廣東省惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

廣東省惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，則的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無(wú)法確定正負(fù)3．的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a5．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定6．不等式無(wú)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是()A． B．C． D．7．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，，則滿足的概率為（）A． B． C． D．8．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為（）A．2B．3C．1D．29．已知集合，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．11．6本相同的數(shù)學(xué)書(shū)和3本相同的語(yǔ)文書(shū)分給9個(gè)人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．12．在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則≥的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面上畫(huà)條直線，且滿足任何條直線都相交，任何條直線不共點(diǎn)，則這條直線將平面分成__________個(gè)部分．14．命題“，”的否定是_______.15．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是.16．已知向量的夾角為，且，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，且.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.18．（12分）已知命題（其中）.（1）若，命題“或”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（12分）某校選擇高一年級(jí)三個(gè)班進(jìn)行為期二年的教學(xué)改革試驗(yàn)，為此需要為這三個(gè)班各購(gòu)買(mǎi)某種設(shè)備1臺(tái).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，該種設(shè)備有甲乙兩型產(chǎn)品，甲型價(jià)格是3000元/臺(tái)，乙型價(jià)格是2000元/臺(tái)，這兩型產(chǎn)品使用壽命都至少是一年，甲型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是，乙型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是.若某班設(shè)備在試驗(yàn)期內(nèi)使用壽命到期，則需要再購(gòu)買(mǎi)乙型產(chǎn)品更換.(1)若該校購(gòu)買(mǎi)甲型2臺(tái)，乙型1臺(tái)，求試驗(yàn)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)該種設(shè)備總費(fèi)用恰好是10000元的概率；(2)該校有購(gòu)買(mǎi)該種設(shè)備的兩種方案，方案：購(gòu)買(mǎi)甲型3臺(tái)；方案：購(gòu)買(mǎi)甲型2臺(tái)乙型1臺(tái).若根據(jù)2年試驗(yàn)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)該設(shè)備總費(fèi)用的期望值決定選擇哪種方案，你認(rèn)為該校應(yīng)該選擇哪種方案？21．（12分）如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,為側(cè)面的對(duì)角線的交點(diǎn),分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.22．（10分）“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開(kāi)發(fā)的一個(gè)類(lèi)似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).用戶可以通過(guò)關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己及好友每日行走的步數(shù)、排行榜，也可以與其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的或點(diǎn)贊.現(xiàn)從某用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)選取40人，記錄他們某一天的行走步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人數(shù)/人16954女性人數(shù)/人03642規(guī)定：用戶一天行走的步數(shù)超過(guò)8000步時(shí)為“運(yùn)動(dòng)型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運(yùn)動(dòng)型”用戶的頻率看作隨機(jī)抽取1人為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的概率.從該用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)抽取4人，記為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的人數(shù)，求和的數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運(yùn)動(dòng)型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運(yùn)動(dòng)型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人，記選到“運(yùn)動(dòng)型”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用等面積法得出、、的等式，可得出、的等量關(guān)系式，可求出橢圓的離心率.【題目詳解】由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為，該三角形的周長(zhǎng)為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，解題時(shí)要結(jié)合已知條件列出有關(guān)、、的齊次等式，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算出離心率的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.2、A【解題分析】

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，可以判斷出在上單調(diào)遞減，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義和奇偶性的定義，即可判斷的符號(hào)。【題目詳解】因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，而且是定義在上的奇函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由減函數(shù)的定義可得，，即有，故選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用。3、C【解題分析】分析：直接利用微積分基本定理求解即可.詳解：，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查微積分基本定理的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，考查計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題.4、A【解題分析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x【題目詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時(shí)，g(x)<0，x>0時(shí)，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象（見(jiàn)下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1?故選A.【題目點(diǎn)撥】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.5、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)從而有，故選A．考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．【思路點(diǎn)睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉(zhuǎn)化為，從而可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，代入即可求出結(jié)果．6、C【解題分析】

利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，因此得出的范圍，再根據(jù)無(wú)實(shí)數(shù)解得出的范圍。【題目詳解】解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，，即.因?yàn)闊o(wú)實(shí)數(shù)解所以，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)解出變量的范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。7、B【解題分析】

先化簡(jiǎn)，得到或.利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式可計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】由，有，得或，則滿足條件的為，，，，，，，，，所求概率為．故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查列舉法求得古典概型概率有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝129、D【解題分析】

因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知集合的交集有2個(gè)元素，可知其子集共有個(gè).【題目詳解】由題意得，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，故的子集有4個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，子集的概念，屬于中檔題.10、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長(zhǎng)得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為m，則，得，則虛半軸長(zhǎng)，雙曲線的方程是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是中檔題．11、A【解題分析】先分語(yǔ)文書(shū)有種，再分?jǐn)?shù)學(xué)書(shū)有，故共有=，故選A.12、D【解題分析】

先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型計(jì)算概率.【題目詳解】因?yàn)椋?，解得，所?【題目點(diǎn)撥】幾何概型中長(zhǎng)度模型（區(qū)間長(zhǎng)度）的概率計(jì)算：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)幾何圖形，列出前面幾項(xiàng)，根據(jù)歸納推理和數(shù)列中的累加法即可得到結(jié)果。詳解：1條直線將平面分成2個(gè)部分，即2條直線將平面分成4個(gè)部分，即3條直線將平面分為7個(gè)部分，即4條直線將平面分為11個(gè)部分，即，所以….根據(jù)累加法得所以點(diǎn)睛：本題綜合考查了數(shù)列的累加法、歸納推理的綜合應(yīng)用。在解題過(guò)程中，應(yīng)用歸納推理是解決較難題目的一種思路和方法，通過(guò)分析具體項(xiàng)，找到一般規(guī)律，再分析解決問(wèn)題，屬于中檔題。14、，【解題分析】

原命題為特稱(chēng)命題，其否定為全稱(chēng)命題.【題目詳解】“，”的否定是，故答案為：，【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)特稱(chēng)命題進(jìn)行否定.對(duì)全(特)稱(chēng)命題進(jìn)行否定的方法:(1)改寫(xiě)量詞：全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱(chēng)量詞；(2)否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．15、【解題分析】試題分析：畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分，看作兩點(diǎn)，連線的斜率，根據(jù)上圖可求最大值為考點(diǎn)：線性規(guī)劃。16、3【解題分析】

運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得????，再利用向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得答案.【題目詳解】解：?????????.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，相對(duì)簡(jiǎn)單.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）2【解題分析】

（1）直接由求得的值；

（2）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求得的定義域，判定在上的增減性，求出在上的最值，即得值域．【題目詳解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，∴函數(shù)在上的最大值是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可求得定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得值域．18、（1）(2)【解題分析】分析：（1）分別求出的等價(jià)命題，，再求出它們的交集；

（2），因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，解不等式組可得．詳解：：（1），若，命題“或”為假，則命題“且”為真，取交集，所以實(shí)數(shù)的范圍為；

（2），解得，

若是的充分不必要條件，則，則.點(diǎn)睛：本題考查了不等式的解法、集合運(yùn)算性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【題目詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐體積公式的計(jì)算，異面直線所成的夾角，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）選擇B方案【解題分析】【試題分析】（1）由于總費(fèi)用為10000元，說(shuō)明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，因此可運(yùn)用獨(dú)立事件的概率公式可求得；（2）可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩類(lèi)進(jìn)行求解：（1）若選擇方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用為元，則，所以，又，所以；（2）若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用元，則，，，，所以，又，所以因?yàn)?，所以選擇B方案．解：（1）總費(fèi)用為10000元，說(shuō)明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，概率為：；（2）若選擇方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用為元，則，所以，又，所以；若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為，總費(fèi)用元，則，，，，所以，又，所以因?yàn)?，所以選擇B方案．21、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解題分析】

（1）利用線線平行證明平面//平面，（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建系求解即可．【題目詳解】（1）證明分別為邊的中點(diǎn)，可得,又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得故有，由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點(diǎn)，又由為的中點(diǎn)，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，