建筑力學(xué) 第13章 虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計算

位移：由于荷載作用、溫度改變、支座移動或其它原因?qū)е碌慕Y(jié)構(gòu)各結(jié)點位置的移動（線位移）或者桿件橫截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)動（角位移）。

結(jié)構(gòu)的位移荷載作用支座移動溫度改變絕對位移：線位移角位移：桁架桿件角位移：相對位移：相對線位移相對角位移：桁架桿件相對角位移：

1、剛度驗算和性能設(shè)計的需要

2、計算超靜定結(jié)構(gòu)必須考慮位移條件。

3、施工技術(shù)的需要，例如建筑起拱

計算結(jié)構(gòu)位移的目的計算位移的有關(guān)假定

1、結(jié)構(gòu)材料服從“虎克定律”，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。

2、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。

3、當(dāng)桿件同時承受軸力與橫向力作用時，不考慮由于桿彎曲所引起的桿端軸力對彎矩及彎曲變形的影響。滿足以上要求的體系為“線變形體系”。因位移與荷載為線形關(guān)系，故求位移時可用疊加原理。虛功當(dāng)位移與作功的力無關(guān)，且在作功的過程中，力的大小保持不變材料力學(xué)：梁的撓曲線微分方程根據(jù)位移邊界條件求待定系數(shù)優(yōu)點：直接求出較精確；缺點：計算較繁。結(jié)構(gòu)力學(xué)：虛功方程力與在力方向上所發(fā)生位移的乘積

功實功力由于自身所引起的位移而作功。ΔFP(FP,Δ)正功、負(fù)功

單根桿件的外力虛功ΔBPPABΔAABmmΔ

A

B變形直桿體系的外力虛功變形直桿體系的虛應(yīng)變能（內(nèi)力虛功）dsdsdsds外力位移內(nèi)力應(yīng)變

在具有理想約束的剛體體系上，如果力狀態(tài)中的力系能滿足平衡條件，位移狀態(tài)中的剛體位移能與約束幾何相容，則外力虛功等于零，即虛功方程剛體虛功方程變形體虛功方程

在變形體系上，如果力狀態(tài)中的力系能滿足平衡條件，位移狀態(tài)中的應(yīng)變能滿足變形諧調(diào)條件(包括位移與應(yīng)變的諧調(diào)和位移與約束幾何相容)，則外力虛功等于虛應(yīng)變能。即虛位移原理：虛力原理：實際力系在虛設(shè)位移上的功，以計算結(jié)構(gòu)的未知力（反力、內(nèi)力）。虛設(shè)力系在實際位移上的功，以計算結(jié)構(gòu)的未知位移。用變形體虛功方程建立平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算一般公式對上述兩種狀態(tài)應(yīng)用虛功原理：（1）靜定、超靜定結(jié)構(gòu)均適用實際位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)虛單位荷載法（2）荷載、溫度變化、支座位移下位移狀態(tài)應(yīng)變的展開（3）計算結(jié)果的正負(fù)（4）沿待求位移方向加虛單位荷載如何施加單位荷載（求線位移、相對線位移）

求哪個方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。如何施加單位荷載（求轉(zhuǎn)角、相對轉(zhuǎn)角）

求哪個方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。荷載作用下位移計算公式平面桿件結(jié)構(gòu)位移的一般公式

1、梁和剛架2、桁架3、拱扁拱4、組合結(jié)構(gòu)[例1]

試求圖示桁架下弦中間結(jié)點5的豎向位移

5V。各桿材料相同，截面抗拉壓模量為E=8.5GPa，A=144cm2。[例3]

求圖示等截面簡支梁（EI=常數(shù)，GA=常數(shù)）中點C的豎向位移ΔCV和B端截面轉(zhuǎn)角

。

()()()結(jié)論：在滿足前述條件下，積分式之值等于某一圖形面積A乘以該面積形心所對應(yīng)的另一直線圖形的縱標(biāo)yC,再除以EI。AB圖乘法計算三個條件1、桿軸為直線。2、EI分段為常數(shù)。3、M、MP圖形中至少有一個為直線圖形。1、yC必須取自直線圖形，若兩個圖形均為直線圖形時，則面積、縱標(biāo)可任意分別取自兩圖形。2、如一個彎矩圖為曲線，另一個是幾段直線組成的折線，則分段疊加。3、當(dāng)桿件為變截面時亦應(yīng)分段計算。4、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖在桿軸線同側(cè)時，取正號；異側(cè)時，取負(fù)號。l/32l/3A=hl/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/4二次拋物線A=hl/3頂點5l/83l/8二次拋物線A=2hl/3h頂點l/2l/2h頂點5、三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須牢記。abcdl6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘。acdlA1A2yC1yC2[例1]試求圖a所示簡支梁A端的角位移和中點C的豎向位移。EI＝常數(shù)。[例2]試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移。EI為常數(shù)。例3：求圖示梁中點的撓度。例4：求圖示梁C點的撓度。CP=1l/2Pl/2l/2CMPPlPaPaMPPPaaaP=1

[例5]試求圖a所示剛架結(jié)點B的水平位移

BH

?？紤]彎曲變形。EI為常數(shù)。[例6]試計算圖a所示剛架在截面C處的轉(zhuǎn)角，EI＝5×104

kN·m2。（弧度）平面桿件結(jié)構(gòu)位移的一般公式

靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時位移計算公式

若每一桿件沿其全長溫度改變相同，且截面高度相同，則：正負(fù)號確定比較虛擬狀態(tài)的變形與實際狀態(tài)由于溫度變化所引起的變形，若二者變形方向相同，則取正號，反之，則取負(fù)號。相應(yīng)地，式中各項均只取絕對值。例1

圖示一桁架，假定由于溫度變化，使桿AC、BC各伸長Δu＝1.2mm,桁架發(fā)生如虛線所示的變形。試求由此而引起的點C的豎向位移Δcv

。注意到桁架各桿中只有桿件AC和BC各伸長1.2mm，則有[例2]

圖示簡支剛架內(nèi)側(cè)溫度升高25oC，外側(cè)溫度升高5oC，各截面為矩形，h=0.5m,線膨脹系數(shù)

=1.010－5,試求梁中點的豎向位移

DV。+25oC+5oCM圖FN圖平面桿件結(jié)構(gòu)位移的一般公式

靜定結(jié)構(gòu)支座位移時的位移計算支座移動不引起靜定結(jié)構(gòu)的變形于是求位移公式簡化為：式中，表示虛擬狀態(tài)的支座反力，c表示實際狀態(tài)的支座位移。

[例1]如圖所示結(jié)構(gòu)，