重慶市開州區(qū)開州中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

重慶市開州區(qū)開州中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．集合，，則=()A． B．C． D．4．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是（）A． B．C． D．5．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為（）A． B．C． D．6．已知一種元件的使用壽命超過(guò)年的概率為，超過(guò)年的概率為，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)年的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5768．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若在和處切線平行，則（）A．B．C．D．11．已知命題，，那么命題為（）A．， B．，C．， D．，12．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．210二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的取值范圍是________.14．已知，則a與b的大小關(guān)系______．15．函數(shù)的定義域?yàn)開_______.16．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線：(為參數(shù))，曲線：（為參數(shù)）．(1)設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值．18．（12分）函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為空集，求的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研:項(xiàng)目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項(xiàng)目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)投入兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬(wàn)元全部投到其中的一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)，求證：時(shí)，.22．（10分）已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線C的交點(diǎn)為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．【題目詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．2、A【解題分析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出的坐標(biāo)即可得結(jié)論.詳解：因?yàn)?，?fù)數(shù)的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選A.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.3、C【解題分析】

先化簡(jiǎn)集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【題目詳解】解得集合，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B，難度較?。?、C【解題分析】

試題分析：可知函數(shù)周期為，所以在上單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，故有.選C考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．【題目詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、A【解題分析】試題分析：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓的直角坐標(biāo)方程，直線的直角坐標(biāo)方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為，即．將其化為極坐標(biāo)方程為：，即故選A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．6、A【解題分析】

記事件該元件使用壽命超過(guò)年，記事件該元件使用壽命超過(guò)年，計(jì)算出和，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為.【題目詳解】記事件該元件使用壽命超過(guò)年，記事件該元件使用壽命超過(guò)年，則，，因此，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)年的概率為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解題時(shí)要弄清楚兩個(gè)事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等題.7、B【解題分析】A1、A2同時(shí)不能工作的概率為0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1－0.04＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.故選B.考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率.8、D【解題分析】

由三視圖還原出原幾何體，然后計(jì)算其表面積．【題目詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)圓錐里面挖去一個(gè)圓柱，尺寸見三視圖．圓錐的母線長(zhǎng)為，．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合體的表面積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)．9、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，則.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，模的計(jì)算公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，得到，則，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【題目詳解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，則，∴，則，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．11、C【解題分析】特稱命題的否定為全稱命題，則為，，故選C．12、B【解題分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展開式的通項(xiàng)公式為C10rC10-rkx210-r-k-1k二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

可設(shè)所求cosαsinβ=x，與已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函數(shù)公式的逆運(yùn)算化簡(jiǎn)為sin2α?sin2β=2x后，根據(jù)三角函數(shù)的值域的范圍得到關(guān)于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范圍【題目詳解】設(shè)x=cosα?sinβ，sinα?cosβ?cosα?sinβ=x，即sin2α?sin2β=2x．由|sin2α?sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴﹣≤x≤．故答案為：[﹣，]．【題目點(diǎn)撥】考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的值域范圍列出不等式．本題的突破點(diǎn)就是根據(jù)值域列不等式．14、a＜b【解題分析】

可先利用作差法比較兩數(shù)平方的大小，然后得出兩數(shù)的大小關(guān)系.【題目詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，而，所以得?【題目點(diǎn)撥】本題考查了綜合法與分析法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題時(shí)可先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法進(jìn)行書寫解題過(guò)程.15、【解題分析】的定義域是,,故得到函數(shù)定義域?yàn)槿〗患?，故答案?16、1【解題分析】

根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令即可求解可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令，則故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意二項(xiàng)式的展開式的形式，區(qū)分某一項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）消去直線參數(shù)方程的參數(shù)，求得直線的普通方程.消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程，聯(lián)立直線和曲線的方程求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得.（2）根據(jù)坐標(biāo)變換求得曲線的參數(shù)方程，由此設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式列式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得到直線的距離的最大值.【題目詳解】（1）的普通方程為，的普通方程為，聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)為,所以=；（2）曲線：（為參數(shù)）．設(shè)所求的點(diǎn)為，則到直線的距離.當(dāng)時(shí)，取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線和圓相交所得弦長(zhǎng)的求法，考查坐標(biāo)變換以及點(diǎn)到直線距離公式，還考查了三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由得，分，，三種情況討論，即可得出結(jié)果；（2）先由的解集為空集，得恒成立，再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出的最大值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式，即，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然不成立，此時(shí)原不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然成立，即滿足題意；綜上，原不等式的解集為；（2）由的解集為空集，得的解集為空集，所以恒成立，因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以，解得，即的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含絕對(duì)值不等式，熟記分類討論的方法以及含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連接，.因?yàn)樗倪呅问橇庑吻遥瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，則.因?yàn)?，所?（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（其中為與的交點(diǎn)），如圖所示，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.所以，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.20、(1)，，；(2)從風(fēng)險(xiǎn)控制角度，建議該投資公司選擇項(xiàng)目.【解題分析】

（1）根據(jù)概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數(shù)學(xué)期望列方程組求得、的值；（2）計(jì)算均值與方差，比較即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）依題意，，，設(shè)投入到項(xiàng)目的資金都為萬(wàn)元，變量和分別表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤(rùn)，則和的分布列分別為由分布列得，，因?yàn)樗?，即，又，解得，；，，?）當(dāng)投入萬(wàn)元資金時(shí)，由（1）知，所以，，，因?yàn)椋f(shuō)明雖然項(xiàng)目和項(xiàng)目的平均收益相等，但項(xiàng)目更穩(wěn)妥，所以，從風(fēng)險(xiǎn)控制角度，建議該投資公司選擇項(xiàng)目.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．21、（1）或（2）見解析【解題分析】

（1）在區(qū)間上單調(diào)且是增函數(shù)，所以或，進(jìn)而得到答案．（2）令，，由的導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性并求出最小值，則可知在時(shí)是增函數(shù)，從而證得答案．【題目詳解】解：（1）∵是增函數(shù)．又∵在區(qū)間上單調(diào)，∴或．∴或（2）令．∵，．∴時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)