2024屆青海西寧二十一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆青海西寧二十一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．12．一個盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個球，其中黃球5個，藍(lán)球4個，綠球3個.現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球，記事件為“取出的兩個球顏色不同”，事件為“取出一個黃球，一個綠球”，則A． B．C． D．3．將點的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．4．已知m∈R，若函數(shù)f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-95．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．326．若函數(shù)的圖象的頂點在第一象限，則函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．7．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12288．設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)為A． B． C． D．9．全國高中聯(lián)賽設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個學(xué)科，3名同學(xué)欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學(xué)科參加競賽，則不同的報名種數(shù)是（）A． B． C． D．10．若曲線，在點處的切線分別為，且，則的值為（）A． B．2 C． D．11．已知集合，則()A． B．C． D．12．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A．960種 B．984種 C．1080種 D．1440種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖像在處的切線方程為_______.14．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則實數(shù)α的值是_______.15．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且,則_______．16．若則的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).18．（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若，成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，橢圓經(jīng)過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標(biāo)原點，求證：三點共線．20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.21．（12分）畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．（1）設(shè)g（x）＝f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求證：x1+x2＞2．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

(a+b)n展開式中所有項的二項系數(shù)和為【題目詳解】(a+b)n展開式中所有項的二項系數(shù)和為2(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2故答案選B【題目點撥】本題考查了二項系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解題分析】分析：先求取出的兩個球顏色不同得概率，再求取出一個黃球，一個綠球得概率可，最后根據(jù)條件概率公式求結(jié)果.詳解：因為所以,選D.點睛：本題考查條件概率計算公式，考查基本求解能力.3、A【解題分析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A4、B【解題分析】

通過參變分離、換元法，把函數(shù)f(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成直線y=m與拋物線的交點個數(shù).【題目詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數(shù)f(x)在-1<x≤0有兩個不同零點?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個不同的根?y=m∴-【題目點撥】通過換元把復(fù)雜的分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)，但要注意換元后新元的取值范圍.5、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.6、A【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)解題?！绢}目詳解】，斜率為正，排除BD選項。的圖象的頂點在第一象限其對稱軸大于0即b<0,選A【題目點撥】本題考查根據(jù)已知信息選導(dǎo)函數(shù)的大致圖像。屬于簡單題。7、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，以及，可得結(jié)果.【題目詳解】，故選：C【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，重點把握正態(tài)曲線的對稱性，屬基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】試題分析：的共軛復(fù)數(shù)為，故選D．考點：1.復(fù)數(shù)的四則運算；2.共軛復(fù)數(shù)的概念．9、C【解題分析】分析：利用分布計數(shù)乘法原理解答即可.詳解：全國高中聯(lián)賽設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個學(xué)科，3名同學(xué)欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學(xué)科參加競賽，則每位同學(xué)都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報名種數(shù)是故選C.點睛：本題考查分布計數(shù)乘法原理，屬基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】試題分析：因為，則f′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1）?g′（1）=-1，即，所以a=-1．故選A．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．11、D【解題分析】，所以，故選B．12、A【解題分析】分五類：（1）甲乙都不選：；（2）選甲不選乙：；（3）選乙不選甲：；（4）甲乙都選：；故由加法計數(shù)原理可得，共種，應(yīng)選答案A。點睛：解答本題的關(guān)鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理。求解依據(jù)題設(shè)條件將問題分為四類，然后運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，把分別代入原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中分別求出切點坐標(biāo)與切線斜率，進(jìn)而求得切線方程?！绢}目詳解】，函數(shù)的圖像在處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點斜式，關(guān)鍵求出某點處切線的斜率即該點處的導(dǎo)數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【題目詳解】點在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【題目點撥】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過定點；(3)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象都過點和，且在上單調(diào)遞增；(4)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象都過點，且在上單調(diào)遞減；(5)當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．15、0.01【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得的值.【題目詳解】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性有.【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由排列數(shù)和組合數(shù)展開可解得n=6.【題目詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)可知，化簡得，所以n=6,經(jīng)檢驗符合，所以填6.【題目點撥】本題考查排列數(shù)組合數(shù)方程，一般用公式展開或用排列數(shù)組合公式化簡，求得n,注意n取正整數(shù)且有范圍限制。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，求得，，由點斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得，分類討論，，，四種情況下的零點個數(shù).【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴切線方程為.（Ⅱ）∵，當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，∵，，∴在上有一個零點.當(dāng)時，，∵，，∴在上有一個零點.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，此時在上有一個零點.當(dāng)時，易知在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，又有，當(dāng)，即時，在上有一個零，當(dāng)時，在上有兩個零.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上有一個零；當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個零點.【題目點撥】本題考查了用導(dǎo)數(shù)求過曲線上一點的切線方程和討論函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了分類討論的思想，屬于難題.18、（1），（2）【解題分析】

（1）求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)零點和正負(fù)，即得解.（2）由于，轉(zhuǎn)化為：，成立，參變分離，分，，三種情況討論，即得解.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，，或在和上單調(diào)增，在上單調(diào)減（2）設(shè)函數(shù)，，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立，當(dāng)時，令，，則；當(dāng)時；當(dāng)，，令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則，于是.又當(dāng)時，，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，于是，當(dāng)時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.19、(1)(2)見解析【解題分析】分析：(1)根據(jù)橢經(jīng)過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為，結(jié)合性質(zhì)，，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)點，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以點在直線上，又點也在直線上，進(jìn)而得結(jié)果.詳解：（1）因為點到橢圓的兩焦點的距離之和為，所以，解得.又橢圓經(jīng)過點，所以.所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.證明：（2）因為線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為-2.所以可設(shè)直線的方程為.據(jù)得.設(shè)點，，.所以，.所以，.因為，所以.所以點在直線上.又點，也在直線上，所以三點共線.點睛：用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.20、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

1利用代入計算，可得結(jié)論；2猜想，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立．【題目詳解】1，且，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，或舍，當(dāng)時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，顯然成立，②假設(shè)時，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時，由，有，，，或舍，時結(jié)論成立，由①②知當(dāng)，均成立．【題目點撥】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設(shè)成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）利用插空法可求出排法種數(shù)；（2）利用捆綁法可求出排法種數(shù)；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù)，由加法原理計算可得出答案.【題目詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素和其他人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).【題目點撥】本題考查了排列、組合的應(yīng)用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.22、（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）見解析【解題分析】

（1）先得到解析式，然后對求導(dǎo)，分別解和，得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設(shè)h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導(dǎo)數(shù)證明在（0，1）上單調(diào)遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.【題目詳解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），∴g'（x）令g'（x）＝0，則x＝1，∴當(dāng)x＞1時，g'（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是g（x）的兩零點，則g（x1）＝g（x2）＝0，不妨設(shè)0＜x1＜