廣東省遂溪縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

廣東省遂溪縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，若>恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．2．己知一組樣本數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方差為A．25 B．50 C．125 D．2503．已知分別為內(nèi)角的對邊，且成等比數(shù)列，且，則=（）A． B． C． D．4．現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線，每個零件達(dá)到優(yōu)等品的概率都為.某檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽檢個零件，設(shè)其中優(yōu)等品零件的個數(shù)為.若，，則（）A． B． C． D．5．下列四個命題中，其中錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；②經(jīng)過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．A．0 B．1 C．2 D．36．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支與焦點為FA．y=±22x B．y=±28．已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第項 B．第項 C．第項 D．第項9．已知，且.則展開式中的系數(shù)為（）A．12 B．-12 C．4 D．-410．已知集合，，下列結(jié)論成立的是A． B． C． D．11．若對于實數(shù)x，y有1-x?2,y+1?1A．5 B．6 C．7 D．812．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在點處切線方程為，則=______.14．設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)，時，，則____．15．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續(xù)擲一枚圖釘3次，則至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率為_____________．16．電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，則隨機選取1部電影，這部電影沒有獲得好評的概率為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數(shù)的切線，求的最小值.18．（12分）在中，三個內(nèi)角的對邊分別為．（1）若是的等差中項，是的等比中項，求證：為等邊三角形；（2）若為銳角三角形，求證：．19．（12分）已知矩陣A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．20．（12分）甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)一?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：（1）計算，的值；（2）若規(guī)定考試成績在為優(yōu)秀，請根據(jù)樣本估計乙校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3）若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.附：，.21．（12分）已知圓柱的底面半徑為r，上底面和下底面的圓心分別為和O，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓O，與母線所成的角為.（1）試用r表示圓柱的表面積S；（2）若圓柱的體積為，求點D到平面的距離.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）求過點的切線方程；（2）若方程有3個不同的實根，求的取值范圍。（3）已知當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應(yīng)用，構(gòu)造出的模型，再驗證條件。2、B【解題分析】

先計算數(shù)據(jù)平均值，再利用方差公式得到答案.【題目詳解】數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的方差的計算，將平均值表示為是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力.3、C【解題分析】因為成等比數(shù)列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點睛：此題考察正弦定理的應(yīng)用，要注意求角度問題時盡量將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的等式，然后根據(jù)三角函數(shù)間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和的關(guān)系進(jìn)行解題.4、C【解題分析】

由求出的范圍，再由方差公式求出值．【題目詳解】∵，∴，化簡得，即，又，解得或，∴，故選C．【題目點撥】本題考查概率公式與方差公式，掌握這兩個公式是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【題目詳解】對于①,若兩點是球的一條直徑的端點,則可以作無數(shù)個球的大圓,故①錯;

對于②三部分的面積都是，故②正確對于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對于④,球面上兩點的球面距離,是這兩點所在大圓上以這兩點為端點的劣弧的長,故④錯.

所以①④錯誤.

所以C選項是正確的.【題目點撥】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點的球面距離,這兩個點肯定在球面上,做一個圓使它經(jīng)過這兩個點,且這個圓的圓心在球心上,兩點的球面距離對應(yīng)的是這個圓兩點之間的對應(yīng)的較短的那個弧的距離.6、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

根據(jù)拋物線定義得到y(tǒng)A+y【題目詳解】由拋物線定義可得：|AF|+|BF|=y因為x2所以y漸近線方程為y=±2故答案選A【題目點撥】本題考查拋物線，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計算能力.8、B【解題分析】解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為：，由解得：，即是這個數(shù)列的第項.本題選擇B選項.9、D【解題分析】

求定積分得到的值，可得的值，再把按照二項式定理展開式，可得中的系數(shù)．【題目詳解】∵，且，則展開式，故含的系數(shù)為，故選D．【題目點撥】本題主要考查求定積分，二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】由已知得，，則，故選D.11、C【解題分析】

將2x+3y+1【題目詳解】2當(dāng)x=3,y=0或x=-1,y=2是等號成立.故答案選C【題目點撥】本題考查了絕對值三角不等式，將2x+3y+112、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時，故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】分析：因為在點處的切線方程，所以，由此能求出．詳解：因為在點處切線方程為，，

所以從而．

即答案為4.點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．14、【解題分析】

依題意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【題目詳解】依題意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案為：．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

至少出現(xiàn)2次針尖向上包括：出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據(jù)互斥事件概率加法公式，可得答案．【題目詳解】∵投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)2次針尖向上的概率為：0.132，出現(xiàn)3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率，故答案為：．【題目點撥】本題考查的知識點是互斥事件概率加法公式，先求出出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上的概率，是解答的關(guān)鍵．16、【解題分析】

首先根據(jù)好評率求獲得好評的電影部數(shù)，再求總的電影部數(shù)，最后求比值.【題目詳解】獲得好評的電影部數(shù)：共有部電影，所以沒有獲得好評的電影概率為：.故答案為：【題目點撥】本題考查用統(tǒng)計的知識解決實際問題，意在考查分析數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)據(jù)的能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2).【解題分析】

（1）由即為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，可得的值和切線方程，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)證明：整理得令，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不等式得證.(Ⅱ)，設(shè)切點為，則，函數(shù)在點處的切線方程為，令，解得，所以，令，因為，，所以，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，因為，.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由是的等差中項可得，由是的等比中項，結(jié)合正弦定理與余弦定理即可得到，由此證明為等邊三角形；（2）解法1：利用分析法，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)即可證明；解法2：由為銳角三角形以及三角形的內(nèi)角和為，可得，利用公式展開，進(jìn)行化簡即可得到．【題目詳解】（1）由成等差數(shù)列，有①因為為的內(nèi)角，所以②由①②得③由是的等比中項和正弦定理得，是的等比中項，所以④由余弦定理及③，可得再由④，得即，因此從而⑤由②③⑤，得所以為等邊三角形．（2）解法1：要證只需證因為、、都為銳角，所以，故只需證：只需證：即證：因為，所以要證：即證：即證：因為為銳角，顯然故原命題得證，即．解法2：因為為銳角，所以因為所以，即展開得：所以因為、、都為銳角，所以，所以即【題目點撥】本題考查正余弦定理、等差等比的性質(zhì)，銳角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解決本題的關(guān)鍵．19、(1)，，,.(2).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)特征多項式求特征值，再根據(jù)特征值求對應(yīng)特征向量，（2）先將表示為，再根據(jù)特征向量定義化簡A5，計算即得結(jié)果.詳解：(1)矩陣的特征多項式為，令，解得，，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.(2)令，得，求得.所以點睛：利用特征多項式求特征值，利用或求特征向量.20、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握認(rèn)為兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績有差異【解題分析】

（1）由分層抽樣的知識及題中所給數(shù)據(jù)分別計算出甲校與乙校抽取的人數(shù)，可得，的值；（2）計算樣本的優(yōu)秀率，可得乙校的優(yōu)秀率；（3）補全列聯(lián)表，計算出的值，對照臨界表可得答案.【題目詳解】解：（1）由題意知，甲校抽取人，則，乙校抽取人，則.（2）由題意知，乙校優(yōu)秀率為.（3）填表如下表（1）.甲校乙?？傆媰?yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計5550105根據(jù)題意，由題中數(shù)據(jù)得，有95﹪的把握認(rèn)為兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績有差異.【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣及頻率分布直方圖的相關(guān)知識、獨立性檢驗及其應(yīng)用，屬于中檔題，注意運算準(zhǔn)確.21、（1）（1）【解題分析】

（1）利用已知條件，通過求解三角形推出圓柱的高，然后求解圓柱的表面積S．（1）利用圓柱的體積，求出底面半徑，通過VC﹣OEF＝VO﹣CEF，求解點C到平面OEF的距離．【題目詳解】解：（1）∵O1A與母線所成的角為20°，AO＝r，所以O(shè)1Or，圓柱的表面積S＝1πr1+11（1）πr1．（1）∵圓柱的體積為9π，∴，∴r．2．，，∴，【題目點撥】本題考查空間點線面的距離的求法