2024屆永州市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆永州市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．72．（）A．0 B． C．1 D．23．設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若m//α,m//β,則α//β B．若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若m⊥α,m//n,則n⊥α D．若α⊥β,m⊥α,則m//β4．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或5．設(shè)，，，，則（）A． B． C． D．6．已知y與x及與的成對(duì)數(shù)據(jù)如下，且y關(guān)于x的回歸直線方程為，則關(guān)于的回歸直線方程為（）x12345y2345710203040502030405070A． B． C． D．7．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．8．設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i9．定義在上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的恒有成立；（2）當(dāng)時(shí)，；記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．11．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．12．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于同一個(gè)常數(shù)．若第一個(gè)單音的頻率為f，第三個(gè)單音的頻率為，則第十個(gè)單音的頻率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，其任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為________.14．若C5x=C15．如圖，在中，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為____________.16．若，分別是橢圓：短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點(diǎn)的位置；（2）證明：無論點(diǎn)的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個(gè)定值．18．（12分）知函數(shù)，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)關(guān)系式：的部分圖象如圖所示：（1）求，，的值；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．20．（12分）某市教育部門為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中,身不低于1.69米的學(xué)生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計(jì)該市高一學(xué)生的身高概率.(I)求該市高一學(xué)生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生,記為身高在的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.21．（12分）已知等式.（1）求的展開式中項(xiàng)的系數(shù)，并化簡(jiǎn)：；（2）證明：（?。唬áⅲ?22．（10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案?！绢}目詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。2、C【解題分析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，，計(jì)算即可得出.【題目詳解】因?yàn)椋蔬xC.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含絕對(duì)值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.3、C【解題分析】

結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可選出答案.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)m//α,m//β，α,β有可能平行，也有可能相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)α⊥β，m⊥α，n//β，m,n有可能平行，也可能相交或者異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)m⊥α,m//n,根據(jù)線面垂直的判定定理可以得到n⊥α，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)α⊥β,m⊥α,則m//β或者m?β，故D錯(cuò)誤；故答案為選項(xiàng)C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

對(duì)的范圍分類討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。5、A【解題分析】

根據(jù)條件，令，代入中并取相同的正指數(shù)，可得的范圍并可比較的大?。挥蓪?duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可判斷的范圍，進(jìn)而比較的大小.【題目詳解】因?yàn)榱顒t將式子變形可得，因?yàn)樗杂蓪?duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知綜上可得故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式大小比較，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先由題意求出與，根據(jù)回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，，因?yàn)榛貧w直線方程過樣本中心，根據(jù)題中選項(xiàng)，所以關(guān)于的回歸直線方程為.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查回歸直線方程，熟記回歸直線方程的意義即可，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】

試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點(diǎn)的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．8、D【解題分析】

本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則先求得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，寫出．【題目詳解】，所以，選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)，容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．理解概念，準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．部分考生易出現(xiàn)理解性錯(cuò)誤．9、C【解題分析】

根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因?yàn)閒（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可【題目詳解】因?yàn)閷?duì)任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由題意得f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，如圖所示只需過（1，0）的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）kPA2，kPB，所以可得k的范圍為故選：C．【題目點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．10、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，原不等式等價(jià)于兩次求導(dǎo)可證明在上遞減，從而可得結(jié)論.【題目詳解】由題意，，，設(shè)，，設(shè)，，在單調(diào)遞減，且，,所以在遞減，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）求出；（2）令求出的范圍，可得增區(qū)間；（3）令求出的范圍，可得減區(qū)間.11、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.12、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個(gè)單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，則SD⊥AB，CD⊥AB，從而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】解：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，∵三棱錐S﹣ABC是各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，設(shè)棱長(zhǎng)SC＝2，則SD＝CD，∴cos∠SDC，∴∠SDC＝arccos．故各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為arccos．故答案為：arccos．【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．14、2或3【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得解.【題目詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)得x=2或x+2=5，所以x=2或x=3.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)，，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值為，故答案為.16、2【解題分析】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．由題意得，解得．答案：2點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出圖1中點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點(diǎn)D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目詳解】解：（1）在圖2中，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處．（2）證明：平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則即，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，故，∴無論點(diǎn)的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量確定空間中點(diǎn)的位置以及二面角的余弦值的計(jì)算，考查運(yùn)算能力求解能力和推理論證能力，是中檔題．18、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點(diǎn)處切線的斜率，從而得到答案；（2）對(duì)求導(dǎo)，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時(shí),令,得;令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),共個(gè)零點(diǎn),不符合題意,舍去.②時(shí),令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，又,,有兩個(gè)零點(diǎn),符合題意.③,即時(shí),令,得,令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),若要有兩個(gè)零點(diǎn),必有,解得.④,即時(shí),令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，又，∴在區(qū)間∴上不存在零點(diǎn),即只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.綜上所述,或.點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖像最高點(diǎn)可確定A值，根據(jù)已知水平距離可計(jì)算周期，從而得出，然后代入圖像上的點(diǎn)到原函數(shù)可求得即可；（2）先根據(jù)（1）得出g（x）表達(dá)式，然后根據(jù)正弦函數(shù)圖像求出單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合所給范圍確定單調(diào)遞減區(qū)間即可.詳解：(1)由圖形易得，，解得，此時(shí)．因?yàn)榈膱D象過，所以，得．因?yàn)?，所以，所以，得．綜上，，．(2)由(1)得．由，解得，其中．取，得，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)，對(duì)三角函數(shù)各個(gè)變量的作用和求法的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.20、(I)見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)見解析.【解題分析】分析:(I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學(xué)生的身高高于1.70的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值.(II)先求出從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率，再利用二項(xiàng)分布寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)先分別計(jì)算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解：(I)由圖2可知，100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70的概率為0.15.記為學(xué)生的身高，結(jié)合圖1可得:，,,又由于組距為0.1,所以，（Ⅱ）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得:從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率.因?yàn)閺倪@批學(xué)生中隨機(jī)選取3名，相當(dāng)于三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故的分布列為:01230.027