2024屆福建省福州市三校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆福建省福州市三校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）的最大值為﹣1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]3．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．4．設(shè)集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},則A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）5．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)是，則這個(gè)方程可以是（）A． B．C． D．6．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A．-3 B．0 C．3 D．20197．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）8．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次驗(yàn)，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點(diǎn)（s，t）B．與相交，交點(diǎn)不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點(diǎn)（s，t）對稱D．與必定重合9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知，若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．11．“四邊形是矩形，四邊形的對角線相等”補(bǔ)充以上推理的大前提是（）A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形12．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)總體為：、、、、，且總體平均數(shù)是，則這個(gè)總體的方差是______．14．函數(shù)在上的減區(qū)間為_____．15．定義在上的偶函數(shù)滿足且在[—1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于的判斷:①是周期函數(shù)；②關(guān)于直線對稱；③是[0，1]上是增函數(shù)；④在[1，2]上是減函數(shù)；⑤.其中正確的序號是_________.16．若不等式有且只有1個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在1565歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計(jì)支持不支持總計(jì)（2）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人①抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)直線l的斜率為3時(shí),求ΔPOQ的面積；(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M(m,0),滿足|PM|=|QM|？若存在,求出m的取值范圍；若不存在,請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù).（1）若當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為，求的值；（2）對任意不同兩點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎(jiǎng)勵(lì)，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

讀懂流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，當(dāng)時(shí)，得到的值.【題目詳解】根據(jù)流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，輸入，因?yàn)?019除以4余3，經(jīng)過多次循環(huán)后，再經(jīng)過一次循環(huán)后滿足的條件，輸出【題目點(diǎn)撥】流程圖的簡單問題，找到循環(huán)規(guī)律，得到的值，得到輸出值.屬于簡單題.2、D【解題分析】

考慮x≥1時(shí)，f（x）遞減，可得f（x）≤﹣1，當(dāng)x＜1時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）max＝1+a，由題意可得1+a≤﹣1，可得a的范圍．【題目詳解】當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝﹣log1（x+1）遞減，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得最大值﹣1；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（x）取得最大值1+a，由題意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值求法，注意運(yùn)用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實(shí)半軸長，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題．4、C【解題分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，其中解答中正確求解集合A,B，再根據(jù)集合的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復(fù)數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榉匠痰母趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，可設(shè)根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項(xiàng)可得，該方程為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的方程，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、、的值，進(jìn)而結(jié)合周期性分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

先求出當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【題目詳解】當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當(dāng)a＞1時(shí)，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式先求出當(dāng)x≤2時(shí)的函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．8、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），∴與相交于點(diǎn)，A說法正確．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

由漸近線方程得出的值，結(jié)合可求得【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時(shí)要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開來．10、B【解題分析】

通過各項(xiàng)系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理，注意各項(xiàng)系數(shù)之和和二項(xiàng)式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度不大.11、B【解題分析】

根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論成立的依據(jù)，∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對角線相等的結(jié)論，∴大前提一定是矩形都是對角線相等的四邊形，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查演繹推理的定義，關(guān)鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【題目詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用總體平均數(shù)為求出實(shí)數(shù)的值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【題目詳解】由于該總體的平均數(shù)為，則，解得.因此，這個(gè)總體的方差為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的計(jì)算，利用平均數(shù)和方差公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、①②⑤.【解題分析】,周期為2,,又，所以f(x)關(guān)于直線x=1對稱，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，在[-1，0]是增函數(shù)，所以在[0,1]上是減函數(shù)，由于f(x)在[1,2]上的圖像與[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函數(shù)，綜上正確的有①②⑤.16、【解題分析】

令（），求出，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得唯一的正整數(shù)解是什么，從而得出的范圍．【題目詳解】令（），則.當(dāng)時(shí)，由得；由得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，有，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由得；由得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，依題意，需解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的正整數(shù)解，實(shí)質(zhì)考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”有差異.(2)①.②分布列見解析，.【解題分析】

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到45歲以下與45歲以上的人數(shù)，由此可得列聯(lián)表，求得后在結(jié)合臨界值表可得結(jié)論．（2）①結(jié)合條件概率的計(jì)算方法求解；②由題意可得的可能取值為0,1,2，分別求出對應(yīng)的概率后可得分布列和期望．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故可得列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計(jì)支持354580不支持15520總計(jì)5050100由列聯(lián)表可得，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異．（2）①從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應(yīng)抽6人，45歲以上的應(yīng)抽2人．設(shè)“抽到1人是45歲以下”為事件A，“抽到的另一人是45歲以上”為事件B，則,∴,即抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率為．②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應(yīng)抽6人，45歲以上的應(yīng)抽2人．由題意得的可能取值為0,1,2.，，.故隨機(jī)變量的分布列為：012所以.18、（1）x24+y23=1（2）453（3）在【解題分析】

（1）根據(jù)題中條件列有關(guān)a、b、c的方程組，解出這三個(gè)數(shù)，可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先寫出直線l的方程，并設(shè)點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用弦長公式求出（3）①當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，得出m=0；②當(dāng)直線l的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，設(shè)點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，求出線段PQ的中點(diǎn)【題目詳解】（1）由已知得2b=23ca所以橢圓C的方程為x2（2）設(shè)直線l:?y=3(x-1)，設(shè)點(diǎn)由y=3(x-1)x24點(diǎn)O到直線l的距離為d=32，則（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，m=0，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l:y=k(x-1)(k≠0)，設(shè)P由y=k(x-1)x2∴x1+xPQ的中點(diǎn)N4k23+4kkMN?kPQ綜上，在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，滿足PM=QM，且m的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求解，考查橢圓中三角形面積的計(jì)算以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題，這種類型問題常用韋達(dá)定理法求解，解題時(shí)要將題中一些問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題。19、(1)(2)【解題分析】

（1）討論與0，1，e的大小關(guān)系確定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化為，不妨設(shè)，整理得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，得，分離，求其最值即可求解a的范圍【題目詳解】（1），令，則.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，由已知，，即，符合題意.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.③當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.綜上分析，.（2）由題意，，則原不等式化為，不妨設(shè)，則，即，即.設(shè)，則，由已知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，，即，即恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)與分離變量求最值，分類討論思想，轉(zhuǎn)化化歸能力，是中檔題20、（1）本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分?jǐn)?shù)在的頻率為：，從而分?jǐn)?shù)在的，假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得．故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關(guān)概念，即可求解，屬于?？碱}型.21、(1)證明見解析.(2).【解題分析