河南省商丘市名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

河南省商丘市名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．存在量詞命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．或23．已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．3 C．1或 D．或34．已知，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．設(shè)是實(shí)數(shù)，使得不等式成立的一個(gè)充分而不必要的條件是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．7．若，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C． D．10．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C． D．11．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值12．已知函數(shù)．若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的最大值為9C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、填空題13．不等式的解集為．14．集合中的元素個(gè)數(shù)為．15．已知，則的取值范圍為．16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的最小值是．四、問(wèn)答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的范圍．18．二次函數(shù)滿足，且有唯一實(shí)數(shù)解．(1)求的解析式；(2)若且，求的最小值．19．已知．(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，求的取值范圍．五、應(yīng)用題20．黨的二十大報(bào)告提出“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)．日常生活中我們使用的燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，長(zhǎng)壽命，有效降低資源消耗．某企業(yè)決定在國(guó)家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取新工藝，助力碳達(dá)峰．已知該企業(yè)每年需投入4萬(wàn)元更換一套生產(chǎn)設(shè)備，該企業(yè)的年產(chǎn)量最少為300百件，最多為500百件，年生產(chǎn)成本（元）與年產(chǎn)量（百件）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，若每年可獲得政府補(bǔ)貼元，且該產(chǎn)品政府定價(jià)為每百件600元（產(chǎn)品成本包括生產(chǎn)成本和更換設(shè)備投入）．(1)該企業(yè)每年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，才能使每百件的平均成本最低？(2)若要保證企業(yè)不虧本，則需要國(guó)家每年至少補(bǔ)貼多少元？六、證明題21．已知函數(shù)．(1)證明：在上是減函數(shù).(2)求不等式的解集．七、問(wèn)答題22．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”．(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”，如果存在，寫出符合條件的一個(gè)“保值區(qū)間”（直接寫出結(jié)論，不要求證明）；(2)如果是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”，求的最大值．參考答案：1．A【分析】直接由存在量詞命題的否定的定義即可判斷.【詳解】存在量詞命題“”的否定是“”.故選：A.2．D【分析】利用分段函數(shù)解析式，分類討論即可.【詳解】若，則，得，若，則，得或（舍），故選：D3．A【分析】首先由冪函數(shù)的定義列出方程求出或3，分別檢驗(yàn)此時(shí)的圖象是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或3；當(dāng)時(shí)，，的圖象不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),符合題意，當(dāng)時(shí)，，的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),不符合題意，綜上，符合題意.故選：A.4．B【分析】根據(jù)題意，由均值不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以由均值不等式，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，故的最小值為3．故選：B5．C【分析】根據(jù)等價(jià)于，由此可判斷正確選項(xiàng)對(duì)應(yīng)集合應(yīng)為的一個(gè)真子集，即可判斷出答案.【詳解】由得，，由題意可知正確選項(xiàng)中的不等式所對(duì)應(yīng)的集合應(yīng)該是的一個(gè)真子集，顯然A，B，D中對(duì)應(yīng)的集合不滿足，而對(duì)應(yīng)的集合是的真子集，故選：C6．B【分析】先由的定義域?yàn)?，求出的定義域，從而進(jìn)一步可求出的定義域.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋蔬x：B.7．D【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定即可.【詳解】由于，則，而，故．即，故A成立；因?yàn)?，故，故B成立；，故C成立；取，檢驗(yàn)可知D不一定成立。故選：D8．B【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性及一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B9．ABD【分析】先求集合A，然后根據(jù)集合間的關(guān)系分類討論計(jì)算即可.【詳解】由題，得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，無(wú)解，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，得，所以或，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的值可以為.故選：ABD10．ABC【分析】利用函數(shù)的奇偶性可推出函數(shù)的對(duì)稱性及周期性、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性一一判定即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以,故A正確；根據(jù)題意可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且關(guān)于直線對(duì)稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；故B正確；所以，所以4是的一個(gè)周期，即，故C正確；由上可知：，且，所以，即對(duì)于不成立，故D不正確．故選：ABC.11．BD【分析】對(duì)于B，直接由即可判斷B正確，對(duì)于A，由B中結(jié)論可得，從而判斷A錯(cuò)誤，對(duì)于C，利用將變形為結(jié)合可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)于D，利用結(jié)合立方差公式將變形為，結(jié)合即可判斷D正確.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，即有，可得，B正確，而，即有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)誤，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：BD.12．ACD【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】作出圖象如圖所示，易知，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱性可知，故A正確；由，又，所以等號(hào)不成立，故B錯(cuò)誤；由圖象及函數(shù)的值域可知，，且，則，故C正確；因?yàn)?，由，故，故．故D正確．故選：ACD13．【分析】將一元二次不等式變形為，從而即可求解.【詳解】即，整理得：，所以不等式的解集為.故答案為：.14．6【分析】利用4的因數(shù)結(jié)合集合的描述法一一計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，即，所以的可能取值為，分別代入可得，所以集合中共有6個(gè)元素.故答案為：615．【分析】利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，可得，又，兩式相加，可得，即的取值范圍為:.故答案為：.16．/【分析】根據(jù)條件得出區(qū)間的解析式，類似周期性得出函數(shù)的規(guī)律，結(jié)合二次函數(shù)的最小值計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)時(shí)，，令，則，同理，當(dāng)時(shí)，，令，則，整理得，函數(shù)類似于周期函數(shù)，每向右移一個(gè)單位，函數(shù)最小值變?yōu)樯弦粋€(gè)最小值，要使對(duì)任意，都有，只需，令，解得（舍去）或，故的最小值是.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）直接求交集；（2）由，得，列不等式解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以；（2）若，則，，，所以，解得.18．(1)(2)9【分析】（1）設(shè)的解析式為，根據(jù)題設(shè)列式求得的值，即得答案；（2）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)的解析式為，因?yàn)?，．又有唯一?shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，所以，所以，所以；（2）因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，且，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.19．(1)(2)【分析】（1）問(wèn)題等價(jià)于一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可求解.（2）先求出命題為真命題時(shí)的取值范圍，然后再分類討論即可求解.【詳解】（1）由，若為真命題，則，解得，所以的取值范圍為.（2）若為真命題，則，只需，所以，分以下兩種情形來(lái)討論：情形一：若一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，當(dāng)是真命題，是假命題時(shí)，則，解得，情形二：當(dāng)是假命題，是真命題時(shí)，則，解得，綜上所述.20．(1)400(2)10000【分析】（1）由題意每百件的平均成本可以表示為，結(jié)合基本不等式，注意取等條件是否成立即可求解.（2）問(wèn)題等價(jià)于所獲利潤(rùn)非負(fù)，首先將利潤(rùn)表達(dá)式表示為，令，可得，從而轉(zhuǎn)換成恒成立問(wèn)題求解.【詳解】（1）由題意知，平均每百件的成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，故該當(dāng)每年產(chǎn)量為400百件時(shí)，才能使每百件的平均成本最低，最低為600元．（2）設(shè)該企業(yè)每年獲利為元，而國(guó)家每年補(bǔ)貼元，則，如果要保證企業(yè)不虧本，則需，即，令，時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，，所以，故要保證企業(yè)不虧本，則需要國(guó)家每年至少補(bǔ)貼10000元.21．(1)證明見解析(2)或【分析】（1）直接由函數(shù)單調(diào)性、減函數(shù)的定義來(lái)證明即可.（2）注意到是奇函數(shù)，所以原不等式可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為，又，且在上為減函數(shù)，從而，解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)，且，則，，，即，在上是減函數(shù).（2）由，得又因?yàn)?，所以是奇函?shù)，．又，且在上為減函數(shù)，，即，解得或，不等式的解集是或.22．(1)不存在，存在，；(2)【分析】（1）根據(jù)定義及二次函數(shù)、反比例型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義及一元二次方