2024屆浙江省麗水四校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆浙江省麗水四校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程是A． B．C． D．2．某班4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學(xué)通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．64．已知，設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則展開式中的系數(shù)為（）A．-250 B．250 C．-500 D．5005．在數(shù)列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．816．設(shè)，隨機變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小7．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．8．設(shè)隨機變量X的分布列如下：則方差D(X)＝（）．A． B． C． D．9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A． B． C． D．10．已知定義域為的函數(shù)滿足‘’，當(dāng)時，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實數(shù)C．恒大于0 D．恒小于011．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．12．設(shè)平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則________14．甲乙兩名選手進行一場羽毛球比賽，采用三局二勝制，先勝兩局者贏得比賽，比賽隨即結(jié)束，已知任一局甲勝的概率為，若甲贏得比賽的概率為，則取得最大值時______15．某校為了解高二年級學(xué)生對教師教學(xué)的意見，打算從高二年級500名學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50名進行調(diào)查，記500名學(xué)生的編號依次為1,2,…，500,若抽取的前兩個號碼為6,16,則抽取的最大號碼為________.16．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1，則函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，底面是邊長為的正方形，⊥平面，∥，，與平面所成的角為．（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運動數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個人捐出10000步等價于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計該項目中其中200名的捐助情況表如下：捐款金額(單位：元)捐款人數(shù)4152261035(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請在現(xiàn)有的“健康大使”中隨機抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；(2)為鼓勵更多的人來參加這項活動，該公司決定對捐款額在100元以上的用戶實行紅包獎勵，具體獎勵規(guī)則如下：捐款額在的獎勵紅包5元；捐款額在的獎勵紅包8元；捐款額在的獎勵紅包10元；捐款額大于250的獎勵紅包15元.已知該活動參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計該公司要準(zhǔn)備的紅包總金額.20．（12分）如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求證：面；（2）在線段上求一點，使銳二面角的余弦值為.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．22．（10分）某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89111．41．41．2現(xiàn)進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．（1）求該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由雙曲線方程求得，由漸近線方程為求得結(jié)果.【題目詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學(xué)能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關(guān)鍵．3、C【解題分析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【題目詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選C．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4、A【解題分析】

分別計算各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，代入等式得到，再計算的系數(shù).【題目詳解】的展開式取得到二項式系數(shù)之和為取值為-250故答案選A【題目點撥】本題考查了二項式定理，計算出的值是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】

利用題設(shè)中遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數(shù)列中，，即可得數(shù)列表示首項，公比的等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【題目詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【題目點撥】7、D【解題分析】分析：分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可得到結(jié)論．詳解：A．函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件．B．y=﹣x2+1是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．C.是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減，故不正確.D．y=|x|+1是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=x+1是增函數(shù)，滿足條件．故選D．點睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8、B【解題分析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出詳解：故選點睛：本題考查了隨機變量的分布列的相關(guān)計算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機變量的期望與方差的計算方法9、D【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論求解即可．【題目詳解】由可得或，∴函數(shù)的定義域為．設(shè)，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為減函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選D．【題目點撥】（1）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論，即對于函數(shù)來講，它的單調(diào)性依賴于函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，則函數(shù)為增函數(shù)；否則函數(shù)為減函數(shù)．（2）解答本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽視函數(shù)的定義域，誤認為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．10、D【解題分析】

由且，不妨設(shè)，，則，因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.11、B【解題分析】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.12、D【解題分析】分析：先由平面向量的加法運算和數(shù)乘運算得到，再利用數(shù)量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先用同角三角函數(shù)平方和關(guān)系求出，再利用商關(guān)系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【題目詳解】因為，，所以，.【題目點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系和商關(guān)系，考查了二倍角的正切公式.14、【解題分析】

利用表示出，從而將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值點.【題目詳解】甲贏得比賽的概率：，令，則，令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當(dāng)時，取最大值，即取最大值本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)條件將表示為關(guān)于變量的函數(shù)，同時需要注意函數(shù)的定義域.15、496【解題分析】

通過系統(tǒng)抽樣的特征，即可計算出最大編號.【題目詳解】由于間距為，而前兩個號碼為6,16,則編號構(gòu)成是以6為首項，10為公差的等差數(shù)列，因此最大編號為，故答案為496.【題目點撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的相關(guān)計算，難度不大.16、【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了利用研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系式解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）【解題分析】

（1）將代入，求出，令，解不等式可得增區(qū)間，令，解不等式可得減區(qū)間.（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，分離參數(shù)可得，只需即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，，令，可得或；令，.所以在和上為增函數(shù)；在上為減函數(shù).（2）由于在上為減函數(shù)，在上恒成立，即，令，可設(shè)，于是所以，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因為底面為正方形所以得到AC⊥BD，進而得到線面垂直;(2)建立坐標(biāo)系得到面BEF和面BDE的法向量，根據(jù)法向量的夾角的求法得到夾角的余弦值，進而得到二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD．DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，又BD∩DE=D，AC⊥平面BDE，又AC?平面ACE，平面ACE⊥平面BDE．（2）以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DE所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，BE與平面ABCD所成的角為45°，即∠EBD=45°，DE=BD=AD=，CF=DE=．A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F(xiàn)（0，3，），=（﹣3，0，），=（0，3，），設(shè)平面BEF的一個法向量為=（，，），則，即，令=，則=（2，4，）．又AC⊥平面BDE，=（﹣3，3，0）為平面BDE的一個法向量．cos＜＞===．∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值為．【題目點撥】本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直，或者可以通過建系的方法求兩個面的法向量使得兩個面的法向量互相垂直即可.19、(1)答案見解析；(2)大約為63萬元.【解題分析】試題分析：(1)的所有情況是0，1，2，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求得分布列；(2)結(jié)合分布列考查平均值，據(jù)此可得該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.試題解析：(1)捐款額在之間人數(shù)的所有情況是0，1，2，，，，所以捐款額在之間人數(shù)的分布列為：012(2)設(shè)紅包金額為，可得的分布列為：0581015所以.又.故該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.20、（1）見解析；（2）為線段的中點.【解題分析】

（1）利用面面平行的判定定理證明出平面平面，再利用平面與平面平行的性質(zhì)得出平面；（2）由，，由二面角的定義得出，證明出平面平面，過點在平面內(nèi)作，可證明出平面，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)為，利用向量法結(jié)合條件銳二面角的余弦值為求出的值，由此確定點的位置.【題目詳解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可證平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，則矩形所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平面角為，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以為原點，、所在直線分別為軸、軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè).則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，則平面的一個法向量為..又平面的一個法向量為，，解得或（舍去）.此時，，即所求點為線段的中點.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，以及二面角的計算，解題時要注意二面角的定義，本題考查二面角的動點問題，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量進行