海南省北師大萬寧附中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

海南省北師大萬寧附中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把圖象向右平移個單位，這是對應(yīng)于這個圖象的解析式為（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要4．若隨機變量的分布列為（）且，則隨機變量的方差等于（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=x2A．f(x)=x2C．f(x)=x26．2018年某地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.87．給出以下命題，其中真命題的個數(shù)是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．48．過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則（）A．2 B．8 C．4 D．109．設(shè)，則的值為（）A．2 B．0 C． D．110．給出命題①零向量的長度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．以上命題中，正確命題序號是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④11．某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對其質(zhì)量（單位：g）進行統(tǒng)計，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機選取1袋，則該袋食用鹽的質(zhì)量在內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．設(shè)，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的離心率為，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別、、，且、、均不為.為坐標原點，若直線、、的斜率之和為，則______.14．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是關(guān)于的方程的一個根，求實數(shù)與的值.15．某細胞集團，每小時有2個死亡，余下的各個分裂成2個，經(jīng)過8小時后該細胞集團共有772個細胞，則最初有細胞__________個.16．某單位在名男職工和名女職工中，選取人參加一項活動，要求男女職工都有，則不同的選取方法總數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索,學(xué)校將髙一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機變量x，求x的分布列和期望.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）黨的十九大報告提出，轉(zhuǎn)變政府職能，深化簡政放權(quán)，創(chuàng)新監(jiān)管方式，增強政府公信力和執(zhí)行力，建設(shè)人民滿意的服務(wù)型政府，某市為提高政府部門的服務(wù)水平，調(diào)查群眾對兩個部門服務(wù)的滿意程度.現(xiàn)從群眾對兩個部門的評價（單位：分）中各隨機抽取20個樣本，根據(jù)評價分作出如下莖葉圖：從低到高設(shè)置“不滿意”，“滿意”和“很滿意”三個等級，在內(nèi)為“不滿意”，在為“滿意”，在內(nèi)為“很滿意”.（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個部門的服務(wù)更令群眾滿意？并說明理由；（2）從對部門評價為“很滿意”或“滿意”的樣本中隨機抽取3個樣本，記這3個樣本中評價為“很滿意”的樣本數(shù)量為，求的分布列和期望.（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，現(xiàn)在隨機邀請5名群眾對兩個部門的服務(wù)水平打分，則至多有1人對兩個部門的評價等級相同的概率是多少？（計算結(jié)果精確到0.01）21．（12分）某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點O為中心在東西方向和南北方向設(shè)置的四個觀測點，它們到點O的距離均為公里，實線PQST是一條觀光長廊，其中，PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，以O(shè)為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.（1）求觀光長廊PQST所在的曲線的方程；（2）在觀光長廊的PQ段上，需建一服務(wù)站M，使其到觀測點A的距離最近，問如何設(shè)置服務(wù)站M的位置?22．（10分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變得到，再把圖象向右平移個單位，得到.考點：三角函數(shù)圖像變換.2、B【解題分析】因，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，應(yīng)選答案B．3、B【解題分析】

時，直線與直線不平行，所以直線與直線平行的充要條件是，即且，所以“”是直線與直線平行的必要不充分條件．故選B．4、D【解題分析】分析：先根據(jù)已知求出a,b的值，再利用方差公式求隨機變量的方差.詳解：由題得所以故答案為D.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和方差的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋,稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．5、A【解題分析】

先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，然后將x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，可求出f'(1)=-2，從而得到f(x)【題目詳解】由題意，f'(x)=2x+2f'(1)，則f故答案為A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，利用條件概率公式能求出結(jié)果．【題目詳解】一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則有，，故選C．【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點，∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，當(dāng)k=0時2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當(dāng)直線與實軸垂直時，當(dāng)x=c=3時，得，即=，即則y=±，此時通徑長為5，若|AB|=5，則此時直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯誤，故答案為C.8、C【解題分析】

由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．9、C【解題分析】

分別令和即可求得結(jié)果.【題目詳解】令，可得：令，可得：故選【題目點撥】本題考查二項展開式系數(shù)和的相關(guān)計算，關(guān)鍵是采用賦值的方式構(gòu)造出所求式子的形式.10、A【解題分析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤，由共線向量的定義和四點共線的意義可判斷④錯誤【題目詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯誤，故選A.【題目點撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應(yīng)的起點和終點可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量．11、B【解題分析】

由題，分析莖葉圖，找出質(zhì)量在[499,501]的個數(shù)，再求其概率即可.【題目詳解】這個數(shù)據(jù)中位于的個數(shù)為，故所求概率為故選B【題目點撥】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】分析：利用絕對值三角不等式等逐一判斷.詳解：因為ab>0,所以a,b同號.對于①，由絕對值三角不等式得，所以①是正確的；對于②，當(dāng)a,b同號時，，所以②是錯誤的；對于③，假設(shè)a=3,b=2,所以③是錯誤的；對于④，由絕對值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式，意在考查學(xué)生對該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出橢圓方程，設(shè)出的坐標，利用橢圓中的結(jié)論：，，，結(jié)合直線的斜率之和為進行運算.【題目詳解】因為橢圓的離心率為，所以，又，，，所以，，，所以.故答案為：-2【題目點撥】解析幾何小題若能靈活利用一些二級結(jié)論，能使問題的求解更簡便，計算量更小，本題等三個結(jié)論均可利用設(shè)而不求點差法證出.14、(1)；(2)或.【解題分析】

(1)先寫出的表示，然后將模長關(guān)系表示為對應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍；(2)根據(jù)是關(guān)于的方程的一個根，先求出方程的根，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的原則即可求解出實數(shù)與的值.【題目詳解】(1)因為，，所以，所以，所以，所以；(2)因為是關(guān)于的方程的一個根，所以方程有兩個虛根，所以，因為是方程的一個根，所以，所以或.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算以及有關(guān)復(fù)數(shù)方程的解的問題，難度一般.(1)已知，則；(2)若兩個復(fù)數(shù)相等，則復(fù)數(shù)的實部和實部相等，虛部和虛部相等.15、7.【解題分析】

設(shè)開始有細胞a個，利用細胞生長規(guī)律計算經(jīng)過1小時、2小時后的細胞數(shù)，找出規(guī)律，得到經(jīng)過8小時后的細胞數(shù)，根據(jù)條件列式求解.【題目詳解】設(shè)最初有細胞a個，因為每小時有2個死亡，余下的各個分裂成2個，所以經(jīng)過1個小時細胞有，經(jīng)過2個小時細胞有=，······經(jīng)過8個小時細胞有，又，所以，，.故答案為7.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，找出規(guī)律、構(gòu)造數(shù)列是解題關(guān)鍵，考查閱讀理解能力及建模能力，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】

在沒有任何限制的條件下，減去全是女職工的選法種數(shù)可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，全是女職工的選法種數(shù)為，因此，男女職工都有的選法種數(shù)為，故答案為.【題目點撥】本題考查組合問題，利用間接法求解能簡化分類討論，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析，有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.(2)分布列見解析，【解題分析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結(jié)論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機變量取法，利用組合數(shù)確定對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：（1)依題意得有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）從乙班分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機變量的所有可能取值為點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點的個數(shù)判斷a的范圍即可．【題目詳解】（1）定義域為：，當(dāng)時，.∴在時為減函數(shù)；在時為增函數(shù).（2）記，則在上單增，且.∴.∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數(shù)，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.【題目點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．19、（I）；（II）.【解題分析】

（1）根據(jù)，利用分類討論便可得到最后解集；（2）根據(jù)方程在區(qū)間有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點，從而得解．【題目詳解】（1）可化為10或或；2＜x≤或或；不等式的解集為；（2）由題意：故方程在區(qū)間有解函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點當(dāng)時，【題目點撥】本題考查絕對知不等式的求解和應(yīng)用，主要是利用分類討論的方法去掉絕對值符號；關(guān)于方程解的問題直接用方程思想和數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題便可得解．20、（1）A部門，理由見解析；（2）的分布列見解析；期望為1；（3）..【解題分析】

（1）通過莖葉圖中兩部門“葉”的分布即可看出；（2）隨機抽取3人，，分別求出相應(yīng)的概率，即可求出的分布列和期望；（3）求出評價一次兩個部門的評價等級不同和相同的概率，隨機邀請5名群眾，是獨立重復(fù)實驗滿足二項分布根據(jù)計算公式即可求出.【題目詳解】解：（1）通過莖葉圖可以看出：A部門的“葉”分布在“莖”的8上，B部門的“葉”分布在“莖”的7上.所以A部門的服務(wù)更令群眾滿意.（2）由莖葉圖可知：部門評價為“很滿意”或“滿意”的樣本數(shù)量有個,“很滿意”的樣本數(shù)量有個，則從中隨機抽取3人，，所以的分布列為：.（3）根據(jù)題意可得：A部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，，B部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，.若評價一次兩個部門的評價等級不同的概率為：，則評價一次兩個部門的評價等級相同的概率為.因為隨機邀請5名群眾，是獨立重復(fù)實驗，滿足二項分布，所以至多有1人對兩個部門的評價等級相同的概率為：，所以至多有1人對兩個部門的評價等級相同的概率是.【題目點撥】本題考查主要考查莖葉圖的集中程度、概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法、二項分布的求法，屬于難題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意知，QS的軌跡為圓的一部分，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，ST的軌跡為雙曲線的一部分，分別求出對應(yīng)的軌跡方程即可；（2）由題意設(shè)點M（x，y），計算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值與對應(yīng)的x、y的值．【題目詳解】解：（1）①由題意知，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，QS的軌跡為圓的一部分，其中r＝4，圓心坐標為O，即x≥0、y≥0時，圓的方程為x2+y2＝16；②PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0時，雙曲線方程為1；③ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，ST的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0時，雙曲線方程為1；綜上，x≥0、y≥0時，曲線方程