湖南省長沙市明達中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省長沙市明達中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．22492．已知a＝log34，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c3．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．4．設(shè)為中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．某大學安排5名學生去3個公司參加社會實踐活動，每個公司至少1名同學，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1506．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．有一個偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………則第20行第4列的數(shù)為（）A．546 B．540 C．592 D．5988．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，的一組數(shù)據(jù)如下表：245682040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．已知數(shù)列的通項公式為，則（）A．-1 B．3 C．7 D．910．已知展開式的常數(shù)項為15，則（）A． B．0 C．1 D．-111．某快遞公司共有人，從周一到周日的七天中，每天安排一人送貨，每人至少送貨天，其不同的排法共有（）種.A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則．14．一個袋中有形狀、大小完全相同的個小球，其中個紅球，其余為白球.從中一次性任取個小球，將“恰好含有個紅球”的概率記為，則當__________時，取得最大值．15．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.16．.若為真命題，則實數(shù)的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求的最小值；（2）已知為正數(shù)，且，求證.18．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.20．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.21．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間，其頻數(shù)統(tǒng)計如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時間的數(shù)學期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時間不超過的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線：，曲線：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線，的極坐標方程；（2）曲線：（為參數(shù)，，），分別交，于，兩點，當取何值時，取得最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

因為該題為選擇題，可采用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)滿足條件，可設(shè)函數(shù)為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列定義求出結(jié)果?！绢}目詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則，因為，所以，所以，所以數(shù)列數(shù)以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選C。【題目點撥】本題考查選擇題中的特殊法解決問題，對于選擇題則可以找到滿足題意的特殊值或者特殊函數(shù)直接代入進行求解。2、B【解題分析】

得出，從而得到的大小關(guān)系，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)對數(shù)的運算可得，所以，故選B．【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)的換底公式，以及對數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)的運算的應(yīng)用，其中解答中熟記對數(shù)的運算性質(zhì)，合理運算時解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集運算得解.【題目詳解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故選：B【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了補集、交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由，則，再根據(jù)三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【題目詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長，所以．令，則，當時，可得，從而，當且僅當時取等號．故選B．【題目點撥】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．5、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計算公式可知，方案為時的方法有種，方案為時的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．6、B【解題分析】因，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，應(yīng)選答案B．7、A【解題分析】分析：觀察數(shù)字的分布情況，可知從右上角到左下角的一列數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個數(shù)再減去即可，進而歸納每一行第一個數(shù)的規(guī)律即可得出結(jié)論．詳解：順著圖中直線的方向，從上到下依次成公差為2的等差數(shù)列，要想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個數(shù)再減去即可.觀察可知第1行的第1個數(shù)為：；第2行第1個數(shù)為：；第3行第1個數(shù)為：.……第23行第1個數(shù)為：.所以第20行第4列的數(shù)為.故選A.點睛：此題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察得出數(shù)字的排列規(guī)律，是中檔題．8、B【解題分析】

回歸直線經(jīng)過樣本中心點.【題目詳解】樣本中心點為，因為回歸直線經(jīng)過樣本中心點，所以，.故選B.【題目點撥】本題考查回歸直線的性質(zhì).9、C【解題分析】

直接將代入通項公式，可得答案.【題目詳解】數(shù)列的通項公式為.所以當時，.故選：C【題目點撥】本題考查求數(shù)列中的項，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項為15，求得的值．【題目詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項為，由此求得，故選：．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：把天分成天組，然后人各選一組值班即可.詳解：天分成天，天，天組，人各選一組值班，共有種，故選C.點睛：本題主要考查分組與分配問題問題，著重考查分步乘法計數(shù)原理，意在考查綜合運用所學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.12、A【解題分析】

求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷選項.【題目詳解】解：當時，，則，若，，，若，，，則恒成立，即當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減，

故選：A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，可以通過函數(shù)的性質(zhì)進行排除，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.16【解題分析】試題分析：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對稱軸為.由及正態(tài)分布的性質(zhì)，考點：正態(tài)分布及其性質(zhì).14、20【解題分析】分析：由題意可知，滿足超幾何分布，列出的公式，建立與的表達式，求最大值。詳解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。點睛：組合數(shù)的最大值，可以理解為數(shù)列的最大項來處理。15、1【解題分析】分析：把丙丁捆綁在一起，作為一個元素排列，然后把甲插入，注意丙丁這個元素的位置不同決定著甲插入的方法數(shù)的不同．詳解：．故答案為1．點睛：本題考查排列組合的應(yīng)用．排列組合中如果有元素相鄰，則可用捆綁法，即相鄰的元素捆綁在一起作為一個元素進行排列，當然它們之間也要全排列，特殊元素可優(yōu)先考慮．注意分類與分步結(jié)合，不重不漏．16、【解題分析】

根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，利用，可將函數(shù)進行換元，利用對勾函數(shù)求函數(shù)的最大值.【題目詳解】當時，又，設(shè)，設(shè)當時，取得最大值.若為真命題，，即,的最大值是5.故填:5.【題目點撥】本題考查了根據(jù)全稱命題的真假，求參數(shù)取值范圍的問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，若存在，使，即，若，使恒成立，所以，需注意時任意還是存在問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）利用絕對值不等式求得函數(shù)的最小值.（2）利用基本不等式，證得不等式成立.【題目詳解】（1）依題意，當且僅當時，取得最小值，故的最小值為.（2）由（1）知，，當且僅當時等號成立.【題目點撥】本小題主要考查利用絕對值不等求得最小值，考查利用基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以可得；，進而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)所以；當時，；所以（Ⅱ）易知當時，單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是由奇偶性先求出解析式，屬于一般題．19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設(shè),.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負判斷,屬于難題.20、（Ⅰ）.（Ⅱ）為定值.證明見解析．【解題分析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運用的綜合考查，體現(xiàn)了運用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運用．（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，從而得到其橢圓的方程．（2設(shè)出直線方程，設(shè)點P的坐標，點斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達定理表示出長度，進而證明為定值．（Ⅰ）解：由題意可知，，，解得.…………4分所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設(shè)，依題意，于是直線的方程