2024屆榆林市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆榆林市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的分別為12，4，則輸出的等于（）A．4 B．5 C．6 D．72．給定空間中的直線及平面，條件“直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則()A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則等于（）A． B． C． D．5．如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．6．某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74257．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的公差為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則（）A． B．0 C．1 D．-19．為了調(diào)查學(xué)生每天零花錢的數(shù)量（錢數(shù)取整數(shù)元），以便引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的消費(fèi)觀．樣本容量1000的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在［6,14）內(nèi)的頻數(shù)為（）A．780 B．680 C．648 D．46010．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．8011．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)事件為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．任何兩個(gè)事件均互斥 D．任何兩個(gè)事件均不互斥12．的值是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，且為函數(shù)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為________。14．設(shè)直線l：x+y﹣2＝0的傾斜角為α，則α的大小為_____．15．過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí)，直線的傾倒角等于___________．16．復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.18．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d、前n項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．（12分）設(shè)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.22．（10分）已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，設(shè)，分別是數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分析：本題給只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可（注意避免計(jì)算錯(cuò)誤）．詳解：模擬程序的運(yùn)行，可得，不滿足結(jié)束循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足結(jié)束循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足結(jié)束循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿足結(jié)束循環(huán)的條件，退出循環(huán)，輸出的值為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.2、B【解題分析】分析：利用直線與平面平行的定義判斷即可.詳解：直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，如果兩點(diǎn)在平面同側(cè)，則；如果兩點(diǎn)在平面異側(cè)，則與相交：反之，直線與平面平行，則直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等.故條件“直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的必要非充分條件.故選B.點(diǎn)睛：明確：則是的充分條件，，則是的必要條件．準(zhǔn)確理解線面平行的定義和判定定理的含義，才能準(zhǔn)確答題．3、A【解題分析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30，事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種，∴，本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：條件概率的計(jì)算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值.4、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以分布列關(guān)于對(duì)稱，又所有概率和為1，所以.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì).5、D【解題分析】

根據(jù)與平面的關(guān)系，先找到直線與平面的夾角，然后通過勾股定理求得各邊長(zhǎng)，即可求得夾角的正弦值?！绢}目詳解】連接、相交于點(diǎn)M，連接EM、AM因?yàn)镋M⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面則∠EAM即為直線與平面所成的角所以所以所以選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體線面的夾角關(guān)系，主要是找到直線與平面的夾角，再根據(jù)各長(zhǎng)度求正弦值，屬于中檔題。6、A【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，然后分析剩余的4個(gè)班級(jí)的監(jiān)考方案，計(jì)算可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，有種，而剩余的4個(gè)班級(jí)全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計(jì)數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是掌握分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.7、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件得，由此可得的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的形式特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為15，求得的值．【題目詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，由此求得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】試題分析：頻率分布直方圖中每個(gè)小方塊的面積就是相應(yīng)的頻率，因此所求結(jié)論為.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.10、A【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)互斥事件的定義，逐個(gè)判斷，即可得出正確選項(xiàng)．【題目詳解】為三件產(chǎn)品全不是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件產(chǎn)品全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個(gè)事件由此知：與是互斥事件；與是包含關(guān)系，不是互斥事件；與是互斥事件，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查互斥事件定義的應(yīng)用．12、B【解題分析】試題分析：設(shè)，結(jié)合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點(diǎn)：定積分的幾何意義二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性與奇偶性，再化簡(jiǎn)不等式，解得取值范圍，最后根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義，利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，即得最小值.【題目詳解】由，令，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖?，所以，所以，?因?yàn)闉楹瘮?shù)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以在時(shí)有解，令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，且時(shí)，，所以只需，得.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究方程有解問題，考查綜合分析求解能力，屬難題.14、【解題分析】

根據(jù)直線方程可得斜率，由斜率可得傾斜角.【題目詳解】由直線方程可得斜率為，所以，又，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了由直線方程求傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】試題分析：圓心,當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí),,.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.16、5【解題分析】試題分析：．故答案應(yīng)填：5【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)概念【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如，其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，模為，共軛為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長(zhǎng)公式可得，化簡(jiǎn)得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)軸時(shí)，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以有?原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，所以當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.因?yàn)?，而，所以?dāng)時(shí)，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【題目點(diǎn)撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.18、（1）見證明；（2）.【解題分析】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面BDEF．以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設(shè)平面ABF的法向量y，，則，取，得，設(shè)平面BCF的法向量y，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角則．二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（1）(為參數(shù))；（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)，然后得到與的關(guān)系式，從而利用輔助角公式求得點(diǎn)的直角坐標(biāo)點(diǎn)，從而求得的普通方程．試題解析：（Ⅰ），（為參數(shù)）．（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，，且，，所以，當(dāng)（）時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，，，此時(shí)，，的普通方程為．點(diǎn)睛：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．20、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由得，結(jié)合，求出公差，從而寫出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，采用錯(cuò)位相減