高二上學期數(shù)學人教A版選擇性課件4-2-2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）

4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）創(chuàng)設(shè)情景古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)。他們研究過三角形數(shù)1，3，6，10，15，…，如圖所示，這個圖案中有n層。如果圖中的石子有100層，那么第1層到第100層一共用了多少粒石子？即求1＋2＋3＋…＋100=？這就是歷史上著名的“高斯的算法”，也就是首尾配對法，通過過配對湊成相同數(shù)，變“多步求和”為“一步相乘”！

高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列

1，2，3，…，n,…①前100項和的問題。如果圖中的石子有101層，那么第1層到第101層一共用了多少粒石子？追問1:新知探究即求1＋2＋3＋…＋100+101=？你能用“高斯算法”求和嗎？

這是求奇數(shù)個項的和的問題，若簡單地模仿“高斯算法”，將會出現(xiàn)不能全部配對的問題，會多出一項或者說少了一項，這就是高斯算法的不足之處，在求和問題中需要進行奇偶數(shù)項的討論.（1）n為偶數(shù)時：

（2）n為奇數(shù)時：

記=？將上述方法推廣到一般，可以得到：（可拿出中間項或末項，用“高斯算法”入手探求）追問2:是否一定要分類討論？能否設(shè)法避開分類討論實現(xiàn)配對，將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和？問題1:同學們，是否還記得小學時，梯形面積公式是什么推導(dǎo)的？先將兩個相同的梯形拼成一個平行四邊形，設(shè)梯形上底長a，下底長為b，高為h，則平行四邊形的底長為（a+b），高為h，用平行四邊形推導(dǎo)梯形面積。倒置平移abhababh1.為什么要倒置一個全等的梯形？2.梯形面積公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了什么研究策略？補成平行四邊形將不規(guī)則的或不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的或熟悉的圖形問題2：如圖案中，石子堆有n層，那么第1層到第n層一共有多少粒石子？

啟發(fā)能否借助這樣的策略研究下面的石子堆問題？倒置平移讓它自己和自己配對將首尾配對從和式內(nèi)部跨越到和式外部進行所以，要求

Sn=1＋2＋3＋…＋n，我們可以把和倒過再寫一個式子，Sn=n+(n-1)+(n-2)+…＋2＋1，將首尾配對從和式內(nèi)部跨越到和式外部進行，將兩個和式配對就可以避免分類討論的麻煩.分析：這其實是求一個具體的等差數(shù)列前n項和.問題3：由上述方法得到啟示，用倒序相加法求.如何才能將等式的右邊化簡？公式變形

如何根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征來記憶公式呢？含a1和an含a1和d

等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個量，故知三可求其二．結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n

項和公式(等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積)公式記憶等差數(shù)列前n

項和公式選用公式變用公式知三求二(1)(2)不從公式(1)出發(fā)，你能用其他方法得到公式(2)嗎？

公式應(yīng)用選用公式變用公式知三求二例1

整理,得

解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12選用公式變用公式知三求二例1鞏固練習例2已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到還有其它方法嗎？方程思想例題講解例2已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？一題多解例2變式、已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前30項和嗎？由例2，可知【解】例2變式、已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前30項和嗎？【另解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可推得：

成等差數(shù)列

解得前30項的和為2730.說明：1.上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當?shù)剡\用數(shù)學中的整體思想來快速求出，要注意體會這種思想在數(shù)學中的運用.2.等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列變式提高整體思想一般地，在等差數(shù)列{an}中，有S2n－1＝(2n－1)an.解析在等差數(shù)列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，∵S6＝1，S12＝4，∴1，3，S18－4成公差為2的等差數(shù)列，即S18－4＝5，∴S18＝9.1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S6＝1，S12＝4，則S18＝________.鞏固練習解析由題知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d

＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，2.(多選)(2022·淄博調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個