2024屆安徽省毛坦廠中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆安徽省毛坦廠中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為（）A． B． C． D．2．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,63．已知X的分布列為X－101P設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．14．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．有下列函數(shù):①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④5．設函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A． B． C．2 D．47．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．在等差數(shù)列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，則n的值為A．14 B．15 C．16 D．179．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．10．已知，其中、是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知，則（）A． B． C． D．或12．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：，點是它的焦點，對于過點且與拋物線有兩個不同公共點，的任一直線都有，則實數(shù)的取值范圍是______.14．更相減損術(shù)是出自九章算術(shù)的一種算法如圖所示的程序框圖是根據(jù)更相減損術(shù)寫出的，若輸入，，則輸出的值為______．15．引入隨機變量后，下列說法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號）.①隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應；②隨機變量與自然數(shù)一一對應；③隨機變量的取值是實數(shù).16．已知，直線：和直線：分別與圓：相交于、和、，則四邊形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左焦點，離心率為，點為橢圓上任一點，且的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且的面積為，求直線的方程.18．（12分）食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋＋120.設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）已知當時恒成立，求的最大值．20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對于任意恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.22．（10分）對于函數(shù)y=fx，若關(guān)系式t=fx+t中變量t是變量x的函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx為可變換函數(shù).例如：對于函數(shù)fx=2x，若t=2x+t，則t=-2x，所以變量t（1）求證：反比例函數(shù)gx=（2）試判斷函數(shù)y=-x3（3）若函數(shù)hx=logbx為可變換函數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

通過各項系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，注意各項系數(shù)之和和二項式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學生的計算能力，難度不大.2、D【解題分析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數(shù)為，中級職稱抽取的人數(shù)為，初級職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個時，就可以求出第三個．3、A【解題分析】由條件中所給的隨機變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．4、D【解題分析】

根據(jù)新定義的“一階整點函數(shù)”的要求，對于四個函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【題目詳解】對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當x∈Z時，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數(shù)．

故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關(guān)鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數(shù)”．5、A【解題分析】分析：的定義域為，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域為，由得

所以．

①若，當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當時，即，此時

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因為是f（x）的極大值點，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．6、A【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，利用所給數(shù)據(jù)，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，畫出幾何體的直觀圖，如圖，把幾何體補形為一個直三棱柱，由三視圖的性質(zhì)可知三棱柱的底面面積，高，所以，,所以，幾何體的體積為.故選A.【題目點撥】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.7、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎題.8、B【解題分析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知；．考點：等差數(shù)列的性質(zhì)、前項和公式、通項公式．9、B【解題分析】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.10、D【解題分析】

由得，根據(jù)復數(shù)相等求出的值，從而可得復數(shù)的共軛復數(shù)，得到答案.【題目詳解】由有，其中、是實數(shù).所以，解得，所以則復數(shù)的共軛復數(shù)為，則在復平面內(nèi)對應的點為.所以復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于第四象限.故選：D【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算和根據(jù)復數(shù)相等求參數(shù)，考查復數(shù)的概念，屬于基礎題.11、B【解題分析】分析：根據(jù)角的范圍利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos（α）的值，再根據(jù)sinα=sin[（α）+]，利用兩角差的正弦公式計算求得結(jié)果．詳解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故選B．點睛：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題關(guān)鍵根據(jù)角的取值范圍對cos（）的值進行取舍，屬于中檔題．12、B【解題分析】可行域為一個三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設直線的方程為,聯(lián)立拋物線的方程得出韋達定理,將翻譯成關(guān)于點,的關(guān)系式,再代入韋達定理求解即可.【題目詳解】設直線的方程為,則,設,.則.則由得.代入韋達定理有恒成立.故故答案為：【題目點撥】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,設而不求利用韋達定理翻譯題目條件從而進行運算的方法等.屬于中等題型.14、【解題分析】輸入，執(zhí)行程序框圖，第一次；第二次；第三次；第四次，滿足輸出條件，輸出的的值為，故答案為.15、③【解題分析】

要判斷各項中對隨機變量描述的正誤，需要牢記隨機變量的定義.【題目詳解】引入隨機變量,使我們可以研究一個隨機實驗中的所有可能結(jié)果，所以隨機變量的取值是實數(shù)，故③正確.【題目點撥】本題主要考查隨機變量的相關(guān)定義，難度不大.16、8【解題分析】由題意，直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圓心（a，1），且互相垂直，∴四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABCD的面積為4×8，故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解題分析】

（1）設橢圓的標準方程為：1（a＞b＞0），由離心率為，點P為橢圓C上任意一點，且|PF|的最小值為1，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出橢圓C的方程；（2）設的方程為：，代入得：，由弦長公式與點到線的距離公式分別求得，由面積公式得的方程即可求解【題目詳解】（1）設橢圓的標準方程為：1（a＞b＞0），∵離心率為，∴，∴a，∵點P為橢圓C上任意一點，且|PF|的最小值為1，∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為1．（2）因，與軸不重合，故設的方程為：，代入得：，其恒成立，設，則有，又到的距離，解得，的方程為：或.【題目點撥】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．18、（1）；（2）甲大棚萬元，乙大棚萬元時，總收益最大,且最大收益為萬元.【解題分析】試題分析：（1）當甲大棚投入萬元，則乙大棚投入萬元，此時直接計算即可；（2）列出總收益的函數(shù)式得，令，換元將函數(shù)轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識可求其最大值及相應的值.試題解析：（1）∵甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，∴（2），依題得，即，故.令，則，當時，即時，，∴甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元.考點：1.函數(shù)建模；2.二次函數(shù).19、（1）；（2）．【解題分析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b的值；

由求導數(shù)可得單調(diào)性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【題目詳解】（1）因為，所以解得．（2）當時，函數(shù)的定義域為．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時恒成立．記，則．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當時，取得最大值．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值，利用導數(shù)研究恒成立問題，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運算能力，屬于難題．20、(1)當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.(2)【解題分析】

(1)對函數(shù)求導得到，討論a和0和1的大小關(guān)系，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）原題等價于對任意，有成立，設，所以，對g(x)求導研究單調(diào)性，從而得到最值，進而求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．．①若，則當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；②若，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（Ⅱ）原題等價于對任意，有成立，設，所以．．令，得；令，得．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為與中的較大者．設，則，∴在上單調(diào)遞增，故，所以，從而．∴，即．設，則．所以在上單調(diào)遞增．又，所以的解為．∵，∴的取值范圍為．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應用分類討論法，構(gòu)造函數(shù)等方法來解答問題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).21、（Ⅰ）;