2024屆福建省莆田市九中高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆福建省莆田市九中高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設隨機變量，隨機變量，若，則（）A． B． C． D．2．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有（）A． B． C． D．3．五一放假，甲、乙、丙去廈門旅游的概率分別是、、，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有人去廈門旅游的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的最大值為，周期為，給出以下結論：①的圖象過點；②在上單調遞減；③的一個對稱中心是；④的一條對稱軸是．其中正確結論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．設集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}6．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．7．設S為復數(shù)集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．9．已知命題，則命題的否定為（）A． B．C． D．10．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知集合，,則（）A． B． C． D．12．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,125二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的反函數(shù)為，且，則的值為________14．已知，，則向量，的夾角為________.15．已知點，，，，復數(shù)、在復平面內分別對應點、，若，則的最大值是__________.16．某班有名學生,其中人選修課程,另外人選修課程,從該班中任選兩名學生,他們選修不同課程的概率是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，斜三棱柱中，側面為菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求證：直線直線；（2）若直線與底面ABC成的角為，求二面角的余弦值．18．（12分）（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）用，，，，組成一個無重復數(shù)字的五位數(shù)，求滿足條件的五位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù).19．（12分）正項數(shù)列的前項和滿足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.20．（12分）已知函數(shù),其中為常數(shù)且.(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點,求的值;(Ⅱ)若函數(shù)有3個零點,求的取值范圍.21．（12分）假設關于某設備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費用(萬元)(即維修費用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計資料：(1)求關于的線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是多少?參考公式：22．（10分）現(xiàn)對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，隨機抽調了人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.月收入（單位百元）頻數(shù)贊成人數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有的把握認為“月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；月收入不低于百元的人數(shù)月收入低于百元的人數(shù)合計贊成__________________________________________不贊成__________________________________________合計__________________________________________（2）若對在、的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考值表：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：∵隨機變量，∴，解得．∴，∴，故選C．考點：1．二項分布；2．n次獨立重復試驗方差．2、B【解題分析】試題分析：采用分步計數(shù)原理來求解：分3步，每一步4種方法，不同方法種數(shù)有種考點：分步計數(shù)原理3、B【解題分析】

計算出事件“至少有人去廈門旅游”的對立事件“三人都不去廈門旅游”的概率，然后利用對立事件的概率可計算出事件“至少有人去廈門旅游”的概率.【題目詳解】記事件至少有人去廈門旅游，其對立事件為三人都不去廈門旅游，由獨立事件的概率公式可得，由對立事件的概率公式可得，故選B.【題目點撥】本題考查獨立事件的概率公式的應用，同時也考查了對立事件概率的應用，在求解事件的概率問題時，若事件中涉及“至少”時，采用對立事件去求解，可簡化分類討論，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題.4、C【解題分析】

運用三角函數(shù)的輔助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函數(shù)的單調性和對稱性，計算可得正確結論的個數(shù)．【題目詳解】函數(shù)的最大值為，周期為，

可得，可得，可得，

則，

則，正確；

當，可得，

可得在上單調遞減，正確；

由，則錯誤；

由，

可得正確．

其中正確結論的個數(shù)為1．

故選：C．

【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，注意運用輔助角公式和周期公式，考查正弦函數(shù)的單調性和對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．5、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點睛：本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)的運算，是基礎題.6、B【解題分析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸常為,故選B.7、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.8、C【解題分析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.【題目點撥】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.9、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可直接得出結果.【題目詳解】因為命題，所以命題的否定為：故選A【題目點撥】本題主要考查含有一個量詞的命題的否定，只需改寫量詞與結論即可，屬于?？碱}型.10、B【解題分析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點撥】本題主要考查了復合函數(shù)的單調性以及單調區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內層函數(shù)和外層函數(shù)單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．11、A【解題分析】

由已知得，因為，所以，故選A．12、C【解題分析】

問題轉化為C到直線l的距離d?4.【題目詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)反函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的解析式,代入即可求得的值.【題目詳解】因為函數(shù)的反函數(shù)為,且令則所以即函數(shù)()所以故答案為:【題目點撥】本題考查了反函數(shù)的求法,求函數(shù)值,屬于基礎題.14、【解題分析】

根據(jù)條件即可求出,利用,根據(jù)向量的夾角范圍即可得出夾角.【題目詳解】,.,故答案為:.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積公式,向量數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎題,難度容易.15、【解題分析】

由題意可知，點在曲線內，點在圓上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【題目詳解】由題意知，點在曲線內，點在圓上，如下圖所示：由三角不等式得，當點為正方形的頂點，且點、方向相反時，取最大值，故答案為.【題目點撥】本題考查復數(shù)模的最值，解題時充分利用三角不等式與數(shù)形結合思想進行求解，能簡化計算，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.16、【解題分析】

先計算出總的方法數(shù)，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計算原理計算得方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【題目詳解】∵該班有名學生則從班級中任選兩名學生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學生的情況有:故從班級中任選兩名學生,他們是選修不同課程的學生的概率.【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算，考查分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）先證平面，再證平面，可證直線直線（2）由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，以AB,AC,AE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由空間向量法可求得二面角．【題目詳解】證明：連接，側面為菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直線直線；解：由知，平面平面，由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，，得D為AB的中點，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則為平面的一個法向量，則0，，2，，，設平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值為．【題目點撥】利用向量法求二面角的注意事項：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能是兩法向量夾角的補角為所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系數(shù)法，設出法向量坐標，利用垂直關系建立坐標的方程，解之即可得法向量；②先確定平面的垂線，然后取相關線段對應的向量，即確定了平面的法向量．18、（1）15；（2）48.【解題分析】分析：(1）由排列組合的知識可知常數(shù)項為.(2）由排列組合的知識可知滿足題意的偶數(shù)的個數(shù)為.詳解：(1）由排列組合的知識可知的展開式中的常數(shù)項為.(2）首先排列好個位，然后排列其余位數(shù)上的數(shù)字，由排列組合的知識可知滿足條件的五位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.點睛：本題主要考查排列組合與二項式定理知識的應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想證明見解析【解題分析】分析：（1）直接給n取值求出，，.(2)猜想的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.詳解：（Ⅰ）令，則，又，解得；令，則，解得；令，則，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用數(shù)學歸納法證明.由（Ⅰ）可知當時，成立；假設當時，，則.那么當時，，由，所以，又，所以，所以當時，.綜上，.點睛：（1）本題主要考查數(shù)學歸納法，意在考查學生對該基礎知識的掌握水平和基本計算能力.(2)數(shù)學歸納法的步驟：①證明當n=1時，命題成立。②證明假設當n=k時命題成立，則當n=k+1時，命題也成立.由①②得原命題成立.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（I）由題意把代入導函數(shù)，導函數(shù)得0，即可求的值；（II）由題意等價轉化為函數(shù)在區(qū)間上有三個零點問題，轉化為求函數(shù)在定義域下求極值，列關于a的不等式求解．【題目詳解】(Ⅰ)依題意得,所以，是函數(shù)的極值點，得f′(2)=0，解得或（舍去），故，(Ⅱ)函數(shù)有3個零點,即方程有三個不同實根，因為所以有三個不等實根，令，，，令，解得，在單調遞增，單調遞減，單調遞增，所以為的極值點，根據(jù)函數(shù)有3個零點,需滿足，解得，的取值范圍為.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通常利用轉化思想將函數(shù)進行轉化成等價函數(shù)或者方程根的問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質,根據(jù)條件列出不等式求解，考查數(shù)學思想方法的靈活應用，屬于較難題.21、（1）；（2）萬元【解題分析】

（1）先求出樣本中心點及代入公式求得，再將代入回歸直線求得的值，可得線性回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，取x