4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系TOC\o"13"\h\z\u題型1反函數(shù)存在的條件 ⑤y=f（x）與y=f1（x）具有相同的單調(diào)性.此時，如果y=f（x）是增函數(shù)，則y=f1（x）也是增函數(shù)；如果y=f（x）是減函數(shù)，則y=f1（x）也是減函數(shù).知識點二.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系1.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a=1）的圖像關(guān)于y=x對稱.由互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，若函數(shù)y=f(x)的圖像上有一點（a，b），則點（b，a）必在其反函數(shù)的圖像上；反之，若點（b，a）在y=f(x)的反函數(shù)的圖像上，則點（a，b）必在函數(shù)y=f（x）的圖像上.知識點三.求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟1.求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；2.從y=f（x）中解出x3.x，y互換并注明反函數(shù)的定義域.題型1反函數(shù)存在的條件【方法總結(jié)】反函數(shù)的存在條件∶原函數(shù)中x、y是"一對一"確定的．一般來說，若f（x）在區(qū)間A上是單調(diào)的，那么f（x）在A上有反函數(shù).【例題1】試判斷函數(shù)y=xx【解析】任取R中x1<x2，則有f(x1)f(x2)=x1(x1)2+1x2(x2)2+1=【變式11】1.（2019·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是A．y=B．y=|x|C．y=D．y=【答案】D【分析】根據(jù)定義，存在反函數(shù)則x與y是一一對應(yīng)的，特別是單調(diào)函數(shù).【詳解】對于A，當(dāng)y=1時，x=±1，不存在反函數(shù)；對于B，當(dāng)y=1時，x=±1，不存在反函數(shù)；對于C，當(dāng)y=0時，x=0或2，不存在反函數(shù)；對于D，y=(x+2)故選D【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．【變式11】2.（2020·高一課時練習(xí)）判斷下列各對函數(shù)是否互為反函數(shù),若是,則求出它們的定義域和值域:(1)y=ln(2)y=-log【答案】(1)互為反函數(shù).y=lnx的定義域為(0，+∞),值域為R.(2)互為反函數(shù).y=-logx的定義域為(0,+∞),值域為R.y=1【解析】根據(jù)反函數(shù)的求解方法判斷分析即可.【詳解】(1)求y=lnx的反函數(shù)有x=lny=lnx的定義域為(0，+∞),值域為R.(2)求y=-logax的反函數(shù)有x=-y=-logx的定義域為(0,+∞),值域為R.y=1【點睛】本題主要考查了指對數(shù)的反函數(shù)的求解與定義域值域的判定,屬于基礎(chǔ)題.【變式11】3.（2020·高一課時練習(xí)）分別判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)，如果不存在，說明理由；如果存在，寫出反函數(shù).（1）x12345f(x)00135（2）x12345g(x)-101-25【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，見解析.【解析】（1）當(dāng)函數(shù)自變量與函數(shù)值一一對應(yīng)時具有反函數(shù),而f(x)=0自變量有兩個值相等,即可判斷存在反函數(shù).（2）由自變量與函數(shù)值一一對應(yīng),因此可判斷存在反函數(shù).【詳解】（1）當(dāng)函數(shù)自變量與函數(shù)值一一對應(yīng)時具有反函數(shù)因為f(x)=0時,x=1或x=2,即對應(yīng)的x不唯一因此f(x)的反函數(shù)不存在.（2）因為對g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一個值,都只有唯一的x與之對應(yīng)因此g(x)的反函數(shù)g-1反函數(shù)可以表示如下:x-2-1015g41235【點睛】本題考查了反函數(shù)存在的條件,反函數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.【變式11】4.（2021·全國·高一課時練習(xí)）以下說法正確的有（

）①偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)；②若函數(shù)y=fx和其反函數(shù)y③函數(shù)y=fx④定義域上嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必存在反函數(shù)．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)反函數(shù)的知識確定正確選項.【詳解】因為函數(shù)y=1，x∈0是偶函數(shù)，且存在反函數(shù)，所以①錯；因為函數(shù)y=116x和函數(shù)y=log116x互為反函數(shù)，且題型2求反函數(shù)的解析式【方法總結(jié)】求反函數(shù)的兩種方法（1）可以通過對調(diào)y=f（x）中的x與y，然后從x=f（y）中求出y得到反函數(shù)y=f1(x).（2）從y=f(x）反解得到x=f1（y），然后把x=f1（y）中的x，y對調(diào)得到y(tǒng)=f1(x）.【例題21】（2019·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y=x3-1（2）y=x2?（3）y=x-1（4）y=-x-1?，【答案】3x+1?，??(x∈R)【分析】根據(jù)原函數(shù)的表達(dá)式用y表示出x，再將x，y互換得原函數(shù)的反函數(shù)，則原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域．【詳解】（1）y=x3-1即xx，y互換，得y=x3-1（2）y=x此時y=x∴xx，y互換，得y=x2?（3）y=x-1∴x=yx，y互換，得y=x-1（4）y=-x-1當(dāng)-1<x<0時，y=-x-1，且y∈∴x=-y-1，x，y互換，得y=-x-1,x∈-1,0當(dāng)?0?x<1時，y=x，且y∈∴x=yx，y互換，得y=x，x∈故y=-x-1?，【點睛】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查函數(shù)的定義域及其值域的求法，明確函數(shù)的反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域是關(guān)鍵，是中檔題．【變式21】1．（2021·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y=1(2)y=5x+1；(3)y=x2（【答案】(1)f-1x=(2)f-1x=(3)f-1x=-【分析】（1）確定函數(shù)的值域為(0,+∞)即為反函數(shù)定義域，把函數(shù)式中x作為變量解方程，解出x后，然后交換x,y得反函數(shù)f-1（2）確定函數(shù)的值域為R即為反函數(shù)定義域，把函數(shù)式中x作為變量解方程，解出x后，然后交換x,y得反函數(shù)f-1（3）確定函數(shù)的值域為[0,+∞)即為反函數(shù)定義域，把函數(shù)式中x作為變量解方程，解出x后，有兩個解，根據(jù)定義域進(jìn)行取舍，然后交換x,y得反函數(shù)f-1【詳解】（1）由y=13x，得x=∴f-1x=（2）由y=5x+1，得x=y-1∴f-1x=（3）由y=x2，得∵x≤0，∴x=-y．∴f-1x【變式21】2．（2020下·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y=-25-9（2）y=x+2（3）y=【答案】（1）f-1（2）f-1(x)=3x+2【分析】通常情況下，求一個函數(shù)的反函數(shù)相當(dāng)于把y=f(x)看成關(guān)于x的方程，其中y看成常數(shù)，解出x=f-1(y)【詳解】（1）函數(shù)y=-25-9x2y=-25-9x2?y2所以該函數(shù)的反函數(shù)為f-1（2）y=x+2x-3=1+5x-3.∵∴5x-3∈-∞,-又y=1+5所以該函數(shù)的反函數(shù)為f-1（3）當(dāng)x?0時，y=x2-1?-1當(dāng)x<0時，y=2x-1<-1，則x=y+1所以該函數(shù)的反函數(shù)為f【點睛】本題考查了反函數(shù)的求解.注意，①根據(jù)反函數(shù)的定義，不是所有的函數(shù)都存在反函數(shù)，例如函數(shù)y=x2,x∈R就沒有反函數(shù).如何判斷函數(shù)y=f(x)是否存在反函數(shù)？可以通過判斷對任意函數(shù)值y是否存在唯一的自變量x與之對應(yīng).這在解方程的過程中也能體現(xiàn)出來，若由y=f(x)解得的x=f-1(y)的表達(dá)式是唯一的，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在；【變式21】3.（2022·上海市七寶中學(xué)）函數(shù)f(【答案】y【分析】利用反函數(shù)的定義求解即可【詳解】由y=x2-6x，得x所以x=3-y+9，y≥0所以故答案為：y【變式21】4．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)fx=log【答案】f-1x【分析】分x>0、x≤0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)解析式由y表示x，并求出對應(yīng)的y的取值范圍，即可得出函數(shù)【詳解】當(dāng)x>0時，由fx=log2當(dāng)x≤0時，由fx=xx-1，即y=xx-1，解得x=【變式21】5．（2021·上海市吳淞中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax+x+1(a【答案】g【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，可知y=f-1(x)的圖象向左平移1個單位得出【詳解】解：由題可知，y=f-1因為f-1(x)為f(則y=f(x)且y=f-1(x∴函數(shù)y=f(∵f∴g(故答案為：g(【例題22】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）與函數(shù)y=14xA．y=4xC．y=log1【答案】C【分析】利用函數(shù)y=ax與y=logax【詳解】因為函數(shù)y=ax與y=logax（a>0因此，與函數(shù)y=14x的圖象關(guān)于直線y=x故選：C.【變式22】1.（2019·高一課時練習(xí)）將y=2x的圖象_________，再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)y=A．先向上平移一個單位長度 B．先向右平移一個單位長度C．先向左平移一個單位長度 D．先向下平移一個單位長度【答案】D【分析】先求出函數(shù)y=log【詳解】由y=log2x+1，得x=2y因此，只需將函數(shù)y=2x的圖象向下平移故選D.【點睛】本題考查反函數(shù)解析式的求解，同時也考查了函數(shù)圖象的平移變換，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式22】2.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）與方程y=e2x-2A．y=ln(1+C．y=ln(1-【答案】A【分析】方程y=e【詳解】方程y=e2x-2由y=e2x-2因為x≥0，所以y≥0且ex-1=y，e所以反函數(shù)即所求曲線方程是y=ln故選：A．【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x，則它們互為反函數(shù)．【變式22】3.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)y=lnx是與函數(shù)A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y=x對稱【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)y=lnx是與函數(shù)y=e故選：D.【變式22】4.（2023下·云南臨滄·高二校考階段練習(xí)）設(shè)點P(a,b)(a≠0,b≠14)在函數(shù)y=A．y=log2x的圖象上C．y=2log2x的圖象上【答案】B【分析】直接利用指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)為對數(shù)函數(shù)【詳解】因為點P(a,b)a≠0,b≠14在函數(shù)y=22x的圖象上，點P所以點Q滿足的曲線為函數(shù)y=22x=故點Q在函數(shù)y=1故選：B題型3反函數(shù)求值【例題3】（2022·北京·清華附中高一期末）已知f-1(x)是函數(shù)A．0 B．1 C．10 D．100【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出f-1【詳解】因f-1(x)是函數(shù)f(所以f-1【變式31】1.（2022·北京房山·高一期末）已知函數(shù)f(x)=2xA．1 B．12 C．-1【答案】D【分析】由已知函數(shù)解析式求得x，再把x與y互換可得原函數(shù)的反函數(shù)，取x=【詳解】解：∵由y=f(x)=2x則g(【變式31】2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=gA．a(chǎn) B．a(chǎn)-1 C．b D．【答案】A【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，可得點b,【詳解】因為f(a)=b，所以點a,b在y=f(【變式31】3.（2022·云南·昆明一中）函數(shù)y=fx的圖像與函數(shù)y=3A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用反函數(shù)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】因為y=fx的圖像與函數(shù)y=3x的圖像關(guān)于直線【變式31】4．（2022·山東濰坊·高一期末）已知函數(shù)fx=log3x與gA．3 B．13 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可解.【詳解】由題知gx是fx=log3【變式31】5．（2021·吉林·長春市第二中學(xué)高一期中）已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=fA．2e2 B．2e C．1+ln2【答案】C【分析】根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)得到y(tǒng)=【詳解】解：因為函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以題型4過定點問題【例題4】（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(【答案】(3,1)【分析】首先求出原函數(shù)過定點坐標(biāo)，再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)得解；【詳解】解：函數(shù)f(x)=ax-1+2(a>0,a≠1)，令【變式41】1．（2021·云南·硯山縣第三高級中學(xué)高一期末）函數(shù)y=loga(2x-3)+4【答案】y【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出定點坐標(biāo)，再結(jié)合反函數(shù)的概念即可得出結(jié)果.【詳解】因為loga1=0，所以2x-3=1，得x=2，此時y=4，所以定點的坐標(biāo)為(2，4)【變式41】2．（2021·山東德州·高一期末）已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，函數(shù)y=ax-2+3【答案】8【分析】由圖象平移變換和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得點A坐標(biāo)，然后結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)列方程組可解.【詳解】函數(shù)y=ax-2+3的圖象可以由y=ax的圖象向右平移2各單位長度，再向上平移3個單位長度得到，故點A坐標(biāo)為(2,4)，又f(x)的反函數(shù)過點B【變式41】3.（2021·全國·高一單元測試）已知函數(shù)y=fx存在反函數(shù)y=f【答案】-1,-1【分析】由已知可得f(1)=-1，再由反函數(shù)的性質(zhì)可得f-1-1【詳解】因為函數(shù)y=fx+2的圖像經(jīng)過點（1，1），所以所以由反函數(shù)的性質(zhì)可得f-1-1=1，所以f-1-1-2=-1【變式41】4．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f-1x為函數(shù)fx的反函數(shù)，且函數(shù)fx-1【答案】1,0【分析】先求出函數(shù)fx的的圖象經(jīng)過點的坐標(biāo)，再由函數(shù)f-1x與函數(shù)f【詳解】因為函數(shù)fx-1的圖象經(jīng)過點1,1，所以函數(shù)fx的的圖象經(jīng)過點0,1，因為函數(shù)f-1x與函數(shù)fx的圖象關(guān)于y=題型5反函數(shù)含參問題【例題5】（2021·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x-【答案】-3【分析】由條件可知函數(shù)過點1,2，代入后即可求得a的值.【詳解】根據(jù)反函數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)=x-a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,1)，則函數(shù)f(x所以2=1-a，解得a=-3【變式51】1.（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知常數(shù)m∈R，若函數(shù)f(x)=【答案】0【分析】根據(jù)題中條件，得到f(x)=【詳解】因為函數(shù)f(x)=2x-m反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,2)，所以f(x【變式51】2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2+loga(x+1)（a>0【答案】1【分析】函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，則(2,1)在已知函數(shù)圖象上，代入求解【詳解】∵f(x)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=則f(x)=2+loga即loga3=-1，解得a=【點睛】函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=【變式51】3.（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)y=ax（a>0，且A．2 B．12 C．2或1【答案】B【分析】法一：求出反函數(shù)，將點代入反函數(shù)即可求解；法二：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=ax【詳解】法一：函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的反函數(shù)為y故y=logax的圖象過點法二：∵函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的反函數(shù)的圖象過點a,a，∴函數(shù)y=ax（a【變式51】4．（2021·廣東·普寧市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線A．-e B．-1e C．e【答案】D【分析】由題得f(x)=ln【詳解】解：因為函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=【變式51】5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知fx=log4x+1，y=【答案】log【分析】先求得fx=log【詳解】因為fx=log4x+1，所以f-1x=4題型6反函數(shù)的圖像【例題6】（2021·廣東·西關(guān)外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)y=lgA． B．C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)y=lg【詳解】由y=lgx+1得x+1=10y，可得x=10y-1，故函數(shù)【變式61】1．（2019·陜西·鎮(zhèn)安中學(xué)高一期中）已知函數(shù)fx=logaxa>0,a≠1A．gx=2x B．g【答案】C【分析】先根據(jù)圖象求得y=fx【詳解】由圖象可得，-1=loga2，故a=12,fx=log1故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)圖象求對數(shù)函數(shù)的解析式、對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)等，屬于基礎(chǔ)題【變式61】2．（2021·上海·高一專題練習(xí)）將函數(shù)y=log2x的圖像沿x軸負(fù)方向移動1個單位，再沿y軸負(fù)方向移動2個單位，得到圖像C，在下列函數(shù)的圖像中，與圖像A．y=2x+2+1 B．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換，結(jié)合反函數(shù)的概念及求法，即可求解.【詳解】將函數(shù)y=log2x的圖像沿再沿y軸負(fù)方向移動2個單位，得到圖像C，則圖像C的對應(yīng)的函數(shù)為y=則圖像C關(guān)于直線x-y=0【變式61】3．（2021·上海·高一課時練習(xí)）將函數(shù)y=log3【答案】答案見解析.【分析】先將函數(shù)y=log3【詳解】先將函數(shù)y=log3(x+1)的圖象向右移1個單位，得到函數(shù)y=log3(x【變式61】4.（2021·海南二中高一期末）函數(shù)y=5xA．關(guān)于y軸對稱 B．關(guān)于x軸對稱 C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y=【答案】D【分析】函數(shù)y=5x【詳解】函數(shù)y=5x與y題型7反函數(shù)的性質(zhì)【例題7】（2021·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)fx是y=ax（A．fx2C．f12【答案】B【分析】先求出反函數(shù)，再驗證每一個選項即可.【詳解】∵函數(shù)fx是y=ax（∴fx=logax（a>0，且f2f1fx【變式71】1.（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)yA．f2xC．f2x【答案】D【分析】分析得出函數(shù)fx的解析式，即可得出f【詳解】因為函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=f因此，f2【變式71】2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知函數(shù)fx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且f1=-1，若fA．f-1-1=1C．f-1-1=-1【答案】AB【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為f1=-1，且fx在定義域內(nèi)是增函數(shù)所以由反函數(shù)的定義及性質(zhì)可知，f題型8反函數(shù)定義域【例題8】（2023上·高一課時練習(xí)）函數(shù)fx與函數(shù)gx互為反函數(shù)，若fx=1A．0,+∞ B．R C．0,1 D．【答案】C【分析】利用反函數(shù)的定義計算fx【詳解】∵當(dāng)x∈0,+∞時，∴函數(shù)fx=12x又fx與g故gx的定義域為0,1故選：C.【變式81】1．（2023上·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)fx=logA．1,+∞ B．3,+∞ C．0,+【答案】D【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，先求出原函數(shù)的值域，即可得出答案.【詳解】∵3∴3log3則fx的值域為2∵反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，∴反函數(shù)y=f-1x故選：D.【變式81】2.（2022上·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域為1,+∞，則函數(shù)A．2,3 B．-2,3 C．-2,3 D．0,3【答案】A【分析】Fx的定義域為y=f【詳解】由題可知，2x-3>13-x≥0?x>2故選：A．【變式81】3.（2023上·廣西·高一廣西壯族自治區(qū)百色高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=log3【答案】1,4【分析】求得原函數(shù)的值域，即可得出反函數(shù)的定義域.【詳解】當(dāng)3≤x≤81時，y=log3x所以反函數(shù)的定義域為x∈1,4故答案為：1,4．【變式81】4.（2023上·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考期末）函數(shù)fx=log【答案】0,+【分析】反函數(shù)y=f-1x【詳解】∵3x+1>1，∴∴函數(shù)fx=log∵y=f-1x∴y=f-1x故答案為:0,+題型9反函數(shù)的值域與最值【例題9】（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)f(x)=log2(1x+A．(-∞,-12C．(-∞,-2)∪(2,+∞) D．(-2,2)【答案】A【分析】先求出f(x)的定義域，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，從而得到f【詳解】因為f(x)=log2(1所以f(x)的定義域為{x|x<-a-1或x>-a}，因為f(x)是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，所以-a-1=a，解得a=-12故選：A.【變式91】1.（2021·上海·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(（1）求y=f(（2）若(7,2)是y=f-1【答案】（1）{y|y【分析】（1）求原函數(shù)的定義域即可得出結(jié)果.（2）由題意可得點(2,7)在函數(shù)y=f(【詳解】（1）y=f-1(x所以反函數(shù)y=f-1（2）由題知點(2,7)在函數(shù)y=f(x)從而得到值域為{y【變式91】2.（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末）已知y=f-1(x)是【答案】3【分析】首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，即可得到反函數(shù)的定義域，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性得到反函數(shù)的單調(diào)性，即可得到y(tǒng)=【詳解】解：因為y=f(x)=2x+x在所以y=f-1(x)的定義域為所以y=f-1(x)在因為f0=1，所以f-11【變式91】3．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若f(x)=2x的反函數(shù)為fA．2 B．12 C．13【答案】B【分析】先求解出反函數(shù)并根據(jù)條件得到a,b的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式求解出【詳解】因為y=ax又因為f-1a+f-1b=4又1a+1b=a+【變式91】4．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=loga(1)求實數(shù)a的值；(2)g(x)=f(x2【答案】(1)a=2；(2)x=22時g(x【分析】（1）由反函數(shù)的性質(zhì)得f(2)=1，即可求a（2）由題設(shè)可得g(x)=(log2x-1)((1)因為f-1(1)=2，則f(2)=log(2)由題設(shè)，g(令t=log2x且x∈[當(dāng)t=32時g(x)min=-1題型10反函數(shù)與單調(diào)區(qū)間【例題10】（2022上·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=12x，函數(shù)y=gx的圖象與A．0,1 B．1,+∞ C．-∞【答案】A【分析】先由反函數(shù)的性質(zhì)得到gx=log12【詳解】因為fx=12x，y=g所以gx=log令-x2+2x>0令t=-x2+2x，則函數(shù)t=-所以t=-x2+2x在0,1又gt在0,+所以y=g-x2故選：A.【變式101】1.（2019上·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)統(tǒng)考期中）若函數(shù)y=f(x)與y=10x互為反函數(shù)，則A．(2,+∞) B．(-∞,1) C．(1,+∞) D．(-∞,0)【答案】D【分析】由題可先求出y=f(x)表達(dá)式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，求解單調(diào)減區(qū)間即可【詳解】∵函數(shù)y=f(x)與y=10x互為反函數(shù)，∴則y=fx2-2x=lgx2-2x，根據(jù)同增異減的性質(zhì)，可設(shè)f故選D【點睛】本題考查由反函數(shù)性質(zhì)求解析式，復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，屬于中檔題【變式101】2．（2022上·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀┮阎瘮?shù)y=fx是函數(shù)y=(1)求函數(shù)y=fx(2)判斷函數(shù)y=fx【答案】(1)f(x)=log3x+1(2)單調(diào)遞增；證明見解析；【分析】（1）根據(jù)條件可得x=log（2）易得：y=f(x)在(-1,1)單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案；【詳解】（1）∵y=3∵y+11-y>0，∴∴y=f(x)=log3x+1（2）易得：y=f(x)在(-1,1)單調(diào)遞增；任取x1,x∵f∵x1+1<x2∴l(xiāng)og3x1∴y=f(x)在(-1,1)單調(diào)遞增.【變式101】3.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-1x+12（1）求y=f（2）判斷y=f（3）設(shè)g(x)=1f-1【答案】（1）f-1(x)=1+x1-x，x∈(0,1)；（2）f-1【分析】（1）由反函數(shù)的定義，將x用y表示出來，再交換x與y的位置即可得到反函數(shù)；（2）由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）易得g(x)=2【詳解】（1）由y=x-1x+12（x>1∴x=y+11-當(dāng)x>1時，x-1x+1=x+1-2x+1∴f-1(x)=1+（2）設(shè)0<xf==2(即f-1x1<f（3）g(x)=1當(dāng)21+x=x+1【點睛】本題考查反函數(shù)的求法，考查定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式求最值，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.【變式101】4.（2017上·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┮阎瘮?shù)fx=x-4（1）求函數(shù)fx的反函數(shù)（2）判斷f-1（3）解不等式：2【答案】（1）f（2）f-1（3）x∈【分析】（1）y=x-4（2）由（1）可知f-1（3）2x-4【詳解】（1）y=x-4x=y±y2∴x=y-所以函數(shù)的反函數(shù)是f-1（2）f-1設(shè)x1<x=x=x=x=x=x∵x∴x1-x2同理x2∴f∴f（3）2x即2x+2>4得：4x解得：2x∴x>log∴不等式的解集是log【點睛】本題考查了反函數(shù)的求解，單調(diào)性的證明，以及指數(shù)不等式的解法，屬于中檔題型，第一小問由于x是負(fù)數(shù)，故在反解時取小根，第二問證明中需要用到分子有理化的技巧，第三問化簡為2x【變式101】5.（2021下·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-1（1）求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1（2）判斷并證明f-1【答案】（1）f-1(x)=1+x1-x，定義域為【分析】（1）利用反函數(shù)的定義以及函數(shù)值域的求法即可求解.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可求解.【詳解】（1）解析：∵x≥1，開平方得x-1x+1整理得x=1+∴f-1(x)=1+（2）f-1(x)在區(qū)間任取x1,x則f===2因為1-x2>0，1-所以f-1x【變式101】6.（2021上·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx是函數(shù)y=ax（a>0且a≠0(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx（i）寫出函數(shù)gx（ⅱ）求gx在區(qū)間t,t+1（其中t∈R且t>0）上的最小值ht【答案】(1)f(2)（i）函數(shù)gx在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，在區(qū)間2,+∞上是增函數(shù)；（ⅱ）ht【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)fx=log（2）（ⅰ）首先去絕對值，寫成分段函數(shù)形式，再根據(jù)函數(shù)的解析式，直接判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，討論t的取值，分別求函數(shù)的最值.【詳解】（1）由題意得fx=logax，且log（2）g（i）函數(shù)gx在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，在區(qū)間2,+（ⅱ）當(dāng)0<t<t+1≤2時，即t≤1時，htHt當(dāng)t>2時，ht=gt當(dāng)t≤2<t+1時，即1<t≤2時，hxg當(dāng)1<t≤17-12當(dāng)17-12<t≤2綜上，ht=1-題型11奇偶性相關(guān)問題【方法總結(jié)】判斷函數(shù)fx（1）先分析fx的定義域，若fx定義域不關(guān)于原點對稱，則fx為非奇非偶函數(shù)，若f（2）若fx=f-x，則fx【例題11】（2022·上海徐匯·統(tǒng)考三模）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=ax【答案】b≤-1或b≥0.【分析】先求出f(x)的解析式，若f(x)存在反函數(shù)，則f(x)在每段單調(diào)且各段值域無重合，計算得解.【詳解】當(dāng)x<0時，-x>0，f(-x)=a-x+b，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-a-x-b，即若f(x)存在反函數(shù)，則f(x)在每段單調(diào)且各段值域無重合，當(dāng)x>0,f(x)=ax+b∈(b,b+1)，x<0,f(x)=-所以b≥0≥-b或b+1≤0≤-1-b所以b≤-1或b≥0.故答案為：b≤-1或b≥0.【變式111】1．（2020下·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=12x(x>0)，函數(shù)y=g(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，有【答案】g(x)=【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義求出f-1(x)=log12x，得到0<x<1時，g(x)的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到【詳解】因為f(x)=12x所以當(dāng)0<x<1時，g(x)=log因為g(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)，所以x=0時，g(x)=0，當(dāng)-1<x<0時，0<-x<1，所以g(x)=-g(-x)=-log所以g(x)=-【點睛】本題考查了求反函數(shù)的解析式，考查了根據(jù)奇函數(shù)求函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.【變式111】2．(多選)（2021上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=2x，其反函數(shù)f-1x滿足f-14=aA．a(chǎn)=2B．當(dāng)x∈-∞,0時，C．若xgx<0D．函數(shù)gx在(-∞,0)【答案】AC【解析】對A，由fa=4可求；對B，根據(jù)x∈0,+∞時的解析式結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)即可求出；對C，分x<0和x>0兩種情況根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解；對D，由y=3+x-【詳解】∵f-14=a，∴fa=4∵當(dāng)x∈0,+∞時，g則當(dāng)x∈-∞,0時，-x∈0,+∞，∵gx是奇函數(shù)，∴g若xgx<0，則當(dāng)x>0時，gx<0，即23-x-x2當(dāng)x<0時，gx>0，即2-23+x-x2>0∴若xgx<0，則當(dāng)x∈-∞,0時，gx=2-23+x-x2，∵y=3+x-x2在-∞,0單調(diào)遞增，則y=23+x-故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵根據(jù)奇函數(shù)求出函數(shù)解析式，即可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【變式111】3.（2021·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=a?（1）求a的值；（2）求fx的反函數(shù)f【答案】（1）a=1；（2）f-1x=【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得實數(shù)a的值；（2）由（1）得出fx=2x-12x+1，即y=2【詳解】（1）因為fx是R上的奇函數(shù)，所以，f即a?2-x-1（2）由（1）得fx=2所以2x+1y=2x-1，所以2x所以f-1x=【變式111】4.（2021上·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=a?ex（1）求a的值，并求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1（2）若k為正實數(shù)，解關(guān)于x的不等式f-1【答案】（1）a=1，f-1(x)=ln1+x1-x，x∈(-1,1)；（2）當(dāng)0<k<2，x∈(1-k,1)【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，由f(0)=0求出a，再驗證即可確定a的值，得到函數(shù)解析式，從而可得反函數(shù)的解析式；（2）由（1），結(jié)合所求不等式，得到x+11-x【詳解】（1）因為函數(shù)f(x)=a?ex所以f(0)=a-12=0，則a=1，此時f(x)=ex-11+令y=ex-11+ex，則y+y?e則y+11-y=ex>0，所以-1<y<1，則x=lny+1（2）由（1）可得f-1所以不等式f-1(x)>ln因為對數(shù)函數(shù)y=ln則x+11-x>1+x所以當(dāng)0<k<2時，1-k<x<1；當(dāng)k≥2時，-1<x<1，綜上，當(dāng)0<k<2，x∈(1-k,1)；當(dāng)k≥2，x∈(-1,1)．【點睛】思路點睛：求解含參數(shù)的對數(shù)型不等式問題時，一般需要先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，將原不等式化簡，再討論參數(shù)的取值范圍，即可分別求解.【變式111】5.（2020上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=ex-ae-x（I）求函數(shù)f(x)的解析式；（II）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明．【答案】（I）fx【分析】（1）先根據(jù)f-1(x)的圖象過點P32,ln2判斷出fx的圖象所過的點Q，將點（2）先判斷定義域，然后根據(jù)f-x與fx的關(guān)系可判斷出【詳解】（1）因為f-1(x)的圖象經(jīng)過點P32,所以eln2-ae-所以fx（2）fx因為fx=ex-所以fx【點睛】思路點睛：判斷函數(shù)fx（1）先分析fx的定義域，若fx定義域不關(guān)于原點對稱，則fx（2）若fx=f-x，則fx為偶函數(shù)；若題型12反函數(shù)取值范圍相關(guān)問題【例題12】（2021·高一課時練習(xí)）若函數(shù)y=x+4x在A．(1,4) B．(0,2] C．(2,4] D．[2,+∞)【答案】B【分析】若函數(shù)y=x+4x在x∈(0,a)上存在反函數(shù)，則函數(shù)y=x+4x在x∈(0,a)上單調(diào)即可，則【詳解】解：若函數(shù)y=x+4x在則函數(shù)y=x+4x在又因為函數(shù)y=x+4x在0,2上遞減，在所以0,a?0,2，所以a∈(0,2]故選：B.【變式121】1．（2023上·上海·高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在-1,2上的函數(shù)y=lgx+a不存在反函數(shù)，則實數(shù)【答案】-1,2【分析】由題意函數(shù)y=lgx+a在-1,2上不存在反函數(shù)，即函數(shù)在區(qū)間-1,2上不是單調(diào)函數(shù)，由此得出【詳解】由題意當(dāng)x+a=1時，x=1-a，若函數(shù)y=lgx+a在則-1<1-a<2，所以-1<a<2.故答案為：-1,2.【變式121】2．（2021下·上海寶山·高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)y=x2+(a-4)x+3-a，x∈[0,1]【答案】(2,4)【分析】由已知可得函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性建立不等式即可求解．【詳解】因為函數(shù)y=x2+(a-4)x+3-a，x∈[0則函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，又函數(shù)的對稱軸為x=4-a所以0<4-a2<1故答案為：(2,4)．【變式121】3.（2017下·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)f(x)=|x|-1+ax(x∈R)存在反函數(shù)，則a的取值范圍為.【答案】a>1或a<-1【分析】將fx表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)存在反函數(shù)的條件：函數(shù)fx為一一對應(yīng)，對a進(jìn)行分類討論，由此求得【詳解】依題意fx當(dāng)a<-1時，fx=a+1x-1x≥0為單調(diào)遞減函數(shù)，fx=當(dāng)a=-1時，fx=-1,x≥0-2x-1,x<0，當(dāng)-1<a<1時，fx=a+1x-1x≥0為單調(diào)遞增函數(shù)，fx=當(dāng)a=1時，fx=2x-1,x≥0-1,x<0，當(dāng)a>1時，fx=a+1x-1x≥0為單調(diào)遞增函數(shù)，fx=綜上所述，a的取值范圍是a>1或a<-1.故答案為：a>1或a<-1【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查反函數(shù)的概念，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.【變式121】4.（2017上·上海楊浦·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)f(x)=ax+1-2（a>0且a≠1），設(shè)f-1(x)是f(x)【答案】a≥2【分析】先由題意，求出反函數(shù)f-1x=loga(x+2)-1，根據(jù)【詳解】由y=ax+1-2得x=loga則f-1x=當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f-1當(dāng)a>1時，函數(shù)f-1因此只需f-10=故答案為：a≥2.【點睛】本題主要考查反函數(shù)的應(yīng)用，熟記對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及反函數(shù)的概念即可，屬于常考題型.題型13反函數(shù)與不等式【例題13】（2016上·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax（a>0且a≠1）滿足f2>f3，若y=【答案】1,【解析】由函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1），f(2)>f(3)，得出0<a<1，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，求得f-1【詳解】由題意，函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1）滿足f(2)>f(3)，所以函數(shù)f(x)=a又由y=f-1(x)是y=f(x)所以函數(shù)f-1(x)=log則不等式f-1(1-1x)>1解得1<x<11-a，即不等式的解集為故答案為：1,1【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題.【變式131】1．（多選）（2022·遼寧營口·高一期末）（多選）已知函數(shù)f(x)=ax(a>1)，其反函數(shù)為A．-1 B．12 C．23【答案】BC【分析】由題可得logat<1-【詳解】∵函數(shù)f(x)=∴y=f-1(x∴l(xiāng)oga當(dāng)t≤0當(dāng)0<t<1時，logat<0,0<1-t當(dāng)t=1時，log當(dāng)t>1時，log【變式131】2．（2022上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的反函數(shù)，f(5)<f(6)，且f(x)(1)求a的值；(2)解關(guān)于x的不等式f(2x)<f(1-x)．【答案】(1)2(2){【分析】（1）求反函數(shù)，確定單調(diào)性及最值，建立方程即可.（2）在（1）的條件下，由單調(diào)性及對數(shù)有意義列不等式組得解.【詳解】（1）因為f(x)為函數(shù)y=ax的反函數(shù)，所以f(x)=logax，由f(5)<f(6)可得loga5<所以f(x)min最大值與最小值之差為1可得loga2a-1=1，所以∴a2=2a

即（2）由（1）知a=2，即f(x)=log2解得：0<x<13【變式131】3．（2022上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=ax（a>0且a≠1），(1)若gx在區(qū)間1,2上的最大值與最小值之和為2，求a(2)解關(guān)于x的不等式gx【答案】(1)2(2)分類討論，答案見解析.【分析】（1）由題知gx=logax（2）結(jié)合（1）得logax≤loga2-3x【詳解】（1）解：∵函數(shù)fx=ax（∴gx當(dāng)0<a<1時，依題意得loga1+log當(dāng)a>1時，依題意得loga2+log故滿足條件的a的值為2．（2）解：由題知gx∴gx-log當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax即0<x≤2-3x，解得0<x≤1當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y=logax即0<2-3x≤x，解得12綜上可得，當(dāng)a>1時，原不等式的解集為0,1當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為12【變式131】4.（2011上·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)f(x)=a?·?2（1）求實數(shù)a，（2）解關(guān)于x的不等式f【答案】解：(1)奇函數(shù)f(x)=a?·?2所以{f(1)=-3?2a+b(2)由(1)知，f(x)=2x解不等式f-1(x)=【詳解】解：(1)奇函數(shù)f(x)=a?·?2所以{f(1)=-3?2a+b(2)由(1)知，f(x)=2x解不等式f-1題型14反函數(shù)與零點結(jié)合【例題14】（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+x-π【答案】π【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)分析可以得到結(jié)果.【詳解】afx1=a令gx2=所以x1，x2分別為y=ex因為y=ex和y=lnx互為反函數(shù)，所以y=ex和y=lnx的圖像關(guān)于y=x對稱，所以A、B兩點關(guān)于故答案為：π【變式141】1.（2021·陜西安康·高一期中）若實數(shù)a、b滿足2a=2-a，log【答案】3【分析】a可視為直線y=2-x與函數(shù)y=2x的圖象交點A的橫坐標(biāo)，b-1可視為直線y=2-x與函數(shù)y=log2【詳解】因為2a=2-a，則a可視為直線y=2-x因為log2b-1=3-b=2-b-1，則如下圖所示：聯(lián)立y=xy=2-x，解得x=y易知直線y=x與直線因為函數(shù)y=log2x與函數(shù)則A、B兩點關(guān)于直線y=x對稱，線段AB的中點為M，所以，a+故答案為：3.【變式141】2.（2019·云南省玉溪第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)y=10x的反函數(shù)為f（1）求F(x)（2）設(shè)a∈R，求函數(shù)【答案】(1)F(x)=lg(1+【分析】(1)先求出y=10x的反函數(shù)，從而得到f(x)的表達(dá)式，進(jìn)而得到F(x)=lg(1+x【詳解】（1）f(x)=lg解不等式組1+x>01-x>0（2）函數(shù)y=F(F(x)=lg(1-因為x∈(-1,1)，所以1-所以F(x)∈(-∞,0]，即F若a>0若a=0，則lg(1-x2)=0，所以若a<0，則lg(1-x2)=a綜上所述：若a>0，則y若a=0，則y=F若a<0，則y=F【點睛】本題考查了反函數(shù)知識，考查了函數(shù)解析式的求法，考查了函數(shù)的定義域，考查了函數(shù)零點問題，屬于中檔題．題型15有解問題【例題15】（2019·山東寧陽縣一中高一階段練習(xí)）關(guān)于x的方程(1A．0≤a<1 B．1≤a<2【答案】B【詳解】(14)x+a-2=0有解等價于a=2-(14)x【變式151】1．（2017·上海松江·高一期中）若關(guān)于x的方程lg(x2+ax)=1【答案】[-3,9]【分析】關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，?a＞(2【詳解】∵關(guān)于x的方程lg(x∴a=10x-∵函數(shù)f（x）=10x-∴當(dāng)x＝5時，函數(shù)f（x）取得最小值-3．當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取得最大值9．又x2+ax＞0在區(qū)間[1，5]上有解，即a＞-x在區(qū)間[1，5]上有解，∴a＞-5，∴實數(shù)a的取值范圍為[-3，9]．故答案為[-3，9]．【點睛】本題考查了對數(shù)方程的有解問題，涉及函數(shù)的單調(diào)性、分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【變式151】2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(x)，記g(I)={y|y=g(x),x【答案】2【詳解】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)∈(2,4]；x∈[1,2)時，f(x)∈[0,1)，而y=f(x)的定義域【考點定位】考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)與方程，零點的相關(guān)知識，屬綜合性難題．【變式151】3.（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的反函數(shù)為y(1)若f-1x-(2)若關(guān)于x的方程fx+f【答案】(1)23(2)【分析】（1）先求得函數(shù)的反函數(shù)，再利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解；（2）將關(guān)于x的方程fx+f1-x=m在區(qū)間0,1內(nèi)有解，2(1)解：因為函數(shù)y=fx的反函數(shù)為y=f-1x，且fx=(2)因為關(guān)于x的方程fx+f1-x=m令gx=2x+21-又y=t+2t在1,2上遞減，在2,2所以當(dāng)x=12時，gxmin所以實數(shù)m的取值范圍是22【變式151】4．（2021·安徽·合肥一六八中學(xué)高一期末）已知函數(shù)fx=x2+bx+c滿足f1+x=f1-（1）求函數(shù)fx，g（2）若方程fgx-gm【答案】（1）fx=x2-2【解析】