福建省永春三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題含解析

福建省永春三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．2．已知，是的導數(shù)，若的展開式中的系數(shù)小于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．4．x>2是x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．參數(shù)方程x=2t，A． B． C． D．6．在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶。現(xiàn)有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨立，且命中概率都是。則打光子彈的概率是（）A． B． C． D．7．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)為內的奇函數(shù)，且當時，，記，則間的大小關系是（）A． B．C． D．9．給定下列兩個命題：①“”為真是“”為真的充分不必要條件；②“，都有”的否定是“，使得”，其中說法正確的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都為假 D．①和②都為真10．若函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．611．設奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增12．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機從這次考試的成績中抽取100個樣本，則成績低于48分的樣本個數(shù)大約為（）A．6 B．4 C．94 D．96二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．行列式的第2行第3列元素的代數(shù)余子式的值為________.14．在極坐標系中，直線被圓ρ＝4截得的弦長為________．15．記為虛數(shù)集，設，則下列類比所得的結論正確的是__________．①由，類比得②由，類比得③由，類比得④由，類比得16．已知函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是同一平面內的三個向量，；（1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求與的夾角.18．（12分）已知點P(3，1)在矩陣變換下得到點P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣．19．（12分）環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數(shù)(指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù))，現(xiàn)隨機抽取20天的指數(shù)(見下表)，將指數(shù)不低于視為當天空氣質量優(yōu)良.天數(shù)12345678910空氣質量指數(shù)天數(shù)11121314151617181920空氣質量指數(shù)(1)求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優(yōu)良的概率；(2)以這20天的數(shù)據(jù)估計我市總體空氣質量(天數(shù)很多)，若從我市總體空氣質量指數(shù)中隨機抽取3天的指數(shù)，用表示抽到空氣質量為優(yōu)良的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.20．（12分）已知數(shù)列滿足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）歸納猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.21．（12分）設是數(shù)列{}的前項和，，且.(I)求數(shù)列{}的通項公式；(Ⅱ)設，求.22．（10分）隨著節(jié)能減排意識深入人心，共享單車在各大城市大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450（1）如果用戶每周使用共享單車超過3次，那么認為其“喜歡騎行共享單車”．請完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關；不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男女合計（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，將頻率視為概率，在我市所有的“騎行達人”中隨機抽取4名，求抽取的這4名“騎車達人”中，既有男性又有女性的概率．附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出結果.【題目詳解】是奇函數(shù),是偶函數(shù)，是奇函數(shù),圖象關于原點對稱,排除A選項;排除B,C選項;故選:D.【題目點撥】本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,考查函數(shù)性質,借助特殊值代入的排除法是解答本題的關鍵,難度較易.2、B【解題分析】

由展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中的系數(shù)是，得到，繼而解得結果．【題目詳解】由題意，函數(shù)展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中x的系數(shù)是，依題意得，解得．故選：B．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數(shù)的計算，其中解答熟記導數(shù)的運算公式和二項展開式的通項是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．3、D【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，確定內層函數(shù)的單調性，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性得出答案．【題目詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，故選D．【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調性和應用、復合函數(shù)的單調性、二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．4、A【解題分析】

解不等式x2【題目詳解】由x2-2x>0解得：x<0或x>2，因此，x>2是x2-2x>0的充分不必要條件，故選：【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，一般利用集合的包含關系來判斷兩條件的充分必要性：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件。5、D【解題分析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【題目詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因為【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關變量的取值范圍。6、B【解題分析】

打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次。【題目詳解】5次中0次：5次中一次：5次中兩次：前4次中一次，最后一次必中則打光子彈的概率是++=,選B【題目點撥】本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。7、D【解題分析】

寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)等于，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得出項的系數(shù).【題目詳解】二項展開式的通項為，令，得，因此，的展開式中的系數(shù)為，故選：D.【題目點撥】本題考查二項式指定項的系數(shù)的計算，解題的關鍵就是充分利用二項展開式的通項，考查計算能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設，求導計算單調性和奇偶性，根據(jù)性質判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內的偶函數(shù)，當時，，所以在內單調遞減又，故，選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調性，比較大小，構造函數(shù)是解題的關鍵.9、D【解題分析】

由充分條件和必要條件的定義對①進行判斷，由全稱命題的否定是特稱命題對②進行判斷，從而得到答案?！绢}目詳解】對①，“”為真，則命題，都真，“”為真，則命題，至少一個為真，所以“”為真是“”為真的充分不必要條件，①為真命題；對②，全稱命題的否定是特稱命題，所以“，都有”的否定是“，使得”，②為真命題；故答案選D【題目點撥】本題考查命題真假的判定，屬于基礎題。10、B【解題分析】

先對函數(shù)求導，根據(jù)題意，得到，再用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數(shù)在處取得極小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；所以；故選B【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性，最值等，屬于?？碱}型.11、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．12、B【解題分析】

由已知根據(jù)正態(tài)分布的特點，可得，根據(jù)對稱性，則，乘以樣本個數(shù)得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對稱軸為，所以，所以成績小于分的樣本個數(shù)為個．故選：B．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，其中熟記正態(tài)分布的對稱性是解答的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-11【解題分析】

根據(jù)代數(shù)余子式列式，再求行列式得結果【題目詳解】故答案為：-11【題目點撥】本題考查代數(shù)余子式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解題分析】將直線及圓分別化成直角坐標方程：，．利用點到直線距離求出圓心到直線的距離為1．∴長等于15、③【解題分析】分析：在數(shù)集的擴展過程中，有些性質是可以傳遞的，但有些性質不能傳遞，因此，要判斷類比的結果是否正確，關鍵是要在新的數(shù)集里進行論證，當然要想證明一個結論是錯誤的，也可直接舉一個反例，要想得到本題的正確答案，可對3個結論逐一進行分析，不難解答．詳解：A：由a?b∈R，不能類比得x?y∈I，如x=y=i，則xy=﹣1?I，故①不正確；B：由a2≥1，不能類比得x2≥1．如x=i，則x2＜1，故②不正確；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可類比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正確；D：若x，y∈I，當x=1+i，y=﹣i時，x+y＞1，但x，y是兩個虛數(shù)，不能比較大?。盛苠e誤故4個結論中，C是正確的．故答案為：③．點睛：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．但類比推理的結論不一定正確，還需要經(jīng)過證明．16、m=2或m≥3【解題分析】分析：畫出函數(shù)的圖象，結合圖象，求出m的范圍即可.詳解：畫出函數(shù)的圖象，如圖：若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點，結合圖象：或.故答案為：或.點睛：對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決，解的個數(shù)也可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點的個數(shù)．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）設向量，根據(jù)和得到關于的方程組，從而得到答案；（2）根據(jù)與垂直，得到的值，根據(jù)向量夾角公式得到的值，從而得到的值.【題目詳解】（1）設向量，因為，，，所以，解得，或所以或；（2）因為與垂直，所以，所以而，，所以，得，與的夾角為，所以，因為，所以.【題目點撥】本題考查根據(jù)向量的平行求向量的坐標，根據(jù)向量的垂直關系求向量的夾角，屬于簡單題.18、．【解題分析】分析：由列方程求出a和b的值，求得矩陣A,|A|及,由即可求得.詳解：依題意得所以所以A＝．因為|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以＝．點睛：本題主要考查矩陣的變換和逆矩陣的求法，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.19、（1）；（2）見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)組合數(shù)公式計算所有可能的情況種數(shù)，得出答案；

（2）根據(jù)二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數(shù)學期望．試題解析：(1)解：由表中數(shù)據(jù)可知，空氣質量指數(shù)不低于的天數(shù)是12天，即空氣質量為優(yōu)良的天數(shù)是12天.記“至少有2天空氣質量為優(yōu)良”為事件，方法1：；方法2：.(2)20天中優(yōu)良天數(shù)的概率為.于是估計我市總體空氣質量優(yōu)良天數(shù)的概率為，因此服從參數(shù)為，的二項分布.即.所有可能取值為0，1，2，3.所以，，，.故的分布列為：0123所以的數(shù)學期望為：.20、（1）（2）【解題分析】試題分析：(1)利用遞推關系可求得；(2)猜想，按照數(shù)學歸納法的過程證明猜想即可.試題解析：解:(1)計算得猜想證明如下：①當n=1時，猜想顯然成立；②假設當n=k（k∈N+）時猜想成立，即成立，則當時，，即時猜想成立由①②得對任意，有21、（Ⅰ）an＝2n．（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用數(shù)列遞推關系即可得出．(Ⅱ)利用裂項求和即可求解．【題目詳解】∵4Sn＝an（an+2），①當n＝1時得，即a1＝