西藏昌都市第四高級中學2022屆高三一模數學（理）試題(含答案)

西藏昌都市第四高級中學2022屆高三一模數學（理）試題

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、若集合4=卜|2/+》_15<o}，8={T,—2,0,2,4},則A8=（）

A.{-2,0,2,4}B.{-2,0,2}C.{0,2}D.{0,2,4}

2、z（l+2i）=3—4i，則|z|=（）

A.2B.瓜C.石D，3

3、2021年某省高考體育百米測試中，成績全部介于12秒與18秒之間，抽取其中100個樣本，將

測試結果按如下方式分成六組：第一組［12,13）,第二組［13,14）,…，第六組［17,18］,得到如下的

頻率分布直方圖.則該100考生的成績的平均數和中位數（保留一位小數）分別是（）

4、已知a?（）,兀），且sin2a=；，則sin（a+：J的值為（）

A巡C.1D.娓

366V

5、為慶祝中國共產黨成立100周年，樹人中學舉行“唱紅歌”比賽.現有甲、乙、丙、丁共4人進

入決賽，則甲必須在第一或第二個出場，且丁不能最后一個出場的方法有（）

A.6種B.8種C.20種D.24種

6、已知實數。=log23,b=V,c=log,2,則這三個數的大小關系正確的是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

22

7、雙曲線E與橢圓C:三+工=1焦點相同且離心率是橢圓C離心率的G倍，則雙曲線E的標準

62

方程為（）

2222

A.X2-^=1B.y2-2x2=\C.—-^-=1D.---y2=i

3223

8、記S〃為等差數列｛〃〃｝的前〃項和，已知§5=0，4=6,貝川)

2

A.%=12—〃B.=16C.Sn=2n-iOnD.5I0=50

9、已知函數/(x)=sins-Gcoss3>0)的圖象向左平移三個單位長度后得到函數g(x)的圖象

6

關于y軸對稱，則。的最小值為()

2

A.lB.2C.-D.5

3

10、己知函數y=2&的圖象上一點P,A(l,0),5(2,1),貝1」|必|+|尸3|的最小值為()

A.2B.夜C.3D.20

11、已知數列｛叫的首項=1,%>0,前”項和5“滿足5；-5,,+葭「$1-255_1=0,則數

列｛“"｝的前"項和S,,為()

A."(〃+DB.2"-'C.21-1D.r-l

2

12、已知函數f(x)是定義在(—0,0)5。,。)的奇函數，當xe(0,w)時，xf'(x)<f(x),則不等式

5/(2—x)+(x—2)/(5)<0的解集為()

A.(^?,-3)u(3,+oo)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)5。,7)D.(-3,2)52,7)

二、填空題

13、已知向量a=(T,加)，b=(l,—2)，且(。一28)_16，則機=.

14、函數/(x)=e、+e在點(1J⑴)處的切線方程為.

15、二項式(x+5)6的展開式中的常數項為.

三、解答題

22

16、已知產為雙曲線匕1-4=1(4>0力>0)的右焦點，過點/向雙曲線E的一條漸近線引垂

a'b-

線，垂足為A,且交另一條漸近線于點8,若IOFRFBI，則雙曲線E的離心率是.

17、在ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且ccos8+8cosC=3acos8.

(1)求cos8的值；

(2)若。=2，的面積為28，求邊長a的值.

18、已知橢圓的兩焦點分別為(-1,0)和(1,0),短軸的一個端點為(0,6).

(1)求橢圓的標準方程；

（2）橢圓上是否存在一點尸使得PE?若存在求△PKK的面積，若不存在，請

說明理由.

19、致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網絡知識競

賽”活動.并對某年級的1。0位學生競賽成績進行統(tǒng)計，得到如下人數分布表.規(guī)定：成

績在［80,100］內，為成績優(yōu)秀.

成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數510152520205

⑴根據以上數據完成2x2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為此次競賽成績與性別

有關；

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男10

女35

合計

（2）某班級實行學分制，為鼓勵學生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學分"趣味活動方

案：規(guī)定成績達到優(yōu)秀的同學，可抽獎2次，每次中獎概率為，（每次抽獎互不影

響，且P的值等于成績分布表中不低于80分的人數頻率），中獎1次學分加5分，中

獎2次學分加10分.若學生甲成績在［80,100］內，請列出其本次讀書活動額外獲得學分

數X的分布列并求其數學期望.

參考公式：長=______一從)’________

n-a+b+c+d-

(a+￡?)(c+d)(a+c)(/?+d)

附表:

P(K2>k)

[}0.1500.1000.0500.0100.005

“02.0722.7063.8416.6357.879

20、如圖，在四棱錐p—ABCD中，底面48CD是矩形，M是PD的中點，PD上BM，

9=3，AB=4，AC=5，PD=30-

p

⑴證明：以上平面人尤。；

(2)求點A到平面MCD的距離.

21、已知函數/(x)=ac—lnx(aeR).

(1)當a=2時，求函數/(x)的極值;

(2)若對Vxe((),?+<?)，/(x)〉0恒成立，求a的取值范圍.

22、在平面直角坐標系中，直線/的參數方程為(其中t為參數).現以坐

標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕=6cos/

(1)寫出直線/普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)過點且與直線/平行的直線4交C于48兩點，求|AB|.

23、已知函數/(x)=|2x—4|+|x+2|.

⑴解關于x的不等式/(x)>10:

(2)求滿足21+4的實數x的取值范圍.

參考答案

1、答案：B

解析：集合A={乂2》2+%—15<0}=卜|一3Vx<.

因為8={_4,-2,0,2,4},所以AB={-2,0,2).

故選：B

2、答案：C

解析：z(l+2i)=3-4i,

3一4小一_方,

l+2i(l+2i)(l-2i)

22

..,|Z|=7(-D+(-2)=V5.

故選：C.

3、答案：C

解析：100名考生成績的平均數

x=12.5x0.10+13.5x0.15+14.5x0.15+15.5x0.30+16.5x0.25+17.5x0.05=15.1.因為前三組頻率直

方圖面積和為0.10+0.15+0.15=0.4,前四組頻率直方圖面積和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.7,

所以中位數位于第四組內，設中位數為小則(4-15)x0.30=0.1,解得4x15.3,故選C.

4、答案：D

解析：由sin2a=；，得2sinacosa=g，則(sina+cosa)?=l+2sinacosa=g,

又ae(0,7i),2sinacosa>0?所以sina>0,cosa>0所以sina+cosa>0，則

.2G

sina+cosa=-----,

3

▽兀1.it.兀后、近2乖)瓜

乂sincc+--sinacos—+cosasin—=---(sina+cosa)=x------=------

I4；442233

故選：D.

5、答案：B

解析：由題意知，當甲第一個出場時，不同演講的方法有C；用=4(種)；

當甲第二個出場時，不同演講方法有C；A；=4(種)，

所以所求的不同演講方法有4+4=8(種)，故選B.

6、答案：A

解析：y=log2x在定義域上單調遞增，

33

log23>log2也=log2V-

2

)，=1竿3%在定義域上單調遞增,

.1.0=log31<log32<log33=1,

/.0<c<1,

\_

又〃=22=V2€

「1

.\a>b>c,

故選：A.

7、答案：C

解析：由題知，橢圓￡+[=1的焦點坐標為(2,0)和(-2,0),離心率為4.設雙曲線E的標準方

程為《?-"?=1(。＞0,6＞0),則/+屬=4且2=^x6,解得〃=/=2,所以雙曲線后的標

a2h2a3

02

準方程為三-匕=1,故選c

22

8、答案：D

解析：設等差數列｛%｝的公差為d,由題知戶=5q+10d=0,解得卜=~4,

'[?6=a1+5d=61d=2

所以，a”=-4+2(〃—1)=2〃—6，Sn—=5〃，

2

則4o=2x10—6=14,S1O=1O-5X1O=5O.

故選：D.

9、答案：D

解析：f(x)=sin<yx-5/3cosa>x=2sincox--

g(x)=2sin[o(x+E)-=2sin(ox+婦-巴).又函數g(x)的圖象關于y軸對稱，則

3JI63J

竺一￥=也+巴，k￡Z,.?.0=6氏+5,keZ.口＞0,.?.當々=0時，@有最小值5,故選D.

632

10、答案:c

解析：如圖，函數y=26的圖象即曲線V=4x的圖象在X軸上和X軸上方的部分，

點A為拋物線的焦點，拋物線的準線為x=-l.過點?作準線的垂線，垂足為點。，過點8作準線

的垂線，垂足為點C,貝l」|PA|=|PQ|,|E4|+|PBHPQ|+|P3以BC|=3,即|A4|+|PB|的最小值

解析?：由S；-S“+S,3-S,i-2sAl=0得2S“=S,"2S?S?_,+器+,即

2

2Sn=(S?-5?.1)+(5?-5?_1),所以2s“=4；+“，，所以2s角+a,用，兩式作差，得

2a“+i+4什1一(%+4)，即碌1_%+1=片+%，所以_；=(""+g)所以

?！?1—%=1或%+1+4〃=0，又4>0，故4+1-%=1，所以數列｛〃〃｝是以1為首項，1為公差的

等差數列，所以數列｛%｝的前〃項和s.=ap,故選A.

12、答案：D

解析：由已知得當xe(0,+oo)時，xf'(x)-/(%)<0.

令g(x)=幺△，則當xe(0,M)時，g'(x)=^'(X)~fM<0,

XX

所以g(x)在(0,4^0)上為單調遞減函數.

由f(x)是定義在(9,0)50,E)的奇函數，得g(-%)=比0=丁里=以2=g(x),

-x-xX

故g(x)是定義在(-oo,0)u(0,+co)的偶函數，且g(x)的圖象關于y軸對■稱.

令〃(x)=g(x-2),.?.函數"(x)=g(x-2)=/區(qū)一2)在(2,他))上為減函數，

x-2

且函數以x)圖象關于直線x=2對稱，當xe(2,+oo)時，x-2e(0,+oo),則

5/(2-x)+(x-2)/(5)<0,即(x-2)?/(5)<-5/(2-x),即(x-2)/(5)<5f(x-2),

幽<以匕2,也芻<絲烏即〃(7)<W),得2<x<7.

5x—27—2x—2

依據函數〃(x)的圖象關于直線x=2對稱，得當xe(f0,2)時，不等式57(2-x)+(x-2)./(5)<0的

解集為-3<x<2,故原不等式的解集為(-3,2)u(2,7),故選D.

13、答案：-7

解析：向量a=(-4,根)，b-(1,-2)>且(a-

:1a-2b>b=a-b-2b°=(-4-2m)-2x5=0,

則m=—7,

故答案為：-7.

14、答案：y=ex+e

解析：/(x)=eA+e>/⑴=2e，r(x)=e*,Z=/")=e,

.,.切線的方程為：y-2e=e(x-l)>即丫="+6,

故答案為：y=ex+e.

15、答案：15

令6-二〃=0得廠=4，

2

所以展開式的常數項為C：=15，

故答案為：15

16、答案：—

3

解析：如圖所示，過尸向另一條漸近線引垂線，垂足為。.

由題意得，雙曲線的漸近線方程為卜=±2犬，

a

則F(c,O)到漸近線的距離d=嚴?=b,

yja2+b2

即|弘|=|k0=匕，

則|OARO￡)|=a,\AB\=b+c,

一O所為等腰三角形

二。為08的中點，:\OB\=2a,

ABLOA,

08F=|。412+1AB/=儲+s+c)2,

即4a2=°2+(b+c)2,整理得c?—bc-2Z?2=0,

.\c=2bf

貝ij2a=Gc,e=$=26..

a3

17、答案：(1)cosB=—;(2)a=3-

3

解析：(1)在ABC中，由正弦定理一3_=_2_=_J,設，=々，

sin4sinBsinCsinA

則。=AsinA，b=ksir\B，c=ZsinC，

代入ccos3+bcosC=3acos8，

可得Z(sinCcosB+sinBcosC)=3ksinAcosB，

所以sin(C+3)=3sinAcosB，sin(C+B)=sinA，

化簡得sinA=3sinA8s3，

因為A,3W(0,TT),sinA>0?sinB>0?

所以cosB=—;

3

(2)由(1)可知'sinB>0>sinB=>/l-cos2B=,

T71

^S^ABC=-acsinB，

所以J_e2.逑=2近，解得a=3-

23

Y22

18、答案：（1）—+^V=1

43

（2）橢圓上不存在點P,使得P[J_PK，理由見解析

解析：（I）橢圓的兩焦點分別為（-1,0）和（1,0）,短軸的一個端點為（0,6/

/.c=Lb=A/3,

:.a=Nb~+c2=2,

22

橢圓的標準方程為：土+二=1;

43

（2）假設橢圓上存在點尸（與,%）,使得P耳，P心，

則P/P6=(—1—無。，―%>(1—%―%)=0,

即片+y；=1,

片+尤=1

聯立片常_，得：*=-8,此方程無解.

丁不一

.?.橢圓上不存在點P,使得產￡1PF2.

19、答案：（1）列聯表見解析，沒有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關

（2）分布列見解析，期望值為2.5分

解析：（1）

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男104050

女153550

合計2575100

假設分此次競賽成績與性別無關.

心嚼ye

所以沒有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關;

⑵

P(X=5)=C/3=3,

2448

P(x=io)=4y

X的分布列為：

ErEH

Q013

期望值E(X)=5X』+10X~!~=L=2.5(分)

8162

20、答案：(1)證明見解析

(2)還

2

解析：(1)證明：在矩形A8CD中，AB=4，AC=5，可得BC4)=3,

所以242+92=^02,即弘，")，

連接BD,

P

又點M是PD的中點，PDA.BM，可得PB=BD=5,

所以"2+.2=心2，即融

又ABAD=A，所以R4_L平面ABCD.

(2)因為Q4J_AB，AB±AD，PA(4。=4所以45,平面外。.

又CD//AB，所以CO_L平面PAD,

因為MDu平面以。，所以CDLMD，

設點A到平面MCD的距離為h,

又M是PD的中點，所以M到平面ACD的距離為J_PA=』

22

因為^A-MCD=^M-ACD，

—x—x4x^3LX/J=J-X—x4x3x—，解得h=3叵',

3223222

即點A到平面MCD的距離為迪.

2

21、答案：（1）極小值為i+m2,無極大值；（2）（；，+8）

解析：（1）函數/（x）的定義域為（0,+8）,

當a=2時，f（x）=2—L=^^（x>0）.由f（x）=0，得％=」.

xx2

當X變化時，/'（X）,/（X）的變化情況如下表

X

H)2IT

f(x)-0+

f(x)單調遞減極小值單調遞增

所以/（X）在（0,；）上單調遞減，上單調遞增,

所以函數/（X）的極小值為/（S=l+ln2,無極大值.

（2）對Vxe（0,+oo），/（x）>0恒成立，即對Vxe（0,+oo），a>也二恒成立.

令〃（%）=見^，則〃'（x）=^~~.由4