人教版平行四邊形單元測試綜合卷檢測試題

一、選擇題

1.對于題目：“如圖1,平面上，正方形內(nèi)有一長為12、寬為6的矩形，它可以在正方形

的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊

長的最小整數(shù)甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長工,再取最小

整數(shù)〃.

甲：如圖2,思路是當x為矩形對角線長時就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取〃=13.

乙：如圖3,思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取"=14.

丙：如圖4,思路是當X為矩形的長與寬之和的注倍時就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取"=13.

2

下列正確的是（）

x

圖4

A.甲的思路錯，他的〃值對

B.乙的思路和他的〃值都對

C.甲和丙的〃值都對

D.甲、乙的思路都錯，而丙的思路對

2.如圖，在正方形A8CD中，CE=MN,NMCE=35°,那么NANM等于（）

3.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點（點P不與點B、D重合），PELBC于點

E,PFJ_CD于點F,連接EF給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③僅有當NDAP=

行

45。或67.5。時，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤、一PD=EC.其中有正確有

2

）個.

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，正方形ABCD中，AB=12,點E在邊CD上，且CD=3DE,將aADE沿AE對折至

△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF,下列結(jié)論：①△ABG^Z\AFG；

②BG=GC；③AG〃CF；④SMGC=28.8.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

5.如圖，在矩形ABCD中，8。=2不,45=4,0為邊AB的中點，P為矩形ABC。外

一動點，且NAPC=90，則線段OP的最大值為（）

A.5+囪B.3+石C.475-2D.273+1

6.下列命題中，真命題的個數(shù)有（）

①對角線相等的四邊形是矩形；

②三條邊相等的四邊形是菱形；

③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

A.3個B.2個C.1個D.0個

7.如圖，平行四邊形A8C。中，對角線AC、BD相交于點。，AD^—AC,M、N、P分別

2

是。A、OB、CD的中點，下列結(jié)論:

①CN_LBD；

②MN=NP；

③四邊形MNCP是菱形；

④N。平分NPNM.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，在一張矩形紙片ABC。中，AB=4，BC=8,點E，尸分別在A。，BC

上，將紙片ABC。沿直線E/折疊，點C落在AO上的一點H處，點。落在點G處，有

以下四個結(jié)論：

①四邊形CFWE是菱形；②EC平分NDCH；③線段BF的取值范圍為3WB尸W4；④

當點”與點A重合時，EF=275.

以上結(jié)論中，你認為正確的有（）個.

9.如圖，點E在同一條直線上，正方形ABC。、正方形的邊長分別為

2、3,“為線段。/的中點，則6H的長為（）

A后BV26

22

r36nV29

22

10.如圖，正方形A8CD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1,CE=3,"是AF的中

點，那么CH的長是（）

A.2B.-C.史1D.J5

22

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，NA=30。,AO=26,80=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2.E為邊C。的中點，點P在線段AB

上運動，廠是CP的中點，則ACEF的周長的最小值是.

13.如圖，在矩形ABCD中，NBAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,點G

是EF的中點，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②ZDGR=135°；

14.如圖，動點E、E分別在正方形ABCO的邊4）、3c上，AE=CF,過點C作

CGA.EF,垂足為G，連接BG，若AB=4,則線段BG長的最小值為.

15.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,P為邊BC上一動點（P不與B、C

重合），PE_LAB于E,PF_LAC于F,M為EF中點，則AM的取值范圍是

16.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c為一邊作正方形80EC設(shè)

正方形的對稱中心為。，連接A。，則4。=.

17.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE，則下列結(jié)論：①AF=AP;②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號）.

18.在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運動，點M為線段

AB的中點.點D、E分別在x軸、y軸的負半軸上運動，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線段MG長度的最大值為

y.

19.如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,點。為平面內(nèi)動點，且滿足AD

=4,連接BD,取BD的中點￡,連接CE,則CE的最大值為.

20.如圖所示，已知AB=6,點C,。在線段A8上，47=08=1,P是線段CD上的動

點，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊連接EF,設(shè)EF的中

點為G,當點P從點C運動到點。時，則點G移動路徑的長是.

21.已知，四邊形ABC。是正方形，點E是正方形ABC。所在平面內(nèi)一動點（不與點。重

合），AB^AE,過點B作。E的垂線交DE所在直線于F,連接CF.

提出問題：當點￡運動時，線段CF與線段。E之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點E的一個特殊位置：當點E與點B重合（如圖①）時，點f與點B也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：_；

（2）然后考察點E的一般位置，分兩種情況：

情況1：當點E是正方形ABCD內(nèi)部一點（如圖②）時；

情況2:當點E是正方形ABCD外部一點（如圖③）時.

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.如圖，矩形。8CD中，0B=5,。。=3,以。為原點建立平面直角坐標系，點8,點。

分別在x軸，y軸上，點C在第一象限內(nèi)，若平面內(nèi)有一動點P,且滿足矩道

OBCD，I可：

（1）當點P在矩形的對角線。C上，求點P的坐標；

（2）當點P到。，8兩點的距離之和P0+P8取最小值時，求點P的坐標.

23.在等邊三角形ABC中，點D為直線BC上一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當點D在線段CB上時，

?ZBCF="；

②BC,CD,CF之間數(shù)量關(guān)系為.

（2）（數(shù)學思考）：如圖（2）,當點D在線段CB的延長線上時，（1）中兩個結(jié)論是否

仍然成立？請說明理由.

（3）（拓展應(yīng)用）：如圖（3）,當點D在線段BC的延長線上時，若A3=6,

CD=；BC,請直接寫出的長及菱形ADEF的面積.

圖(2)圖(3)

圖(1)

24.在ABC。中，以A。為邊在ABC。內(nèi)作等邊連接BE.

(1)如圖1,若點E在對角線89上，過點A作A"_LB￡＞于點”，且NZMB=75。,

AB=&，求A”的長度；

(2)如圖2,若點F是BE的中點,且CVLBE,過點E作MNCF,分別交A3,

CD于前M,N,在OC上取DG=CN,連接CE,EG.求證：

①ACENmKDEG；

②AENG是等邊三角形.

25.如圖，點E為M8C。的邊AD上的一點，連接EB并延長，使BF=BE,連接EC并延

長，使CG=CE,連接FG.H為FG的中點，連接。H,AF.

(1)若N8AE=70°,ZDCE=20°,求/DEC的度數(shù)：

(2)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；

(3)連接EH,交8c于點。，若OC=OH,求證：EF1EG.

26.如圖，ABC是等腰直角三角形，NAC8=90°,分別以A&AC為直角邊向外作等

腰直角和等腰直角VACE,G為8。的中點，連接CG,8E,CD,BE與CD交于點

F.

D

（1）證明：四邊形ACG。是平行四邊形；

（2）線段跖和線段CD有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

（3）已知BC=6,求EF的長度（結(jié)果用含根號的式子表示）.

27.如圖，在正方形ABC。中，點M是8C邊上任意一點，請你僅用無刻度的直尺，用

連線的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）在如圖（1）的AB邊上求作一點N,連接CN,使CV=AM；

（2）在如圖（2）的AO邊上求作一點Q,連接CQ，使CQPA”.

28.如圖，菱形紙片ABCD的邊長為2,NBAC=60。,翻折使點民。兩點重合

在對角線BD上一點P,E/,G〃分別是折痕.設(shè)AE=x（O<x<2）.

A

（1）證明：AG^BE-.

（2）當0<x<2時;六邊形4EFCHG周長的值是否會發(fā)生改變，請說明理由;

（3）當0<x<2時，六邊形4EFCHG的面積可能等于亞嗎?如果能，求此時x的

4

值；如果不能，請說明理由.

29.已知：在矩形ABCD中，點F為AD中點，點E為AB邊上一點，連接CE、EF、CF,EF

平分/AEC.

⑴如圖1,求證：CF±EF;

（2）如圖2,延長CE、DA交于點K,過點F作FG〃AB交CE于點G若，點H為FG上一點，

連接CH,若NCHG=NBCE,求證：CH=FK;

（3）如圖3,過點H作HNXCH交AB于點N,若EN=11,FH-GH=1,求GK長.

30.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD_LAB,PELAC,垂足

分別為D、E,過點C作CF_LAB,垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與AACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PG_LBE、PH±BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

(遷移拓展)

4

在直角坐標系中.直線/i:y=--x+4與直線〃：y=2x+4相交于點A,直線6%與x軸分別

3

交于點B、點C.點P是直線12上一個動點，若點P到直線/1的距離為1.求點P的坐標.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出矩形的對角線長，即可判斷甲和乙，丙中圖示情況不是最

長.

【詳解】

甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，但是計算錯誤，應(yīng)為

"=后7透=66七14；

乙的思路與計算都正確，n=762+122=675^14；

丙的思路與計算都錯誤，圖示情況不是最長，n=(12+6)X"=9a七13.

2

故選B.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練運用矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.C

解析：c

【分析】

過B作BF〃/WN交AD于F,則NAFB=NAMM,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NA=NEBC=

90°,AB^BC,AD//BC,推出四邊形8FMW是平行四邊形，得出8F=MN=CE,證

RtAABF絲RJ8CE,推出/AFB=/ECB即可.

【詳解】

解：

過8作BF//MN交AD于F,

則/AFB=NANM,

:四邊形ABC。是正方形，

AZA=ZEBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四邊形BFNM是平行四邊形，

/.BF=MN,

'：CE=MN,

:.CE=BF,

在Rt^ABF和Rt^BCE中

BF=CE

AB=BC

：.RtA48F^RtABCE(HL),

：.NABF=NMCE=35°,

/ANM=/AFB=55°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了直角三角形全等的判定即性質(zhì)，還涉及正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與

性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

3.D

解析：D

【分析】

過P作PG_LAB于點G,根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明4AGP也ZiFPE

后即可證明①AP=EF；④NPFE=/BAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對角線平分對角的性

質(zhì)，在RSDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J5EC,得出⑤正確，即可得出

結(jié)論.

【詳解】

過P作PG_LAB于點G,如圖所示:

?.?點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，

；.GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

NGPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

.\AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<NAGP=NFPE=90。,

PG=PE

.,.△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正確，NPFE=NGAP,

AZPFE=ZBAP,④正確：

延長AP到EF上于一點H,

；./PAG=/PFH,

VZAPG=ZFPH,

AZPHF=ZPGA=90",

，APJ_EF,②正確，

:點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，ZADP=45°,

...當NPAD=45?；?7.5°時，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正確.

VGF/7BC,

AZDPF=ZDBC,

又：/DPF=/DBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45",

；.PF=EC,

...在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

，DP=0EC,

即N￡P(guān)D=EC,⑤正確.

2

???其中正確結(jié)論的序號是①②③④⑤，共有5個.

故選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理的運用.本題難度較大，綜合性較強，在解答時要認真審題.

4.B

解析：B

【分析】

由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AB=AF,NAFG=90。，由HL證明Rt/XABG之Rt/XAFG,得

出①正確；

設(shè)BG=FG=x,則CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG,得出GC,即可得出②

正確；

由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出NAGB=/GCF,得出AG〃CF,即可得出③正

確；

通過計算三角形的面積得出④錯誤；即可得出結(jié)果.

【詳解】

①正確.理由如下：

:四邊形A8CD是正方形，...AB=8C=CD=AD=12,N8=NGCE=ND=90°,由折疊的性質(zhì)

得：AF=AD,ZAFE=ZD=90°,ZAFG=90°,AB=AF.在RMA8G和RtA4FG

AG=AG

中，〈,：.Rt/\ABG^RtZ\AFG(HL)；

[AB^AF

②正確.理由如下：

由題意得：EF=DE=-CD=4,設(shè)BG=FG=x,則CG=12-x.

3

在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得(12-x)2+82=(x+4)2,解

得：x=6,BG=6,Z.GC=12-6=6,：.BG=GC；

③正確.理由如下：

"：CG=BG,BG=GF,：.CG=GF,.'△FGC是等腰三角形,NGFC=NGCF.

又

VRtA^BG^RtAZlFG,/.ZAGB^ZAGF,NAG8+NAGF=2/4GB=180°-NFGC=NGFC+NGC

F=2ZGFC=2ZGCF,：.ZAGB=ZGCF,：.AG//CF；

④錯誤.理由如下：

I1

'：SGCE=-GC?CE=-X6X8=24.

&22

372

：GF=6,EF=4,ZXGFC和等高，：.S^GFC:S&FCE=3：2,：.S&GFC=^X24=—#28.8.

故④不正確，，正確的有①②③.

故選B.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行

線的判定，三角形的面積計算等知識；本題綜合性強，有一定的難度.

5.B

解析：B

【分析】

連接AC,取AC的中點E,根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC,0E,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半可得PE=，AC,然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得。、

2

E、P三點共線時0P最大.

【詳解】

解：如圖，連接AC,取AC的中點E,

:矩形ABCD中，BC=2石，A8=4,0為AB的中點，

：.AC=y]AB2+BC2=6,OE=-BC=y[5,

2

VAP±CP,

:.PE=-AC=-x6=3,

22

由三角形的三邊關(guān)系得，0、E、P三點共線時0P最大，

此時。噎大=3+石.

故選:B.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、中位線定理.能正確構(gòu)造輔助

線，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定0P最大值是解題關(guān)鍵.

6.C

解析：c

【分析】

正確的命題是真命題，根據(jù)矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四邊形的判定定理依

次判斷.

【詳解】

①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故該項錯誤；

②四條邊相等的四邊形是菱形，故該項錯誤；

③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故該項正確；

故選：C.

【點睛】

此題考查真命題的定義，正確掌握矩形、菱形、平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

證出。C=8C,由等腰三角形的性質(zhì)得CN_L8D,①正確；證出MN是△AOB的中位線，得

MN//AB,MN=^AB,由直角三角形的性質(zhì)得NP=JCD,則MN=NP,②正確；周長

四邊形MNCP是平行四邊形，無法證明四邊形MNCP是菱形：③錯誤；由平行線的性質(zhì)和

等腰三角形的性質(zhì)證出/MNO=/PND,則N。平分/PNM,④正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AB〃CD,BC=AD,OA=OC=—AC,

2

1

VAD=—AC,

2

.\OC=BC,

是OB的中點，

.\CN±BD,①正確；

：M、N分別是OA、OB的中點，

AMN是△AOB的中位線，

1

AMNAB,MN=—AB,

2

VCN±BD,

.".ZCND=90°,

：P是CD的中點，

.?.NP=，CD=PD=PC,

2

，MN=NP,②正確；

VMN/7AB,AB〃CD,

；.MN〃CD,

又：NP=PC,MN=NP,

，MN=PC,

...四邊形MNCP是平行四邊形，無法證明四邊形MNCP是菱形；③錯誤；

：MN〃CD,

/PDN=/MND,

；NP=PD,

/PDN=/PND,

；./MND=/PND,

，ND平分NPNM,④正確；

正確的個數(shù)有3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)等；熟練掌握三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.C

解析：c

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得ZBCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°時EC平

分/DCH,判斷出②錯誤；

③點H與點A重合時，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點G與點D重合時，CF=CD,求出最大值BF=4,然后寫出BF的取值范圍，判斷

出③正確；

④過點F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確.

【詳解】

解：

①；FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH/7CF,

...四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得,CF=FH,

四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

（2）.\ZBCH=ZECH,

只有/DCE=30°時EC平分/DCH,（故②錯誤）；

③點H與點A重合時，此時BF最小,設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在RtZkABF中,AB2+BF2=AF2,

即42+x2=（8-x）2,

解得x=3,

點G與點D重合時，此時BF最大,CF=CD=4,

，BF=4,

線段BF的取值范圍為3WBFW4,（故③正確）：

過點F作FM±AD于M,

則ME=(8-3)-3=2,

由勾股定理得，

EF=y]MF2+ME2=V42+22=2y/5，(故④正確)；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個，

故選C.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點在于靈活運用菱

形的判定與性質(zhì)與勾股定理等其它知識有機結(jié)合.

9.B

解析：B

【分析】

連接BD、BF,由正方形的性質(zhì)可得：ZCBD=ZFBG=45°,ZDBF=90°,再應(yīng)用勾股定理

求BD、BF和DF,最后應(yīng)用“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”可求得BH.

【詳解】

如圖，連接BD、BF,

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,

；.AB=AD=2,BE=EF=3,ZA=ZE=90°,ZABD=ZCBD=ZEBF=ZFBG=45°,

；.NDBF=90°,BD=2近，BF=3五，

，在Rt—DF中，D^yjBD2+BF2=-^26,

VH為線段DF的中點,

□H-IDF-^6

22

故選B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形邊的關(guān)系、勾股定理、直角三角形性質(zhì)等，解

題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

10.D

解析：D

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,

求出NACF=90。，得到CH=^AF,根據(jù)勾股定理求出AF的長度即可得到答案.

2

【詳解】

:正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1,CE=3,

.,.AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,

延長AD交EF于M,連接AC、CF,

則AM=BC+CE=l+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,ZAMF=90°,

：四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，

...NACD=NGCF=45°,

.\ZACF=90°,

為AF的中點，

.\CH=—AF,

2

在RtAAMF中，由勾股定理得：AF=AM2+MF2=742+22=2石，

.,.CH=V5.

故選：D.

【點睛】

此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)，正

確引出輔助線得到NACF=90。是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.4百或2百

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作于E,

在RtZ\ADE中，ZA=30°,AD=2拒,

:.DE=^-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在RtZXBDE中，BD=2,

：.BE=ylBD2-DE2=422Tgy=b

如圖1,

：.AB=4,

???平行四邊形ABC。的面積=ABDE=4x6=4超,

如圖2,

圖2

AB=2,

二平行四邊形ABCD的面積=ABDE=2x>/3=2y/3.

如圖3,過8作BE_LA。于E,

在RtAASE中，設(shè)AE=x,則。E=26-X，

A

NA=30°,BE=J，

在RtZXBDE中，BD=2,

：.22=(yX)2+(2x/3-X)2,

X~V3>X=2V3(不合題意舍去),

：.BE=\,

二平行四邊形ABCD的面積=ADBE=1x2下>=2乖>，

如圖4,

A

圖4D

當AD，8。時，平行四邊形ABCD的面積=8。=46，

故答案為：4百或2百.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

12.2&+2

【分析】

由題意根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF=，PD,得到CACEF=CE+CF+EF=CE+,(CP+PD)

22

=—(CD+PC+PD)=-CACDP,當4CDP的周長最小時，Z\CEF的周長最?。患碢C+PD的值

22

最小時，4CEF的周長最小；并作D關(guān)于AB的對稱點D',連接CD'交AB于P,進而分

析即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：：E為CD中點，F(xiàn)為CP中點，

1

，EF=—PD,

2

CACEF-CE+CF+EF=CEH—(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=—CACDP

222

.,.當4CDP的周長最小時，4CEF的周長最?。?/p>

即PC+PD的值最小時,ACEF的周長最?。?/p>

如圖，作D關(guān)于AB的對稱點T,連接CT,則PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

CT=y]CD2+DT2=442+42=472，

VACDP的周長=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

?；PT+PC》CT,

PT+PO4V2，

...PT+PC的最小值為40，

/.△PDC的最小值為4+472，

CACEF=-CACDP=2V2+2?

故答案為：2立+2.

【點睛】

本題考查軸對稱-最短距離問題以及三角形的周長的計算等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸

對稱解決最值問題.

13.①③④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判斷①；通過證明

△DCG^ABEG,可得NBGE=/DGC,BG=DG,即可判斷②③；過點G作GHJ_CD于H,設(shè)

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=^X,DG=GB=X1X,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：：四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

；./BAE=NDAE=45°,

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

，BC=DF,故①正確；

VZEAB=ZBEA=45O,

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

???△CEF是等腰直角三角形，

?點G為EF的中點,

.,.CG=EG,ZFCG=45°,CG±AG,

.??ZBEG=ZDCG=135°,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

</BEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

AZBGE=ZDGC,BG=DG,

ZBGE<ZAEB,

.,.ZDGC=ZBGE<45\

：/CGF=90°,

.??ZDGF<135°,故②錯誤；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

ZCGA=ZDGB=90",

ABG±DG,故③正確；

過點G作GHXCD于H,

3

,/AB=-AD,

4

.?.設(shè)AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=JAB?+AO?=5X,

???△CFG,aGBD是等腰直角三角形，

HG=CH=FH=—x,DG=GB=§立x,

22

.1,125,

??SADGF=—xDFxHG=x2,SABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

sBOG——FDG>故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

14.V10-V2

【分析】

連結(jié)AC,取0C中點M,連結(jié)MB,MG,則MB,MG為定長，利用兩點之間線段最短解

決問題即可.

【詳解】

連接AC,交EF于0,

NEAO=NFCO,NAEO=NCFO,

；AE=CF,

.".△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

AO是正方形的中心，

VAB=BC=4,

.?.AC=40,0C=2行，

取OC中點M,連結(jié)MB,MG,過點M作MH_LBC于H,

VMC=^-OC=72>

.,.MH=CH=1,

/.BH=4-1=3,

由勾股定理可得MB=打+尸=710,

在RtAGOC中，M是OC的中點，則MG=JOC=Q,

VBG>BM-MG=VlO-V2，

當B,M,G三點共線時，BG最小=河-行，

故答案為：A/TO-V2-

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當E,F運動到AD,BC的中點時，

MG最小是解決本題的關(guān)鍵.

30

15.—<AM<6

13

【分析】

由勾股定理得BC=13從而得到點A到BC的距離，M為EF中點，所以AM=；EF,繼而求得

AM的范圍.

【詳解】

因為/BAC=90°,AB=5,AC=12,

所以由勾股定理得BC=13,

ABxAC5x1260

則點A到BC的距離為

BC13-13

所以AM的最小值為效4-2=—,

1313

因為M為EF中點，所以AM=-^EF,

2

當E越接近A,F越接近C時，EF越大,

所以EFVAC,則AM<6,

30

所以一WAMV6,

故答案為一WAMV6.

13

16.772：

【分析】

連接A。、BO、CO,過。作FO_LA。，交AB的延長線于F,判定△AOCg/\FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,NFAO=45°,根據(jù)AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接AO、B。、CO,過。作FO_LA。，交AB的延長線于F,

V0是正方形DBCE的對稱中心，

.".BO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

AZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

BPZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

.,.ZAOC=ZFBO,

：/BAC=90°,

.?.在四邊形ABOC中,ZACO+ZABO=180°,

?."ZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

ZAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=ZFBO

.".△AOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

；.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45",

AO=AFxcos450=14x[=1歷.

故答案為70.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).本題的關(guān)鍵是通過作輔助線來構(gòu)建

全等三角形，然后將已知和所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行計算.

17.②③

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC_LBD,所以在RtZiAFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設(shè)

NBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補求出

NABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度數(shù)，從而

判斷②③.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在RtZXAFP中，AF一定大于AP,故①錯誤；

???四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

，ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設(shè)/BAE=x°,

則NEAD=2x°,ZABE=180o-xo-2x°,

VAB=AE,NBAE=X",

ZABE=ZAEB=180o-xo-2x",

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得:x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180o-36°-2x36o=70°,

???四邊形ABCD是菱形，

AZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36°=72°,

?,.ZBEF=180o-36°-72o=72°,

ABE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

，NAFD=/EAD

；.AD=FD

又：AD=AB=AE

，AE=FD,故②正確

正確的有②③

故答案為：②③

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于NBAE的方程是解題

的關(guān)鍵，注意：菱形的對邊平行，菱形的對角線平分一組對角.

18.10+575

【分析】

取DE的中點N,連結(jié)。N、NG、OM.根據(jù)勾股定理可得NG=5石.在點M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、0,N、G四點共線，此時等號成立（如圖2）.可得

線段MG的最大值.

【詳解】

1

.\0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N為DE中點,DE=10,

???NG=\IDN2+DG2=7102+52=5>/5?

在點M與G之間總有MG<MO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于NDNG的大小為定值，只要NDON='NDNG,且M、N關(guān)于點0中心對稱時,

2

M、0、N、G四點共線，此時等號成立,

線段MG取最大值10+56.

故答案為：10+5逐.

【點睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點共線的最值問題，得出M、。、N、G四點

共線，則線段MG長度的最大是解題關(guān)鍵.

19.【分析】

作AB的中點E,連接EM、CE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形

的中位線定理求得CE和EM的長，然后確定CM的范圍.

【詳解】

解：作AB的中點M,連接EM、CM.

在RtAABC中，AB=y/AC2+BC2=782+62=10，

；/W是直角△ABC斜邊AB上的中點，

1

：.CM=-AB=5.

2

是8D的中點，M是A8的中點，

1

ME——AD—2.

2

二5-2WCEW5+2,即3WCEW7.

...最大值為7,

故答案為：7.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，掌握基

本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

20.2

【分析】

分別延長AE,BF交于點H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點G為PH的中點，則

G的運動軌跡為aHCD的中位線MN,再求出CD的長度，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長AE,BF交于點H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

四邊形EPFH為平行四邊形，

AEF與HP互相平分,

?點G為EF的中點,

二點G為PH的中點，即在P運動的過程中，G始終為PH的中點，

AG的運動軌跡為4HCD的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

.?.MN=-C￡)=2,

2

???點G移動路徑的長是2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點的問題，是中考熱點，解題的關(guān)鍵是得

出G的運動軌跡為AHCD的中位線MN.

三、解答題

21.(1)DE=yf2CF；(2)在情況1與情況2下都相同，詳見解析；(3)AF+CF=

ODF或\AF—CF\=ODF

【分析】

(1)易證ABCD是等腰直角三角形，得出DB=0CB,即可得出結(jié)果；

(2)情況1：過點C作CGJ_CF,交DF于G,設(shè)BC交DF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則zxGCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=0CF,連接BE,

設(shè)/CDG=a,則/CBF=a,ZDEA=ZADE=90--a,求出/DAE=2a,則NEAB=90°-2a,

ZBEA=ZABE=—（180°-ZEAB）=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，則EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=J^CF；

情況2：過點C作CGLCF交DF延長線于G,連接BE,設(shè)CD交BF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，得FG=J^CF,設(shè)

/CDG=a,則/CBF=a,證明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

（3）①當F在BC的右側(cè)時，作HDLDF交FA延長線于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得AABFgz^AEF,得出NEFA=/BFA=/BFE=45°,則Z\HDF是等腰

2

直角三角形,得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS證得AHDA