新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊學(xué)案：第4章42

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4.2.2對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

課程1.理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)2.知道川換底公式能將一般對數(shù)*化成自然對數(shù)或常川對數(shù)

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

1,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0，且ag,M>0,N>0,nGR,那么

⑴積的對數(shù)：loga（MN）=logaM+log;,N；

M

⑵商的對數(shù)：10ga癡=②aMTO&N；

n

⑶幕的對數(shù)：logaM=nlo%M.

2.換底公式

logaN=^^_（a>0，且；N>0；c>0,c^l）.

自我小測

1.下列式子中成立的是（假定各式均有意義）（）

A.logax-logay=loga（x+y）

n

B.(logax)=nlogax

C?粵^=loga版

D.鬻=10gaX-10gay

選C.根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，c正確.

2.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足log2a=log3b=log6c,則（）

A.a=bcB.b2=ac

C.c=abD.c2=ab

選C.設(shè)log2a=log3b=log6c=k,

則a=2卜，b=3k,c=6k,所以c=ab.

【誤區(qū)警示】本題容易忽視設(shè)出log2a=log3b=log6c=k,導(dǎo)致無法表

出a,b,c.

3.（教材二次開發(fā)練習(xí)改編）已知xlog32=1,則2x+2-x的值是（）

810

A.1B.3C.o口.至

選D.因?yàn)閤log32=1,所以x=log23,

所以2X+2-x=210g23+2-logoS=3=學(xué).

4.Iog227-logs4=；Iog23-log3104g8=.

32

log227-log34=log23-log32=（31og23）-（21og32）=6.

IQI皿<lg3IglOlg8lg8

log23.log310.lg8=lg2-lg3-lgl0=lg2=log28=3.

答案：63

5.(I)log225-log24=；

(2)log28=.

25(4A

(l)log225-log21=log2|^25x—J=log24

=log?22=210g22=2.

(2)log28=logi23=31og22=3.

答案：⑴2(2)3

6.(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)

若Inx=21na-；Inb,則x=.

1--

因?yàn)镮nx=21na-jInb=Ina2b3,

_I

所以x=a2b§-

答案：a2bl

Ig3+21g2-1

7.求值：

lgl.2

1g3+21g2-11g3+1g22-1

Igl2=igl2

12

lg12-1lgW1g1.2

一lg1.2-lg1.2~lg1.2—

份學(xué)情診斷?課時(shí)測評《

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1.logd+1)(3-2啦)等于()

A.-2B.-4C.2D.4

選A.因?yàn)?-2^2=2-2^2+1=(^2)2-2^2+12=(^2-1)2=

=(&+1)-2.

所以10gM+i)(3-2\[2)=logM+M啦+1廠2=-2.

2.—+等于()

loSiQ1嗚弓

45

A.1g3B.-1g3C.看1

D?-\~~Q

lg3

選C.原式=log]!+logi|

93

1

=log94+log35=log32+log35=log310=ig3.

3.(2020?全國I卷)設(shè)alog34=2,則4-a=()

1111

-B-c-D-

6986

a

選B.由alog34=2可得log34a=2,所以4=9,

所以有4-a=J.

蜀【加固訓(xùn)練】

已知4a=2,1gx=a，則x=()

A.；B.^/ToC.10D.1

選B.因?yàn)?a=2,所以a=；，因?yàn)閘gx=a=；，則x=Vl^.

4.（2021?鄭州高一檢測）已知a=log23,b=log25,則log415=（）

A.2a+2bB.a+b

C.abD.；a+gb

選D.k）g415=；Iog215（log23+log25）=a+gb.

5.太陽是位于太陽系中心的恒星，其質(zhì)量M大約是2x103。千克.地

球是太陽系八大行星之一，其質(zhì)量m大約是6x1024千克.下列各數(shù)

中與就最接近的是（）

（參考數(shù)據(jù)：1g3-0.4771,1g6-0.7782）

A.10-5519B.10-5521

C.10-5.523D.10-5.525

選c.由題意可得就=3x10-6,

所以1g郎=lg3+lgIO-6=0.4771-6

=-5.5229--5.523,

Q

6.（2021?龍巖高一檢測）已知2X=3,log4g=y，則x+2y=（）

A.3B.8C.4D.log48

Q

選A.因?yàn)?X=3,所以x=log23.又Iog4g=y,

8

所以X+2y=log23+210g4w=log23+2（log48-log43）=log23+

2^|log22-30g23）=log23+3-log23=3.

7.已知Iog3x=m,log3y=n,則log3用m,nqj表示為（）

vy^/y

1421

A./m-gnB.1m-gn

C.D.m-|n

選=log3^/x-bgNy/

J11

2

=log3x2-log3（y-y3）

12

=2log3X-3log3y

12

=2m-qn.

8.（多選）（2021?濰坊高一檢測）若10a=4,10b=25〃!J（）

A.a+b=2B.b-a=1

C.ab>81g22D.b-a<1g6

選AC因?yàn)?0a=4,10b=25,

所以a=1g4,b=1g25,所以a+b=1g4+1g25=1g100=2,故A選

項(xiàng)正確，

25_

b-a=1g25-1g4=1ga>1g6,故B,D選項(xiàng)不正確,ab=21g2x21g

5=41g2-lg5>41g2-lg4=81g22,故C選項(xiàng)正確.

9.logm2=a,logm3=b，則n^+b的值為（）

A.6B.7C.12D.18

ab2a+b2ab

選C.因?yàn)閘ogm2=a,logm3=b,所以m=2,m=3,m=mm

=（ma）2mb=22X3=12.

二、填空題

10.計(jì)算：2」+1g100Tn,=.

原式+2=2.

答案：2

三、解答題

11.已知3a=5b=c,4+（=2,求c的值.

ab

因?yàn)?=5=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,

所以:=logc3,（=logc5,所以:+|=logc15.

由logJ5=2得c2=15,即c=灰（負(fù)值舍去）.

12.（2021.鄭州高一檢測）計(jì)算以下式子的值：

(I)21g2+lg25；

*12

(1-log63)+log62-log618

(2).

(1)原式=lg4+lg25=lg(4x25)=lg100=2.

2

(log66-log63)+log62-log618

⑵原式=----------W2-------------

(log62)」+Iog621og618

-210g62

log62(Iog62+k>g618)

-210g62

log36

=26=L

綜合突破練

一、選擇題

1.(Iog29>(log34)等于()

A.；B.；C.2D.4

選D.(log29)?og34)=翟?曙=4.

2.如果(13.2)a=1000,(0.0132)b=1000,那么:-(的值是()

A.1B.2C.3D.4

選A.因?yàn)?13.2尸=1000,(0.0132)b=l000,所以a=logi3.21000,b

=logo.01321000,

所以1=log]oooB.2,(=logioooO.O132,

所以:~b=logl。。。13.2-log,oooO.O132

13.2

=logloo()QQ132=l°gi00()1000=1.

3.(2019?北京高考)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度

5P,

來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m-=y1g,其中星等為

2miZ口2

mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星

等是-L45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.1010-1B.10.1C.1g10.1D.10-|()J

選A.令mi=-26.7,m2=-1.45,

則m2-m產(chǎn)-1.45-(-26.7)=25.25

5,Ei

二2電瓦，

所以1g旨=10.1,則移=10101.

二、填空題

4.設(shè)實(shí)數(shù)x滿足0<x<l,且logx4-log2x=1,貝！Jx=

2

因?yàn)閘ogx4=210gx2=.

所以logx4-log2X=遍1-log2x=1,

2

SP(log2X)+log2x-2=0,

解得：10g2x=-2或log2x=1,

所以x=1或x=2.因?yàn)?<x<l,所以x=".

林景--

口木,4

5.已知lga+b=3,ab=100，則alg2-b=.

Iga+b=3,a=103'b,

又因?yàn)閍b=100,所以l(F-b)b=io。，“3-b)=2,

所以b=l或2,a=100或10,

所以a'82.b=1021g2.1=4或a愴2.b=1O'82-2=2x2=4.

答案：4

21g4+lg9

6.(2021.南陽高一檢測)~~j--------j一=________.

1+]lg0.36+gig8

—2(lg4+lg3)

原式二

l+lg^/036+lgA/8

------2-1-g--1-2----zz------2-1-g--12----—)

-1+lg0.6+lg2-lg(10x0.6x2)

答案：2

ab

7.(2021.杭州高一檢測)已知3=4,b=log23,貝！]ab=；4

a

因?yàn)?=4,b=log23,

所以a=log34,

所以ab=Iog34-k)g23=得=2.

4b=41og23=41og49=9.

答案：29

三、解答題

8.計(jì)算下列各式：

(l)(log32+log92)(Iog43+log83)+210g25；

(2)21g5+y1g8+1g5-lg20+lg22.

(l)(log32+log92)(log43+log83)+210g25

1^3r]+nri+n

"lg3-lg2V+2)\2+3)

2c

(2)21g5+3lg8+lg5-lg20+lg22

2,c

=21g5+g1g23+1g54g(4x5)+Ig22

=21g5+21g2+21g54g2+lg25+lg22

=2(lg5+lg2)+21g51g2+lg25+lg22

=2+(1g5+1g2)2=2+1=3.

教師

專用【加固訓(xùn)練】

.7

計(jì)算：(l)log535-210g+log57-log51.8；

(2)log2^/^+log212log242-1.

9

(1)原式=log5(5x7)-2(log57-log53)+log57-log55=log55+log57-

210g57+21og53+log57-210g53+log55=2.

(2)原式=log2^^+Iog212-log2V42-log22

,Sxl2._1_.3

=1Og2^48x^42x2=1Og2^2=1Og22"一"

9.2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主、英國著名數(shù)

學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的

震動(dòng).在1859年的時(shí)候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論

小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼

猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)問題，并得到小于

數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為兀(x)。的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得

111A

出的結(jié)論，試估計(jì)1。00以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù).

(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，Ig80.43429,計(jì)算結(jié)果取整數(shù))

【思路導(dǎo)引】根據(jù)素?cái)?shù)計(jì)算公式，利用換底公式計(jì)算.

由題意可知：＜1000戶］,黑°

1000,1000

=-3-lge=^~xO.43429=145.

所以根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)1000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為145.

》素養(yǎng)培優(yōu)練《

（60分鐘100分）

一、選擇題（每小題5分，共45分，多選題全部選對的得5分，選對

但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

1,若實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足方程=8丫+1和9y=-9,則x+y的值為

（）

A.18B.24C.21D.27

選D.由實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足方程2x=8丫+1和9y=-9,

Hx=23（y+1）,[x=3y+3,

可得，即，解得x=21,y=6,所以x+y

[32y=3X-9,[2y=x-9,

=27.

2.對于一切不等于1的正數(shù)x,則康+康+康等于（）

A________!________

"10g3X-10g4X-10g5X

□,logx60

log3X+log4x+log5x

D?康

選D.由題意，根據(jù)對數(shù)的換底公式，可得康+忘+康=

logx3+logx4+logx5

=10^(3x4x5)=10^60=^?

3.已知a+a」=3,下列各式中正確的個(gè)數(shù)是()

①a?+a-之=7；②a，+a-3=18；

(3)a2+a-;二±A/5；④a/+志=2下.

A.1B.2C.3D.4

選C.①a?+a-2=(a+a_|)2-2=9-2=7,正確；

②a，+a-3=(a+a-i)(a?-1+a_2)=3x(7-1)=18,正確；

lil.

③因?yàn)閍+a-1=3可知a>0,a2+a-->0,(a2+a*")2=a+2+a-1

=5,所以a2+a%=木,故錯(cuò)誤；

i331,

④a*+~『=a2+a'7=(a2+a-2)(a-l+a*')=-\/5(a-l+a-1)

」a

=24,正確.

4.設(shè)7a=8b=k,且;+|=1/貝(Jk=()

A.15B.56C.77D.T7

ab

選B.因?yàn)?=k,所以a=log7k.因?yàn)?=k,所以b=log8k,所以1+

6=logk7+logk8=logk56=1,所以k=56.

5.設(shè)a,b>0,若a+4b=1,則log2a+log2b的()

A.最小值為-2B.最小值為-4

C.最大值為-2D.最大值為-4

選D.因?yàn)閍,b>0,且a+4b=1,

所以由基本不等式得a+4b>2Va4b,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)，等號(hào)成立,

所以abS^,

所以log2a+log2b=log2(ab)<log2]^=-4.

6.已知ab=-5,則ayj-:+byj-的值是()

A.24B.0C.-2^5D.±2小

選B.因?yàn)閍b=-5,所以a與b異號(hào)

bab

所以江

ab=a"—a2+

ab

b吊+=0.

|a|

(0.5(10^12

7”司+(-1)」+0.75-2+12制X=()

994

A-BC-D

4-4-9-

⑼2x0.5

選A.原式=日9__9

16+16=4-

8.(多選)下列等式不成立的是()

A.Ine=1

B.log3l=0

C.=a--

秘

2

D.log2(-5)=210g2(-5)

選CD.根據(jù)對數(shù)式的運(yùn)算，可得Ine=1,log3l=0,故A,B成立；

12,,

由根式與指數(shù)式的互化可得---二a-，，故C不成立；log2(-5>=

2

log25=210g25,故D不成立.

9.侈選)已知a,b均為正實(shí)數(shù)，若logab+logba=|,ab=ba,!3!]^=

()

A.；B.乎C.爽D.2

選AD.令t=logab，則t+；=j,

所以2t2-5t+2=0,(2t-l)(t-2)=0,

所以t=1或t=2.所以logab=；或logab=2.所以a=b?或a?=b.因?yàn)?/p>

ab=ba,所以2b=a=b?或b=2a=a?.

所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以1=2或1.

二、填空題（每小題5分，共15分）

xX

10.已知方程loga(5-3)=x(a>0,a，l),若2是方程的一個(gè)解，則a

=；當(dāng)a=2時(shí)，方程的唯一解是_______.

22

若2是方程的一^解，則loga(5-3)=2,即loga16=2,a2=程，由

于a>0,aWl,所以a=4.

xxXXXXXX

當(dāng)a=2時(shí)，方程化為log2(5-3)=x,即2=5-3,2+3=5,

顯然x=1是方程的解.

答案：41

-----------------1

11.計(jì)算：2°+\j(1-^2)2-86=.若10x=2,10丫=3,

則102

2。+1(1-也)2-86=1+|1卜⑵)4=1+72-1-^2

3x-yi

(iox)§2祈

3xy

=0；102=(10-)2=3=3

答案：o半

12.計(jì)算-0.5-2+1g25+21g2=

10+^216-0.5-2+lg25+21g2=1+6-4+2=5.

答案：5

三、解答題(每小題10分，共40分)

13.(2021.南昌高一檢測)求下列式子的值:

Ig3+21g2-1

(2)log49-log38+Ine2+1g0.01+51+logs3.

lg3+lg4-lgl0_1^12

⑴原M-怛12-lg1.2一L

(2)原式=61og43-log32+2-2+5-3=3+15=18.

2

14.閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式左一的

小+1

運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡：

一、+22(73-1