山東省平邑縣曾子學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

山東省平邑縣曾子學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．43．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．5．曲線(xiàn)與直線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．6．設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．7．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則(?UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}8．將4名學(xué)生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍2人，則不同的分配方法有（）A．240種 B．120種 C．90種 D．60種9．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．10．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過(guò)程：“……，假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋剩?，……”，則橫線(xiàn)處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，11．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-112．假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．2486二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)的一個(gè)法向量，則直線(xiàn)的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；14．已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由1個(gè)英文字母和1個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，，，，這5個(gè)字母中的1個(gè)，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則共有__________個(gè)不同的編號(hào)（用數(shù)字作答）.15．一個(gè)直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為_(kāi)_______16．不等式的解集是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線(xiàn)的斜率成等比數(shù)列，證明：直線(xiàn)的斜率為定值.19．（12分）已知復(fù)數(shù)（，為正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位）是方程的一個(gè)根.（1）求此方程的另一個(gè)根及的值；（2）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，求的取值范圍.20．（12分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，且a∈R．（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝，若將函數(shù)g（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）的值域．21．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若，求函數(shù)在上的值域.22．（10分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且.（I）求直線(xiàn)的方程；（II）已知過(guò)右焦點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，是否存在軸上一定點(diǎn)，使？（為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

計(jì)算，根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的理解以及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，審清題干，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】分析：先把拋物線(xiàn)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo).詳解：由題得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)研究圓錐曲線(xiàn)時(shí)，首先一般把曲線(xiàn)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程再研究.4、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【題目詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對(duì)值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】聯(lián)立曲線(xiàn)與兩條直線(xiàn)的方程組成的方程組可得三個(gè)交點(diǎn)分別為，結(jié)合圖形可得封閉圖形的面積為，應(yīng)選答案D．6、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關(guān)鍵.7、A【解題分析】

先化簡(jiǎn)已知條件,再求.【題目詳解】由題得,因?yàn)?,故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)，考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.8、D【解題分析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理分兩步：先安排宿舍，再分配學(xué)生，繼而得到結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可以分兩步完成：第一步：選宿舍有10種；第二步：分配學(xué)生有6種；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有：10×6＝60種．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合及計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，考查了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集和補(bǔ)集，屬于簡(jiǎn)單題型.10、A【解題分析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【題目詳解】假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，＋＋…＋+＜，因?yàn)?，＋＋…＋，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．11、B【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得實(shí)部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得.故選B.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的概念，思路：純虛數(shù)是實(shí)部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).12、B【解題分析】

由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得，利用累加法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線(xiàn)的斜率，從而得傾斜角。【題目詳解】直線(xiàn)的一個(gè)法向量，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查求直線(xiàn)的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線(xiàn)斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。14、45【解題分析】

通過(guò)分步乘法原理即可得到答案.【題目詳解】對(duì)于英文字母來(lái)說(shuō)，共有5種可能，對(duì)于數(shù)字來(lái)說(shuō)，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個(gè)不同的編號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計(jì)算，難度很小.15、【解題分析】

設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【題目詳解】∵一個(gè)直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，∴設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、屬于中檔題．16、【解題分析】

直接去掉絕對(duì)值即可得解.【題目詳解】由去絕對(duì)值可得即，故不等式的解集是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，由區(qū)間上為減函數(shù)得到恒成立，通過(guò)分離參數(shù)，求函數(shù)最值得到的范圍（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，首先通過(guò)函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最值，在求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意對(duì)參數(shù)分情況討論試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以對(duì)恒成立即對(duì)恒成立（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，只需即可由①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以解?）當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無(wú)最大值，不合題設(shè)．2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上；在區(qū)間上．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無(wú)最大值，不滿(mǎn)足條件．③當(dāng)時(shí)，由，故，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1．不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化；2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性最值18、(1);(2)見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過(guò)的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)題意可得，根據(jù)此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，消去整理得，∵直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∴．∵直線(xiàn)的斜率成等比數(shù)列，∴，整理得，∴，又，所以，結(jié)合圖象可知，故直線(xiàn)的斜率為定值．點(diǎn)睛：（1）圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是常考題型，難度一般較大，常常把直線(xiàn)、圓及圓錐曲線(xiàn)等知識(shí)結(jié)合在一起，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想的考查．（2）解決定值問(wèn)題時(shí)，可直接根據(jù)題意進(jìn)行推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．19、(1),;(2)【解題分析】

(1)先求得的根,再根據(jù)題意求另一根即可.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算表達(dá)再求解即可.【題目詳解】(1),故,,.

(2)由有,即.所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及模長(zhǎng)的用法等,屬于基礎(chǔ)題型.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意可得，解方程可得的值，即可求得的值；（2）求得，由圖象平移可得，再由指數(shù)函數(shù)的值域，即可求解，得到答案．【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是奇函數(shù).(2)由于，所以，即，所以，將的圖象向右平移一個(gè)單位得到的圖象，得，所以函數(shù)的值域?yàn)椋绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及圖象的變換，著重考查了變形能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）【解題分析】

（1）將函數(shù)解析式重新整理，解得定點(diǎn)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程，（2）先解出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的圖像經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，因?yàn)椋郧芯€(xiàn)的斜率，.所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即；（2）因?yàn)?，，所以，故，則，由得或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：1200單調(diào)減單調(diào)增從而在上有最小值，且最小值為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減，，所以，所以，所以最大值為，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.22、（1）或；（2）【解題分析】

（I）解法一：直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點(diǎn)T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用