫出三角形A8C平移的過(guò)程；

(2)寫出點(diǎn)4，C的坐標(biāo)；

(3)請(qǐng)?jiān)趫D中建立直角坐標(biāo)系，求三角形A8C的面積.

【答案】(1)三角形ABC先向右平移6個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到團(tuán)ABV；(2)4(2,3),(7(5,1)；

(3)5.5

【分析】

(1)根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和平移后的坐標(biāo)可得答案;

(2)根據(jù)(1)中P點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可得答案;

(3)首先建立坐標(biāo)系，畫出0AEC,然后再利用矩形面積減去周圍多余三角形的面積即可.

【詳解】

解：(1)三角形ABC中任意一點(diǎn)P(x,y)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x+6,y+4),

???平移后對(duì)?應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)加6,縱坐標(biāo)加4,

三角形ABC先向右平移6個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到回；

(2)4(2,3),(7(5,1)；

(3)三角形ABY7的面積：3x4--xlx3--x3x2--x4xl=5.5.

222

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了作圖-平移變換，關(guān)鍵是確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置.

17.在中，ZACB^90°,4=36°,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a得到

點(diǎn)A、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、E.

D

圖1圖2

(1)若邊OE恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,如圖1,求ZBQD的大??；

(2)當(dāng)a=36°時(shí)，如圖2,設(shè)48與OE交于點(diǎn)M，求證：M是。E中點(diǎn).

【答案】(1)18。；(2)見解析.

【分析】

(1)利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，C8=CE構(gòu)成的等腰三角形，用其性質(zhì)求解即可;

(2)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和判定求解即可.

【詳解】

(1)解：如圖I,

圖1

⑦ZDCE=ZACB=90°,

12Z￡=ZABC=90°-36°=54°,

0BC=EC,

ElZCBE=ZE=54°,

0ZBCE=180°-2NE=72°,

回ZBCD=ZDCE-NBCE=90°-72°=18°.

(2)證明：設(shè)AM與CO交于點(diǎn)N,連接CM(如圖2),

EINACV=a=36°=ZA,

以AN=CN,

0ZZ)=ZA=ZACV,

0DEI/AC,

出ZDMN=ZA=4D,

0NM=ND,

?AM=AN+NM=CN+ND=CD,

0AC——CD，

^AC=AM

圖2

S\ZMCD=ZACM-ZACN=36°=ZD,

?DM=CM,

13ZMCE=ADCE-ZMCD=90°-36°=54°=Z￡；,

0￡M=GW=DM,即M是。E中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.感知：如圖①，已知正方形ABC。的邊C￡＞在正方形。EFG的邊。E上，連結(jié)AE、CG,易證

△AEg/XCGD.（不需要證明）

探究：將圖①中正方形。EFG繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在8c邊上，如圖②.連結(jié)AE、CG,

證明：AE^CG.

應(yīng)用：如圖③，正方形A8s中，AZ)=3,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，BE=1,DE=DF,回E￡>F=90。.直接寫出

點(diǎn)尸與點(diǎn)C的距離.

【答案】探究：證明見解析；應(yīng)用：點(diǎn)尸與點(diǎn)C的距離為廂.

【分析】

探究：結(jié)合旋轉(zhuǎn)模型，利用“邊角邊"證明△A￡D”z\CG。即可得出結(jié)論；

應(yīng)用：連接尸C,根據(jù)前序問(wèn)題中的方法證明0A也頓CFD,從而得到CF=AE,即在Rt^AED中求解AE即可.

【詳解】

探究：證明：在正方形A8CD和正方形DEFG中，

AD=CD,DE=DG,NADC=NEDG=90°，

mZADE=NCDG,

04AEgACGD,

團(tuán)AE—CG；

應(yīng)用：連接/C,

WEDF=^ADC=90°,

的4。氏團(tuán)CQR

又M￡>=CD,DE=DF,

^AEDmCFD9

0CF=AE,

在R/MED中，AE7AB-BE?=M,

團(tuán)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)c的距離為Ji6.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握基本的旋轉(zhuǎn)模型，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

19.如圖，已知等腰RtZ\ABC,AB=AC,ABAC=90°，直線A8繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，得直線篦，點(diǎn)8關(guān)

于直線A尸的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接AE，CE,CE交直線AP于點(diǎn)F,連接BF.

圖2

(1)如圖1,直接寫出線段EE,EA,FC之間的數(shù)量關(guān)系？不用說(shuō)明理由：

(2)當(dāng)直線AP旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正

確的結(jié)論，并說(shuō)明理出；

(3)若AC=4,當(dāng)N84P=30°時(shí)，直接寫出線段CE的長(zhǎng)？

【答案】⑴FC-FE=OFA；(2)不成立，應(yīng)為FE-FC=JiFA，證明見解析；(3)2而+2夜或

2V6-2V2.

【分析】

(1)連接BE,過(guò)點(diǎn)A作AGEL4F于交EC于點(diǎn)G,證明B4￡7迥EL4CG可得AF=AG,EF=CG,進(jìn)一步證明S4FG

是等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理求解即可；

(2)解題思路、方法同(1)；

(3)直線AP的位置分兩種情況，思路同(1),(2).

【詳解】

解：(I)FC-FE=6FA

連接BE,過(guò)點(diǎn)A作A5AF于交EC于點(diǎn)G,

團(tuán)點(diǎn)E,8關(guān)于AF對(duì)稱,

EL4P垂直平分BE,

團(tuán)AE=AB,Z1=Z5

又AABC是等腰直角三角形，

回ZBAC=90°,AB=AC,

^S2+SBAG=90°,AE=AB=AC

又AG0EC,

005+0BAG=9Oo

002+0BAG=05+l?lBAG

002=05=01

又AE=AB=AC

003=04

在B4E廠和MCG中，

Z3=Z4

■Z1=Z2

AE=AC

EB4E34CG

S4F=AG,EF=CG

B1AF=AG,AF^AG

OMFG是等腰直角三角形，

^G=V2AF

團(tuán)FC=FG+GC=&F+EF，即F。一尸￡=及必

(2)不成立，應(yīng)為FE-FC=QFA

理由：過(guò)點(diǎn)A作AGLAF,交BF于點(diǎn)、G,

B

山點(diǎn)8與點(diǎn)E關(guān)于直線AP對(duì)稱可知△AEF之△ABE

0AE=AB=AC>/-E=ZABG，BF=EF

I2NE=NACE

0ZABG=ZACE

又圖AB=AC，ZBAG=ZCAF=900-ZCAG

SAG=AFBG=FC

團(tuán)NE4G=90°

回AAG/為等腰直角三角形

^AG2+AF2=FG2

SGF-V2M

團(tuán)BF—BG—GF

田FE-FC=OFA

（3）2n+2播或2后-20

①如圖，回8Ap=30。，過(guò)點(diǎn)A作AG0AF,交FC于點(diǎn)G

由（1）,（2）得，EL4EF0EL4CG

^EF=CG,MFG為等腰直角三角形，

過(guò)點(diǎn)E作EHSAF于點(diǎn)H,

EBAFG=45°,0￡WF=9O'

^EF=42EH,EH=HF

又ia/ME=30°,0EHF=9O°,AE=AC=4

SEH=2,HF=2

四小YIAE2-HF2=2V3

?EF=2g,AF=AH+HF=2y/3+2

12FG=>[2AF=&(26+2)

0EC=FG-FE-CG=FG-2FE=2遍+2血-4啦=2屈-2立

②如圖，回8Ap=30°,

此時(shí)情況與（1）相似，有：SAEF^BACG

過(guò)點(diǎn)B作BH^AP于點(diǎn)H,則有，

AF=AH-HF=26-2,EF=BF=272

0EC=6FA+2EF=2瓜-2垃+40=2瓜+2血

綜上，EC的長(zhǎng)為2指+2叵或2瓜-2叵

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾

股定理等知識(shí)，作出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

20.把我們常用的一副三角尺按照如圖方式擺放：

ZB4O=NODC=90°,ZB=45°,NC=30°.

(1)如圖1,兩個(gè)三角尺的直角邊OA、0。擺放在同一直線上.求出此圖中N30C的度數(shù)；

(2)如圖2,如果把圖1所示的AOAB以。為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到當(dāng)0*平分NCO。時(shí)，求

Z40A'為多少度；

(3)如圖3,兩個(gè)三角尺的直角邊OA、。。擺放在同一直線上，另一條直角邊OB、0c也在同一條直

線上，如果把A。鉆以。為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，兩條斜邊AB〃C￡>，請(qǐng)直接寫出答案.

【答案】(1)75°；(2)105°；(3)105?；?85°

【分析】

(1)由平角的性質(zhì)可求解；

(2)山旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得財(cái)08=吶08'=45。，由角的數(shù)量關(guān)系可求解；

(3)分兩種情況討論，由平行線的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：(1)由三角板的性質(zhì)可知：

WAOB=45Q,回C00=60°,

EBBOC=75°；

(2)WiOAB以0為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)