第二次課微積分

第二次課微積分匯報人：AA2024-01-24微分學(xué)基本概念導(dǎo)數(shù)計算法則微分中值定理及其應(yīng)用不定積分概念與性質(zhì)定積分概念與性質(zhì)微積分在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用舉例目錄01微分學(xué)基本概念VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)。微分定義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在某區(qū)間內(nèi)有定義，$x_0$及$x_0+Deltax$在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示為$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依賴于$Deltax$的常數(shù)），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高階的無窮小，那么稱函數(shù)$f(x)$在點$x_0$是可微的，且ADeltax稱作函數(shù)在點$x_0$相應(yīng)于自變量增量$Deltax$的微分，記作$dy$，即$dy=ADeltax$。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)與微分定義可導(dǎo)一定可微，可微也一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)與可微互為充分必要條件?？蓪?dǎo)與可微關(guān)系0102切線斜率與導(dǎo)數(shù)關(guān)系切線斜率反映了函數(shù)在該點的局部變化率。函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于該點處切線的斜率。02導(dǎo)數(shù)計算法則對于常數(shù)函數(shù)$f(x)=c$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=0$。常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如，正弦函數(shù)$f(x)=sinx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=cosx$，余弦函數(shù)$f(x)=cosx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-sinx$。三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于冪函數(shù)$f(x)=x^n$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=nx^{n-1}$。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于以e為底的指數(shù)函數(shù)$f(x)=e^x$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=e^x$。指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于以e為底的對數(shù)函數(shù)$f(x)=lnx$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=frac{1}{x}$。對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0201030405基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式除法求導(dǎo)法則$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$，即商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分母的導(dǎo)數(shù)乘以分子，再除以分母的平方。加法求導(dǎo)法則$(u+v)'=u'+v'$，即和的導(dǎo)數(shù)等于各加數(shù)導(dǎo)數(shù)之和。減法求導(dǎo)法則$(u-v)'=u'-v'$，即差的導(dǎo)數(shù)等于被減數(shù)導(dǎo)數(shù)減去減數(shù)導(dǎo)數(shù)。乘法求導(dǎo)法則$(uv)'=u'v+uv'$，即積的導(dǎo)數(shù)等于一個因數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以另一個因數(shù)，再加上另一個因數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第一個因數(shù)。四則運算求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t01如果$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可導(dǎo)的，那么復(fù)合函數(shù)$y=f(g(x))$也是可導(dǎo)的，并且$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02形如$y=[f(x)]^{g(x)}$的冪指函數(shù)，可以先取對數(shù)化為復(fù)合函數(shù)形式，再利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)03如果變量之間的關(guān)系不能明確地用解析式表達(dá)出來，而是隱含在方程中，則稱這種關(guān)系為隱函數(shù)關(guān)系。對于隱函數(shù)，可以通過對方程兩邊同時求導(dǎo)來求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則03微分中值定理及其應(yīng)用如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f'(x)$在$(a,b)$內(nèi)不變號，則$f(x)$在$[a,b]$上是單調(diào)函數(shù)。羅爾定理的推論羅爾定理及其推論拉格朗日中值定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理的推論如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則至少存在一點$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。拉格朗日中值定理及其推論柯西中值定理：如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)eq0$，則至少存在一點$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，當(dāng)兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比等于兩個函數(shù)增量之比時，該定理給出了存在一點的結(jié)論。柯西中值定理簡介04不定積分概念與性質(zhì)若函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù)。設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)。原函數(shù)與不定積分定義不定積分定義原函數(shù)定義03反轉(zhuǎn)性質(zhì)∫[a,b]f(x)dx=-∫[b,a]f(x)dx。01線性性質(zhì)∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx，其中a、b為任意常數(shù)。02區(qū)間可加性若a<c<b，則∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。不定積分基本性質(zhì)

積分表使用方法查找被積函數(shù)的原函數(shù)在積分表中查找被積函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)，注意要找到與被積函數(shù)形式完全相同的原函數(shù)。確定積分常數(shù)根據(jù)不定積分的定義，原函數(shù)中必須包含一個任意常數(shù)C，因此在使用積分表時需要確定這個常數(shù)的值。驗證結(jié)果在找到原函數(shù)并確定積分常數(shù)后，需要驗證結(jié)果是否正確。可以通過求導(dǎo)來驗證，即驗證F'(x)是否等于f(x)。05定積分概念與性質(zhì)定積分是函數(shù)在一個區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積。定積分的定義定積分的幾何意義可以理解為求一個曲邊梯形的面積，其中被積函數(shù)表示梯形的高，積分區(qū)間表示梯形的底。定積分的幾何意義定積分定義及幾何意義線性性質(zhì)區(qū)間可加性保號性絕對值不等式定積分基本性質(zhì)定積分具有線性性，即兩個函數(shù)的和或差的定積分等于它們各自定積分的和或差。如果在某個區(qū)間上函數(shù)值恒為正或恒為負(fù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上的定積分也恒為正或恒為負(fù)。如果一個區(qū)間被分成幾個小區(qū)間，則原區(qū)間上的定積分等于各個小區(qū)間上定積分的和。函數(shù)絕對值的定積分不小于函數(shù)定積分的絕對值。變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限積分函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且x為[a,b]上的一點，則函數(shù)F(x)=∫f(t)dt（積分限為a到x）稱為f(x)在[a,b]上的變上限積分函數(shù)。變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)F(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且F'(x)=f(x)。這一性質(zhì)也被稱為微積分基本定理。06微積分在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用舉例表示生產(chǎn)或購買一個額外單位的產(chǎn)品或服務(wù)所引起的總成本的增加。在微積分中，邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。邊際成本表示銷售一個額外單位的產(chǎn)品或服務(wù)所帶來的總收益的增加。在微積分中，邊際收益是總收益函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)。邊際收益表示銷售一個額外單位的產(chǎn)品或服務(wù)所帶來的凈利潤的增加。在微積分中，邊際利潤是利潤函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)。邊際利潤邊際分析在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用供給價格彈性表示價格變動百分之一時，供給量變動的百分比。在微積分中，供給價格彈性是供給函數(shù)關(guān)于價格的導(dǎo)數(shù)與價格與供給量之比的乘積。需求價格彈性表示價格變動百分之一時，需求量變動的百分比。在微積分中，需求價格彈性是需求函數(shù)關(guān)于價格的導(dǎo)數(shù)與價格與需求量之比的乘積。收入彈性表示收入變動百分之一時，需求量變動的百分比。在微積分中，收入彈性是需求函數(shù)關(guān)于收入的導(dǎo)數(shù)與收入與需求量之比的乘積。彈性分析在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用廠商通過選擇最優(yōu)的產(chǎn)量或價格來實現(xiàn)利潤最大化。在微積分中，利潤最大化問題