2024屆天津市濱海七所重點(diǎn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆天津市濱海七所重點(diǎn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．13．若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為()A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，輸出的S=（）A． B． C． D．5．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．6．年平昌冬奧會(huì)期間，名運(yùn)動(dòng)員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．7．若，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)9．已知點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離是，則的值是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B．1 C．-1 D．11．甲乙丙丁四名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報(bào)一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則()A． B． C． D．12．已知,則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)則的最大值是________.14．在名男生和名女生中各選出名參加一個(gè)演唱小組，共有__________種不同的選擇方案.15．某校高二成立3個(gè)社團(tuán)，有4名同學(xué)，每人只選一個(gè)社團(tuán)，恰有1個(gè)社團(tuán)沒有同學(xué)選，共有種不同參加方案（用數(shù)字作答）.16．圓錐的母線長為，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角為，則該圓錐的體積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時(shí)間玩手機(jī)游戲的兒童，患多動(dòng)癥的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)加倍．青少年的大腦會(huì)很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測的手機(jī)游戲，一旦如此，他們?cè)诮淌业纫曈X刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對(duì)110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機(jī)調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們?cè)?個(gè)月里玩手機(jī)游戲的習(xí)慣．同時(shí)，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題．統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)據(jù)：注意力不集中注意力集中總計(jì)不玩手機(jī)游戲204060玩手機(jī)游戲302050總計(jì)5060110（1）試估計(jì)7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．18．（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對(duì)恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的圖象是否是中心對(duì)稱圖形？若是，求出對(duì)稱中心；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）設(shè)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.20．（12分）已知函數(shù)滿足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，，使得，對(duì)任意正整數(shù)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)、的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機(jī)遇.2016年618期間，某購物平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)516億人民幣.與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.（1）先完成關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率,某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量：①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列；②求的數(shù)學(xué)期望和方差.附臨界值表：的觀測值：（其中）關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)對(duì)商品不滿意合計(jì)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先化簡復(fù)數(shù)z,再判斷其在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限.詳解：由題得，所以復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（a,b）,點(diǎn)（a,b）所在的象限就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.復(fù)數(shù)和點(diǎn)（a,b）是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.2、A【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3、D【解題分析】

由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，求出常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，列方程即可求解.【題目詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解題分析】

試題分析：由題意得，輸出的為數(shù)列的前三項(xiàng)和，而，∴，故選B.考點(diǎn)：1程序框圖；2.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問題，屬于容易題，解題過程中首先要弄清程序框圖所表達(dá)的含義，解決循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題關(guān)鍵是列出每次循環(huán)后的變量取值情況，循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，需總結(jié)規(guī)律，若循環(huán)次數(shù)較少可以全部列出.5、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.6、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進(jìn)行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個(gè)位置選一個(gè)安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時(shí)有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點(diǎn)睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問題中先集中后局部的處理方法．7、A【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，化簡得，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中合理配湊，以及準(zhǔn)確利用誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式化簡、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),求使得導(dǎo)函數(shù)小于零的自變量的范圍，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(0，1).故答案為A.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0，解得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間；注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間的形式.9、B【解題分析】

利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，還結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解.10、C【解題分析】試題分析：∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，∴，把代入可得，解得，故選C.考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；（2）導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則.11、D【解題分析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計(jì)算求解.12、D【解題分析】分析：先根據(jù)誘導(dǎo)公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此，選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

化簡函數(shù)為，結(jié)合求最值即可.【題目詳解】,由,,則的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化一公式及區(qū)間上求最值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【題目詳解】從名女生中選出二人,有種選法,從5名男生中選出二人,有種選法,所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得,從名男生和名女生中各選出名參加一個(gè)演唱小組，共有種不同的選法.故答案為:30.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.15、42【解題分析】試題分析：若恰有1個(gè)社團(tuán)沒人選，則問題轉(zhuǎn)化為4人選2個(gè)社團(tuán)，且每人只選擇一個(gè)社團(tuán)，可轉(zhuǎn)化為分組與分配問題，即?？键c(diǎn)：排列組合的綜合應(yīng)用。16、【解題分析】

根據(jù)題意畫出圓錐的軸截面圖形，結(jié)合圖形求出圓錐的底面圓半徑和高，再計(jì)算圓錐的體積．【題目詳解】如圖所示，圓錐的母線，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角為，圓錐的底面圓半徑為；高為；該圓錐的體積為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的體積計(jì)算及圓錐側(cè)展圖，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系．【解題分析】

（1）利用頻率表示概率即得解；（2）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)計(jì)算的值，對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)，可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)，可得7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率為．（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，．可見，，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系．【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率估計(jì)概率以及列聯(lián)表的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2)5.【解題分析】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論即可；（2）∵對(duì)恒成立，∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.即只需要證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立即可.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí)，，在單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵對(duì)恒成立.∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，過程如下：當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.故，從而對(duì)恒成立.故整數(shù)的最小值為.點(diǎn)睛：不等式的證明問題，可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想.19、（1）的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為：；（2）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)【解題分析】

（1）設(shè)，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而可得的對(duì)稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個(gè)解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個(gè)數(shù)的討論，即的解的個(gè)數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個(gè)數(shù)，從而得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合得到結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)定義域?yàn)椋簽槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為：（2）令，可知為其中一個(gè)解，即為一個(gè)零點(diǎn)只需討論的解的個(gè)數(shù)即可①當(dāng)時(shí)，無解有且僅有一個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，為方程的解有，共個(gè)零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，為方程的解有，共個(gè)零點(diǎn)（ii）若，即時(shí)，的解為：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，即時(shí)，，方程無解有且僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的判斷、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論.解決本題中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的討論，從而根據(jù)的不同范圍得到方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.20、（1）；（2）最大值為3，最小值為．【解題分析】

(1)代入即可得到的值，化簡整理，利用周期公式即可得到答案；（2）當(dāng)，利用第一問求得的解析式分析可得到最值.【題目詳解】解：（1）由，得，解得所以函數(shù)的最小正周期（2）當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為3，最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)中周期的計(jì)算，最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)，符合題意.【解題分析】

（Ⅰ）由題意可整理為，從而代入，即可求，的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)和時(shí)，可得到一組、的值，于是假設(shè)該式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋淼?，由，代入得?（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)、，使得對(duì)任意正整數(shù)恒成立.當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，②由①②解得：，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：存在實(shí)數(shù)，，使對(duì)任意正整數(shù)恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，，使得成立，那么，當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在實(shí)數(shù)，，使對(duì)任意正整數(shù)恒成