廣東省省際名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

廣東省省際名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．2．已知，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量X的分布列表如下表，且隨機(jī)變量，則Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．4．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．等差數(shù)列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．26．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（）.A．1 B．2 C．3 D．7．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理，化學(xué)，其中語(yǔ)文和英語(yǔ)必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．248．已知向量，，若，則()A． B．1 C．2 D．9．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為（）A．2B．3C．1D．210．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．11．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為“鱉臑”.那么從長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則這四個(gè)頂點(diǎn)組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．12．已知為兩條不同的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是①若則;②若則;③若,則;④若則A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,,則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________．14．若指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則__________.15．“直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直”是“”的______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．已知集合2，3，，，集合A、B是集合U的子集，若，則稱(chēng)“集合A緊跟集合B”，那么任取集合U的兩個(gè)子集A、B，“集合A緊跟集合B”的概率為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）紅鈴蟲(chóng)是棉花的主要害蟲(chóng)之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.平均溫度21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)紅鈴蟲(chóng)會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率.附：回歸方程中，，.參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.618．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點(diǎn)，且，若與交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求.19．（12分）已知命題方程表示雙曲線(xiàn)，命題點(diǎn)在圓的內(nèi)部.若為假命題，也為假命題，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，底面，四邊形是正方形，.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.22．（10分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：分析，時(shí)，左邊起始項(xiàng)與終止項(xiàng)，比較差距，得結(jié)果.詳解：時(shí)，左邊為,時(shí)，左邊為,所以左邊需添加的項(xiàng)是，選B.點(diǎn)睛：研究到項(xiàng)的變化，實(shí)質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項(xiàng)與終止項(xiàng)是什么，中間項(xiàng)是如何變化的.2、A【解題分析】分析：由，，，可得，，則，利用做差法結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.詳解：，，則，即，綜上，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以?xún)煞N方法綜合應(yīng)用.3、A【解題分析】

由隨機(jī)變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的分布列得：，解得，，，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點(diǎn)睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。5、D【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到a2,a4030是方程x【題目詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數(shù)f∴l(xiāng)og2【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對(duì)數(shù)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求模即可．【題目詳解】解：，，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

由排列組合中的相鄰問(wèn)題與不相鄰問(wèn)題得：不同的排課方法數(shù)為，得解．【題目詳解】先將語(yǔ)文和英語(yǔ)捆綁在一起，作為一個(gè)新元素處理，再將此新元素與化學(xué)全排，再在3個(gè)空中選2個(gè)空將數(shù)學(xué)和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的相鄰問(wèn)題與不相鄰問(wèn)題，屬中檔題．8、B【解題分析】

由，，表示出，再由，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，即，解?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解題分析】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝1210、C【解題分析】

由積分運(yùn)算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【題目詳解】因?yàn)橛晌⒎e分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查積分的運(yùn)算法則及積分的幾何意義的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.11、C【解題分析】

本題是一個(gè)等可能事件的概率，從正方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法是，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有4×6個(gè)，根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可求得．【題目詳解】由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，從長(zhǎng)方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法是，以A為頂點(diǎn)的四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有：共個(gè)．同理以為頂點(diǎn)的也各有個(gè)，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有個(gè)，所求的概率是故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)問(wèn)題，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

根據(jù)選項(xiàng)利用判定定理、性質(zhì)定理以及定義、舉例逐項(xiàng)分析.【題目詳解】①當(dāng)都在平面內(nèi)時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；②因?yàn)?，則過(guò)的平面與平面的交線(xiàn)必然與平行；又因?yàn)椋源怪庇谄矫鎯?nèi)的所有直線(xiàn)，所以交線(xiàn)，又因?yàn)榻痪€(xiàn)，則，故正確；③正方體上底面的兩條對(duì)角線(xiàn)平行于下底面，但是兩條對(duì)角線(xiàn)不平行，故錯(cuò)誤；④因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線(xiàn)互相平行，故正確；故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷立體幾何中的符號(hào)語(yǔ)言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符號(hào)語(yǔ)言問(wèn)題，一般可采用以下方法：（1）根據(jù)判定、性質(zhì)定理分析；（2）根據(jù)定義分析；（3）舉例說(shuō)明或者作圖說(shuō)明.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐的體積的表達(dá)式，最后求函數(shù)的最大值.詳解：設(shè)球的半徑為R,所以設(shè)AB=x,則，由余弦定理得設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r,則所以PA=.所以三棱錐的體積=.當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等.故答案為點(diǎn)睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問(wèn)題，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和空間想象能力.(2)三元基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c>0時(shí)取等.(3)函數(shù)的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，一般是先求出函數(shù)的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的最值.14、【解題分析】

設(shè)指數(shù)函數(shù)為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再求的值.【題目詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)為，所以.所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法和指數(shù)函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15、必要不充分.【解題分析】

根據(jù)平面內(nèi)與斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直的直線(xiàn)必定與垂直，可知充分性不成立；根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，可得必要性成立．由此得到正確答案【題目詳解】解：（1）充分性：當(dāng)直線(xiàn)與平面斜交，且在平面內(nèi)的射影為，若內(nèi)的直線(xiàn)與垂直時(shí)與垂直，并且滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．這樣平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，但與不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：當(dāng)“”成立時(shí)，內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都與垂直，因此“直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直”成立，所以必要性成立.故答案為:必要不充分.【題目點(diǎn)撥】本題考查了判斷兩命題間的充分、必要條件，考查了直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)命題，，判斷他們的關(guān)系時(shí)，常常分為兩步，以為條件，判斷是否成立；以為條件，判斷是否成立.16、【解題分析】

由題意可知集合U的子集有個(gè)，然后求出任取集合U的兩個(gè)子集A、B的個(gè)數(shù)m，及時(shí)A、B的所有個(gè)數(shù)n，根據(jù)可求結(jié)果.【題目詳解】解：集合2，3，，的子集有個(gè)，集合A、B是集合U的子集，任取集合U的兩個(gè)子集A、B的所有個(gè)數(shù)共有個(gè)，，若，則B有個(gè)，若A為單元數(shù)集，則B的個(gè)數(shù)為個(gè)，同理可得，若2，，則只要1個(gè)即，則A、B的所有個(gè)數(shù)為個(gè)，集合A緊跟集合B”的概率為．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是基本事件個(gè)數(shù)的確定．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，.【解題分析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷更適宜作為關(guān)于的回歸方程類(lèi)型；對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，求出回歸方程，再化為y關(guān)于x的回歸方程；（2）由對(duì)其求對(duì)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對(duì)應(yīng)的值.【題目詳解】解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類(lèi)型.對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，由數(shù)據(jù)得，，所以，，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為.（2）由得，因?yàn)?，令得，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了概率的計(jì)算與應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算、，求出數(shù)量積?！绢}目詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，由，所以，設(shè)，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。19、【解題分析】【試題分析】先分別確定命題“方程表示雙曲線(xiàn)”中的的取值范圍和“命題點(diǎn)在圓的內(nèi)部”中的取值范圍，再依據(jù)建立不等式組求解：解：因?yàn)榉匠?，表示雙曲線(xiàn)，故，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，故，解得：，所以，由為假命題，也為假命題知假、真，所以的取值范圍為：.20、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

1通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；2原問(wèn)題等價(jià)于，成立，可得，可得，即，設(shè)，，可得在單調(diào)遞增，且，即可得不等式的解集即可．【題目詳解】1函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．2對(duì)任意，，有成立，，，成立，，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，設(shè)，，．在遞增，，可得，，即，設(shè)，，在恒成立．在單調(diào)遞增，且，不等式的解集為．實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于壓軸題．21、（1）見(jiàn)解析；（2）直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.【解題分析】分析：(1)