山東省夏津縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

山東省夏津縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從一個裝有3個白球，3個紅球和3個藍球的袋中隨機抓取3個球，記事件為“抓取的球中存在兩個球同色”，事件為“抓取的球中有紅色但不全是紅色”，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率（）A． B． C． D．2．設則（）A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于23．中國古代數(shù)學的瑰寶——《九章算術》中涉及到一種非常獨特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體為一個鱉擩，已知平面，，若該鱉擩的每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知集合，則（）A． B． C． D．5．某研究機構在對具有線性相關的兩個變量和進行統(tǒng)計分析時，得到的數(shù)據如下表所示．由表中數(shù)據求得關于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無法確定6．若函數(shù)f(x)=x3-ax2A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．0<a<37．對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α內有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α與β平行的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個8．某校有高一學生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6:5，為了解學生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為n10的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則n=（A．990 B．1320 C．1430 D．15609．已知集合，則等于（）A． B． C． D．10．“”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．命題“對任意的，，”的否定是（）A．不存在， B．不存在，C．存在， D．存在，12．已知是離散型隨機變量，，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．把3名輔導老師與6名學生分成3個小組(每組1名教師，2名學生)開展實驗活動，但學生甲必須與教師A在一起，這樣的分組方法有________種．(用數(shù)字作答)14．甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃.乙恰好比甲多投進2次的概率是______.15．已知雙曲線的左右焦點分別為、，點在雙曲線上，點的坐標為，且到直線，的距離相等，則___16．不等式的解集是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若，使得，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）三棱柱中，分別是、上的點，且，．設，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長.．19．（12分）已知復數(shù).（I）若，求復數(shù)；（II）若復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，求的取值范圍.20．（12分）已知.（1）求證：恒成立；（2）試求的單調區(qū)間；（3）若，，且，其中，求證：恒成立.21．（12分）已知，，曲線在點處的切線平分圓C：的周長.（1）求a的值；（2）討論函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù).22．（10分）某市為迎接“國家義務教育均衡發(fā)展”綜合評估，市教育行政部門在全市范圍內隨機抽取了所學校，并組織專家對兩個必檢指標進行考核評分.其中分別表示“學校的基礎設施建設”和“學校的師資力量”兩項指標，根據評分將每項指標劃分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格）三個等級，調查結果如表所示.例如：表中“學校的基礎設施建設”指標為等級的共有所學校.已知兩項指標均為等級的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學校的基礎設施建設”優(yōu)秀率是0.4，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“學校的基礎設施建設”和“學校的師資力量”有關；師資力量（優(yōu)秀）師資力量（非優(yōu)秀）合計基礎設施建設（優(yōu)秀）基礎設施建設（非優(yōu)秀）合計（2）在該樣本的“學校的師資力量”為等級的學校中，若，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.附:

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據題意，求出和，由公式即可求出解答.【題目詳解】解：因為事件為“抓取的球中存在兩個球同色”包括兩個同色和三個同色，所以事件發(fā)生且事件發(fā)生概率為：故.故選：C.【題目點撥】本題考查條件概率求法，屬于中檔題.2、C【解題分析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【題目詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個不小于2；當，，都等于2時，選項A，B錯誤，都等于3時，選項D錯誤．選C.【題目點撥】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個互為倒數(shù)的項，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據題目要求解題．3、B【解題分析】分析：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，算出長方體體對角線即可.詳解：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，則，，故.故選：B.點睛：本題主要考查了轉化與化歸思想的運用.4、A【解題分析】

先求得集合的元素，由此求得兩個集合的交集.【題目詳解】依題意，故,故選A.【題目點撥】本小題主要考查兩個集合的交集的求法，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.5、B【解題分析】

求出樣本的中心點，計算出，從而求出回歸直線方程，個點中落在回歸直線上方的有三個，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以，所以，故個點中落在回歸直線上方有，，，共個，所以概率為.故選B.【題目點撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。6、A【解題分析】

函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)【題目詳解】由題意得f(x)=x3-ax2+1?f'x=3x2-2ax，因為函數(shù)【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)在某個區(qū)間上恒成立的問題。通常先求導數(shù)然后轉化成二次函數(shù)恒成立的問題。屬于中等題。7、B【解題分析】試題分析：直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系，對選項進行逐一判斷，確定正確選項即可．：①α與β平行．此時能夠判斷①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對的側面．也可能α與β不平行．②不正確．③不能判定α與β平行．如α面內不共線的三點不在β面的同一側時，此時α與β相交；④可以判定α與β平行．∵可在α面內作l'∥l，m'∥m，則l'與考點：平面與平面平行的性質；平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．8、B【解題分析】

根據題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為611和511，于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為611【題目詳解】依題意可得(611-511)×n【題目點撥】本題考考查分層抽樣的相關計算，解題時要利用分層抽樣的特點列式求解，考查計算能力，屬于基礎題。9、C【解題分析】

由不等式性質求出集合A、B，由交集的定義求出可得答案.【題目詳解】解：可得；，可得=故選C.【題目點撥】本題考查了交集及其運算，求出集合A、B并熟練掌握交集的定義是解題的關鍵.10、A【解題分析】

利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【題目詳解】解：當時，，所以，當時，，所以，即所以“”是“”的充分不必要條件故選：A【題目點撥】此題考查充分條件，必要條件的應用，屬于基礎題11、C【解題分析】

已知命題為全稱命題,則其否定應為特稱命題，直接寫出即可.【題目詳解】命題“對任意的”是全稱命題，它的否定是將量詞的任意的實數(shù)變?yōu)榇嬖?，再將不等號變?yōu)榧纯?即得到：存在.故選:C.【題目點撥】本題主要考查全稱命題的否定，注意量詞和不等號的變化，屬于簡單題.12、A【解題分析】分析：由已知條件利用離散型隨機變量的數(shù)學期望計算公式求出a，進而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機變量，，，，由已知得，解得，，.故選：A.點睛：本題考查離散型隨機變量的方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差計算公式的合理運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解題分析】

將三名教師命名為A，B，C，按照要求，教師A只需再選一名學生，有5種選法，教師B有種選法，根據分步乘法計數(shù)原理，可得分組方法有種．【題目詳解】將三名教師命名為A，B，C，所以可按三步完成分組，第一步讓教師A選學生，第二步讓教師B選學生，第三步將剩下的學生分配給教師C即可．教師A只需再選一名學生，有5種選法，教師B有種選法，根據分步乘法計數(shù)原理，可得分組方法有種．【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應用．14、；【解題分析】

將事件拆分為乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次，再根據二項分布的概率計算公式和獨立事件的概率計算即可求得.【題目詳解】根據題意，甲和乙投進的次數(shù)均滿足二項分布，且甲投進和乙投進相互獨立；根據題意：乙恰好比甲多投進2次，包括乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次.則乙投進3次，甲投進1次的概率為；乙投進2次，甲投進0次的概率為.故乙恰好比甲多投進2次的概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布的概率計算，屬綜合基礎題.15、1【解題分析】

畫出圖形，根據到直線，的距離相等得到為的平分線，然后根據角平分線的性質得到，再根據雙曲線的定義可求得．【題目詳解】由題意得，點A在雙曲線的右支上，又點的坐標為，∴．畫出圖形如圖所示，，垂足分別為，由題意得，∴為的平分線，∴，即．又，∴．故答案為1．【題目點撥】本題考查雙曲線的定義和三角形角平分線的性質，解題的關鍵是認真分析題意，從平面幾何圖形的性質得到線段的比例關系，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

由不等式得，所以，等價于，解之得所求不等式的解集.【題目詳解】由不等式得，即，所以，此不等式等價于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，一般的步驟是：移項、通分、分解因式、把每個因式未知數(shù)的系數(shù)化成正、轉化為一元二次不等式或作簡圖數(shù)軸標根、得解集，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分別在區(qū)間上各存在一個零點，函數(shù)存在兩個零點.（2）【解題分析】

（1）求出的導數(shù)并判斷其單調性，再根據零點存在定理取幾個特殊值判斷出零點的個數(shù)。（2）假設對任意恒成立，轉化成對任意恒成立.令，則.討論其單調性?！绢}目詳解】（1），即，則，令解得.當在上單調遞減；當在上單調遞增，所以當時，.因為，所以.又，，所以，，所以分別在區(qū)間上各存在一個零點，函數(shù)存在兩個零點.（2）假設對任意恒成立，即對任意恒成立.令，則.①當，即時，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.又，所以對任意恒成立.故不符合題意；②當時，令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即當時，存在，使，即.故符合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了根據導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及零點存在定理，屬于中等題。18、（1）（2）【解題分析】分析：（1）直接利用三角形加法和減法法則得到.(2)先求，再求MN的長.詳解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本題主要考查向量的運算法則和基底法，考查向量的模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化能力.19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意計算可得,若，則，.(2)結合(1)的計算結果得到關于實數(shù)a的不等式，求解不等式可得的取值范圍為.試題解析：（1）,若，則，∴，∴.（2）若在復平面內對應的點位于第一象限，則且，解得，即的取值范圍為.20、(1)證明見解析；(2)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間。(3)證明見解析【解題分析】

（1）構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，利用來證明所證不等式成立；（2）先解等式可得出函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導數(shù)，利用（1）中的結論得出在定義域內恒成立，由此可得出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數(shù)學歸納法和單調性證明出對任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；證法二：利用數(shù)學歸納法證明，先驗證當時，不等式成立，即，再假設當時不等式成立，即，利用函數(shù)的單調性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.【題目詳解】（1）令，則，由得，由得.函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，即恒成立；（2）由得或，函數(shù)的定義域為，因為，由（1）可知當時，恒成立，且，.函數(shù)單調遞增區(qū)間為，，無單調遞減區(qū)間；（3）證法一：，要證，即證，即證，即證.先證對任意，，即，即.構造函數(shù)，其中，則，則函數(shù)在上單調遞增，，所以，對任意的，，即，.下面證明對任意的，.，.假設當時，，則當時，.由上可知，對任意的，.由（1）可知，當時，，，，因此，對任意的，；證法二：數(shù)學歸納法①當時，，，，，即成立；②假設當時結論成立，即成立.由（2）知，函數(shù)在上單調遞增，，又，，，當時結論成立綜合①②，恒成立.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)證明不等式以及