2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（A）卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1點(diǎn)A及Ω上另一個(gè)定點(diǎn)T的定圓，且“的圓心位于ΔABT內(nèi)．設(shè)P是Ω的弧位于直線AB的異側(cè)，且CD」AB．記ΔCDP的外心為K．證明：(1)點(diǎn)K在ΔTDP的外接圓上；(2)K為定點(diǎn)...PTCΩ·BDAω由于LAPB=90。，CD」AB，故LPBA=LACD=LATD．……………10分所以LPTD+LPKD=LPTA—LATD+2LACD=LPTA+LPBA=180。.又K,T位于PD異側(cè)，因此點(diǎn)K在ΔTDP的外接圓上．……………20分由T,D,P,K共圓及KD=KP，可知K在LDTP的平分線上，而故TB為LDTP的平分線．所以點(diǎn)K在直線TB上.PPTΩKlA??BDω·OC2數(shù)m，均有豐，這里，{x}表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分.證明：存在無窮多個(gè)兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).證明：引理：設(shè)n是正奇數(shù)，且2模n的階為偶數(shù)，則n是好數(shù).引理的證明：反證法．假設(shè)n不是好數(shù)，則存在異于n的正整數(shù)m，使得2n2nn2n22m—2t2n222m—2t2n為2k+1，是一個(gè)偶數(shù).Fk2的階被2模Fk的每個(gè)數(shù)任意染為紅色或者藍(lán)色，則或者存在9個(gè)互不相同的紅色的數(shù)9，或者存在10個(gè)互不相同的藍(lán)色的數(shù)解：所求的最小正整數(shù)為408.此時(shí)最小的8個(gè)紅數(shù)之和為1+55+56+…+61=407，最小的9個(gè)藍(lán)數(shù)之和為對(duì)k<407，可在上述例子中刪去大于k的數(shù)，則得到不符合要求的例子.因此k<407不滿足要求．……………10分另一方面，我們證明k=408具有題述性質(zhì).3rr在1,2,…,16中至少有9個(gè)藍(lán)色的數(shù)或至少n2n2r2rm2m2m2 4222綜上，所求最小正整數(shù)k為408.格中填入?yún)^(qū)間[1,a]中的一個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)第i行的總和為xi，第i列的總和為yi，和為A，第j列中除aij外其余n–1個(gè)數(shù)的和為B，則當(dāng)A>B時(shí)，關(guān)于aij遞增，此時(shí)可將aij調(diào)整到a,λ值不減．當(dāng)A<B時(shí)，關(guān)于aij遞減，此時(shí)可將aij調(diào)整到1,λ值不減．因此，為求λ的最大值，只需考慮每個(gè)小方格中的數(shù)均為1或a的情況．……………10分λ達(dá)到最大值，并且aij最?。藭r(shí)我們有xiaijxi>yxiaijxi<yj.改為a后，行和及列和變?yōu)閤,y，則ij改為a后，行和及列和變?yōu)閤,y，則ijiyx’與λ達(dá)到最大矛盾，故aij=a.若xi<yj，而aij=a，則將aij改為1后，λ不減，且aij變小，與aij的選取矛盾．從而（*）成立.<y2ny12n，故每一行中的數(shù)全都相等（全為1或全為a）.5λkn(na)knn–knnk我們只需求λ0,λ1,…,λn中的最大值.λkλk nnkλkλk今>1今k<記上式右邊為y,則y=.下面證明ye(1010,1011)．……………30分首先證明y<1011.20212022.2022，故(1011–k)xk<1.1011.1012x1010<1.1011.1012x1012<kx1011+k.k=022k=0再證明y>1010，等價(jià)于證明(2022–k)xk>1010xk.(2022–k)xk>(2022–k)=1011x2023，k=01010x