專題07三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式（12大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題07三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制1、任意角的定義（1）定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。（2）角的表示：=1\*GB3①始邊：射線的起始位置．=2\*GB3②終邊：射線的終止位置．=3\*GB3③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O．=4\*GB3④記法：圖中的角可記為“角”或“”或“”．（3）角的分類：=1\*GB3①正角：按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；=2\*GB3②負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；=3\*GB3③零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角2、象限角與軸線角（1）象限角的定義與表示：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角。象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角（2）軸線角的定義與表示：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角。角的終邊位置集合表示軸的非負(fù)半軸軸的非正半軸軸上軸非負(fù)半軸軸非正半軸軸上3、角度制與弧度制（1）角度制與弧度制的定義=1\*GB3①規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.=2\*GB3②弧度制的定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.=3\*GB3③弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值.（2）角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)（3）一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度04、弧長(zhǎng)與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，或°為其圓心角，則弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長(zhǎng)扇形的面積知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的定義與符號(hào)1、三角函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，叫做的正弦函數(shù)，記作.即；叫做的余弦函數(shù)，記作.即；叫做的正切函數(shù)，記作.即?！狙a(bǔ)充】三角函數(shù)另一種定義設(shè)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）為角終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為：，則：，，.三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)2、三角函數(shù)的符號(hào)：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1（2）商數(shù)關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．3、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．知識(shí)點(diǎn)4誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式（一~六）誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，，，其中誘導(dǎo)公式五：，，其中誘導(dǎo)公式六：，，其中【小結(jié)】誘導(dǎo)公式口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角(為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).2、用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．3、用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角．（3）“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)1任意角與弧度制的概念【例1】（2023·上?！じ咭唤ㄆ街袑W(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)殇J角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因?yàn)殁g角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故選：B.【變式11】（2023·高一單元測(cè)試）如果第一象限角，銳角，小于的角，那么三者之間的關(guān)系是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)榈谝幌笙藿牵J角，小于的角，對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，但，故，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B正確，對(duì)于C，∵，∴，但，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，∵，，，故，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B【變式12】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一安源中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說法中正確的是（）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)【答案】ABC【解析】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短無關(guān)，只與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，故D不正確.故選：ABC.【變式13】（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?密位等于圓周角的，所以角密位時(shí)，，故選：C．【變式14】（2023·甘肅白銀·高一靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國(guó)誕生了表示季節(jié)變遷的24節(jié)氣．它將黃道（地球繞太陽(yáng)按逆時(shí)針方向公轉(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓）分為24等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣，2022年10月8日為寒露，經(jīng)過霜降?立冬?小雪及大雪后，便是冬至，則從寒露到冬至，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，把圓分成24等份，每一等份為，從寒露到冬至經(jīng)歷了5個(gè)節(jié)氣，所以地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為．故選：考點(diǎn)2終邊相同的角的表示【例2】（2023·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）下列各角中，與角終邊重合的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】與角終邊重合的角的集合是，當(dāng)時(shí)，.故選：D【變式21】（2023·福建莆田·高一莆田第五中學(xué)校考階段練習(xí)）與終邊相同的最小正角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是.故選：A.【變式22】（2023·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】與的終邊相同的角為.故選：B【變式23】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）與角終邊相同的角可以表示為（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，故與角終邊相同的角可以表示為，.故選：C.【變式24】（2023·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知角的終邊在直線上，故或，即或，故角的取值集合為，故選：D考點(diǎn)3根據(jù)圖形寫出角的范圍【例3】（2023·海南·高一?？茧A段練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．【變式31】（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）A．B．C．D．

【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.【變式32】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若角的終邊與函數(shù)的圖象相交，則角的集合為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)角的終邊與直線重合時(shí)，角的終邊與函數(shù)的圖象無交點(diǎn).又因?yàn)榻堑慕K邊為射線，所以，.故選：C【變式33】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分（不包括邊界）內(nèi)的角的集合．【答案】【解析】因?yàn)椋越K邊落在題干圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(不包括邊界)是.【變式34】（2023·全國(guó)·高一期末）用弧度制分別表示每個(gè)圖中頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊重合于x軸的非負(fù)半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)（包括邊界）的角的集合.【答案】圖1：；圖2：；圖3：.【解析】圖1：易知；圖2：；圖3：或或或考點(diǎn)4確定n倍角與n分角的象限【例4】（2023·北京·高一北師大二附中?？计谥校┰O(shè)是第二象限角，則的終邊在（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限【答案】D【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，?dāng)時(shí)，，在第一象限；當(dāng)時(shí)，，在第二象限；當(dāng)時(shí)，，在第四象限；故選：D【變式41】（2023·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）如果是第三象限角，則是（）A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C【解析】是第三象限角，則，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第三象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第一象限；故選：C.【變式42】（2023·吉林長(zhǎng)春·高一實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀ǘ噙x）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以，，?duì)于A，，，故是第三象限角，故A正確；對(duì)于B，，，故是第一象限角，故B不正確；對(duì)于C，，，故是第三象限角，故C正確；對(duì)于D，,,故是第三象限角或軸負(fù)半軸上的角或第四象限角，故D不正確.故選：AC【變式43】（2023·全國(guó)·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在第二象限，則角2的終邊可能在（）A．x軸的負(fù)半軸上B．y軸的負(fù)半軸上C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】BCD【解析】由題意得，，，則，，故角2的終邊可能在第三象限、y軸的負(fù)半軸、第四象限上.故選：BCD.【變式44】（2023·高一單元測(cè)試）（多選）角的終邊在第三象限，則的終邊可能在（）A．第一象限B．第二象限C．y軸非負(fù)半軸D．第三或四象限【答案】ABC【解析】角的終邊在第三象限，，，，．的終邊可能在第一、二象限或y軸非負(fù)半軸．故選：ABC.考點(diǎn)5扇形的弧長(zhǎng)與面積問題【例5】（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎刃蔚幕￠L(zhǎng)為1，面積為2，則該扇形的圓心角的弧度為（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】設(shè)扇形半徑為R，圓心角為，則，解得，故選：A．【變式51】（2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，則該扇形的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為4，為圓心，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則，則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，則扇形的面積為.故選：A.【變式52】（2023·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)中學(xué)校考期末）南朝樂府民歌《子夜四時(shí)歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”，中國(guó)傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖：與交于圓心O，設(shè)圓心角，圓的半徑，由弧長(zhǎng)公式得，解得，該扇面的面積為故選：A【變式53】（2023·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，弧田是由弧和弦所圍成的弓形部分（如圖陰影部分）.若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，解得，因此等腰腰上的高，的面積，所以此弧田的面積為.故選：B【變式54】（2023·全國(guó)·高一期末）已知一個(gè)扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.（1）若，，求扇形的面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，求扇形圓心角的弧度數(shù)；（3）若扇形的周長(zhǎng)為定值C，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，扇形面積有最大值，為【解析】（1）由，則.（2）由，解得或18，因?yàn)?，所?（3）由，得，則，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，扇形面積有最大值.考點(diǎn)6利用定義求三角函數(shù)值【例6】（2023·河南鄭州·高一鄭州十一中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，故，，故.故選：C.【變式61】（2023·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，即，則，故選:A．【變式62】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若角的終邊所在直線的方程為，則的值為（）A．B．C．3D．5【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊所在直線的方程為，在角的終邊取一點(diǎn)，則，所以，則.故選：C.【變式63】（2023·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A．0B．1C．D．2【答案】ABC【解析】由三角函數(shù)定義得，故，若，滿足要求；若，則，解得，綜上，.故選：ABC【變式64】（2023·福建莆田·高一莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）直角坐標(biāo)系中中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．是第四象限角【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于BC，由得，，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以不可能是第四象限角，故D錯(cuò)誤.故選：AB.考點(diǎn)7三角函數(shù)的符號(hào)判斷【例7】（2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列函數(shù)值符號(hào)為正的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，故A正確；因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，故B正確；因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，故C正確；因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，故D正確；故選：AD【變式71】（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知為第三象限角，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意為第三象限角，所以，從而，，，.故選：D.【變式72】（2023·廣東惠州·高一惠州一中?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊位于第二象限，則點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】由于的終邊位于第二象限，所以，所以位于第二象限.故選：B【變式73】（2023·河南鄭州·高一實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）命題：是第二象限角或第三象限角，命題：，則是的（）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若是第二象限角或第三象限角，則；若，取，，此時(shí)不是第二象限角或第三象限角；綜上所述：是的充分不必要條件.故選：C.【變式74】（2023·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）在下列各選項(xiàng)中，角為第二象限角的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于A：時(shí)，為第三象限或軸負(fù)半軸或第四象限角，，為第一象限或軸正半軸或第四象限角，故為第四象限角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：時(shí)，為第一象限或軸正半軸或第二象限角，，為第一象限或第三象限角，故為第一象限角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：時(shí)，為第二象限或軸負(fù)半軸或第三象限角，，為第一象限或第三象限角，故為第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：時(shí)，為第一象限或軸正半軸或第二象限角，時(shí)，為第二象限或軸負(fù)半軸或第三象限角，故為第二象限角，故D正;故選：D.考點(diǎn)8圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【例8】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，繞原點(diǎn)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，可得，由三角函?shù)的定義，可得，又由繞原點(diǎn)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得且射線為角的終邊，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.【變式81】（2022·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹫A心在原點(diǎn)，半徑為10的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為弧度/秒，點(diǎn)N按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為弧度/秒，則它們第三次相遇時(shí)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，動(dòng)點(diǎn)第三次相遇，則兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧度之和為：，設(shè)從點(diǎn)出發(fā)秒后點(diǎn)第三次相遇，則，解得秒，此時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為弧度故選：C【變式82】（2023·江蘇無錫·高一泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】點(diǎn)的初始位置，銳角，設(shè)時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則，即，此時(shí)點(diǎn)，即，，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即，故D正確；由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合，故B錯(cuò)誤，故選：ACD.【變式83】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后到達(dá)點(diǎn)，然后繼續(xù)沿單位圓順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】初始位置在的終邊上，所在射線對(duì)應(yīng)的角為，所在射線對(duì)應(yīng)的角為，由題意可知，，又，則，解得，所在的射線對(duì)應(yīng)的角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)的坐標(biāo)是，即．【變式84】（2023·北京·高三廣渠門中學(xué)校考階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】1【解析】易知角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，由題意可知的終邊位于第二象限，且，故，所以，即.考點(diǎn)9sina、cosa、tana知一求二【例9】（2023·江蘇鹽城·高一伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【變式91】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若角為第二象限角，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，又角為第二象限角，解?故選：B【變式92】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知為第三象限角，且，則的值為（）A．－B．C．－D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榈谌笙藿?，且，可得，所?故選：B.【變式93】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列命題是真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，由得：，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.【變式94】（2023·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知，且為第二象限角，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1），；（2）答案見解析【解析】（1）因?yàn)榍沂堑诙笙藿?，所以，；?）因?yàn)椋允堑诙虻谌笙藿?，?dāng)為第二象限角時(shí)，，所以，；當(dāng)是第三象限角時(shí)，所以，考點(diǎn)10正余弦齊次式的應(yīng)用【例10】（2023·福建泉州·高一泉港區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則等于（）A．B．2C．0D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.【變式101】（2022·新疆烏魯木齊·高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（）A．B．C．或1D．或1【答案】B【解析】因?yàn)椋獾?故選：B.【變式102】（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，故選：C.【變式103】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，∴，故．故選：D.【變式104】（2023·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在角的終邊上，且．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），;（2）【解析】（1）由三角函數(shù)的定義知：，則，于是解得，得.（2）已知終邊過點(diǎn)得，于是有.考點(diǎn)11sina·cosa、sina±cosa關(guān)系【例11】（2023·廣東汕頭·高一校考期中）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，.故選：D.【變式111】（2022·安徽亳州·高一校考期末）設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D.【變式112】（2023·江蘇·高一期末）（多選）已知，，則下列等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因?yàn)?，則．對(duì)于選項(xiàng)，，可得，正確；對(duì)于選項(xiàng)，由選項(xiàng)可知，，則，所以，，則，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，可得，則，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，正確．故選：．【變式113】（2023·山東濟(jì)寧·高一嘉祥第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，（1）求的值；（2）若是方程的兩個(gè)根，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，則.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，，且，則.【變式114】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為和，（1）求的值；（2）求m的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，所以，，所以.（2）因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以符合，所?考點(diǎn)12利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【例12】（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B【變式121】（2023·天津·高一校考階段練習(xí)）的值為．【答案】0【解析】.【變式122】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）－1【解析】（1）由題化簡(jiǎn)原式得：（2）由題化簡(jiǎn)原式得：【變式123】（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知．（1）化簡(jiǎn)；（2）若為第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），即（2）由，可得．因?yàn)闉榈谌笙藿牵虼?，?【變式124】（2023·廣東廣州·高一天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角．（1）求；（2）求的值；【答案】（1），；（2）【解析】（1），為銳角，故，解得，，，，.（2）.過關(guān)檢測(cè)1．（2023·河北保定·高一清苑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B2．（2023·安徽安慶·高一安慶一中校考期中）已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，若，則角的大小為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題知，又，又，則角的大小為，故選：B.3．（2023·福建龍巖·高一長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知；所以.故選：A4．（2023·四川成都·高一成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)，則()A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，所以.故選：C5．（2023·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則的終邊位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以為第二象限角.故選：B6．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】∵，∴則.故選：B7．（2022·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┲袊?guó)早在八千多年前就有了玉器，古人視玉為寶，玉佩不再是簡(jiǎn)單的裝飾，而有著表達(dá)身份、感情、風(fēng)度以及語(yǔ)言交流的作用.不同形狀.不同圖案的玉佩又代表不同的寓意.如圖1所示的扇形玉佩，其形狀具體說來應(yīng)該是扇形的一部分（如圖2）