專題12等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類 （解析版）

專題12等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類一、鞏固提升練【題型一】等比數(shù)列定義：構(gòu)造等比【題型二】等比數(shù)列“高斯”積【題型三】“糾纏數(shù)列”【題型四】比值型不定方程【題型五】等比數(shù)列特性：前n項(xiàng)積【題型六】等比數(shù)列與1比較型不等式判斷【題型七】插入數(shù)型等比【題型八】等比數(shù)列單調(diào)性【題型九】等比數(shù)列恒成立求參【題型十】等比數(shù)列下標(biāo)數(shù)列【題型十一】等比數(shù)列求范圍型【題型十二】等比數(shù)列與三角函數(shù)綜合二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)【題型一】等比數(shù)列定義：構(gòu)造等比知識(shí)點(diǎn)與技巧：.已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）（為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列.；（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.（3）（為常數(shù)）可以取倒數(shù)，構(gòu)造新的遞推公式即型，解法回歸到構(gòu)造等比數(shù)列技巧中（4）（為常數(shù)，下同）型遞推式，可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法二：整理得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結(jié)合等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，當(dāng)時(shí)，則，故，顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.故答案為：.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．【答案】123【分析】由已知，根據(jù)給的，通過(guò)，計(jì)算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求和即可.【詳解】由已知，，①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，整理得：，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：123.3.（2021秋·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，則.【答案】241【分析】利用遞推關(guān)系式推出數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】，，即又，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，，故，.故答案為：2414.．（2021春·江西撫州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】本題首先可根據(jù)得出，然后令，求出的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，故答案為：.5.（2020春·湖北武漢·高一湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.【答案】【解析】令，求得，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合恒成立，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，令，可得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，又由恒成立，所以，故實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.【題型二】等比數(shù)列“高斯”積知識(shí)點(diǎn)與技巧：等比數(shù)列等比中項(xiàng)具有“高斯”積技巧若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.“和項(xiàng)”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.1.（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用反證法說(shuō)明，從而得到，即可得到，從而得到，，，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)，則，所以，，，若，則，，，不符合題意；若，則單調(diào)（或?yàn)槌?shù)），此時(shí)不滿足，故不符合題意，所以；當(dāng)，，此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，則，，，不符合題意，當(dāng)，，此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，則，，，不符合題意，所以，故A錯(cuò)誤，又，，又，所以，所以，故對(duì)任意的，，則對(duì)任意的，，故B錯(cuò)誤；又，，所以，，所以，，，所以，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：D．2.（2010·全國(guó)·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．【答案】A【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，且，，則等于（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知求得的值，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理判斷出和為方程的兩個(gè)根，求得和，則可求．【詳解】解：，而，和為方程的兩個(gè)根，解得，或，。，，，，故.故選：B.4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若數(shù)列的前項(xiàng)積有最大值，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．5或6【答案】D【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由已知建立方程組，解之可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求得數(shù)列的前項(xiàng)積，由函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng)．【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，解得．又，得．聯(lián)立，解得，或．當(dāng)時(shí)，解得，，則，所以單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)時(shí)，解得，，則，則當(dāng)或6時(shí)，最大．故選：D．5.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，再把所求的式子用等比數(shù)列性質(zhì)化成用表示即可得解.【詳解】因數(shù)列是正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，所以.故選：C【題型三】“糾纏數(shù)列”知識(shí)點(diǎn)與技巧：糾纏數(shù)列等差數(shù)列某些項(xiàng)（包括復(fù)合型）成等比，或者等比數(shù)列某些項(xiàng)成等差，稱之為“糾纏數(shù)列。糾纏數(shù)列處理思維1.如果是等差數(shù)列中某些項(xiàng)成等比，則設(shè)公差和首項(xiàng)，解方程2.如果是等比數(shù)列中某些項(xiàng)成等差，則設(shè)公比和首項(xiàng)，解方程1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【分析】由題設(shè)，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，進(jìn)而求q、a1，最后由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求S5.【詳解】由題意，，則，可得q3＝，∴q＝，a1＝16，∴S5＝.故選：B2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列為等差數(shù)列，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A． B． C． D．﹣4【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意.所以.所以.故選：B3.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，且，，成等差數(shù)列，則的前4項(xiàng)和（

）A．4 B．40 C．4或40 D．15【答案】B【分析】設(shè)的公比為，由等差數(shù)列性質(zhì)列方程解得，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算．【詳解】解：設(shè)的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以．因?yàn)?，所以，即解得（舍去），或，所以．故選：B．4.已知實(shí)數(shù)b為a，的等差中項(xiàng)，若，b，成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)公式有，等比中項(xiàng)公式有，聯(lián)立可求得的值，即等比數(shù)列公比的值，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)b為a，的等差中項(xiàng)，所以

①，又，b，成等比數(shù)列，所以

②，聯(lián)立①②得，即，所以，解得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，所以，故選：B.5.等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差中項(xiàng)可知，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和：.故選：C.【題型四】比值型不定方程1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可【詳解】不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公比為，則有：解得：則有：故選：D2.已知數(shù)列為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出正項(xiàng)等比數(shù)列的公式q，利用給定條件求出q即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公式為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡(jiǎn)得，解得，.故選：B.4.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．8 C．1或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以【題型五】等比數(shù)列特性：前n項(xiàng)積知識(shí)點(diǎn)與技巧：類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.n=1，得a12.n時(shí)，所以1..已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知求得，寫出通項(xiàng)公式，然后求得積，確定在為偶數(shù)時(shí)，計(jì)算出（），再說(shuō)明且為偶數(shù)時(shí)，即得．【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，可得為偶數(shù)，而在上單調(diào)遞減，；；，則，且，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，，所以，所以時(shí)，取得最大值．故選：D．2.等比數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，所以，則.故選：A3.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和之積為，設(shè)等差數(shù)列的公差為d、等比數(shù)列的公比為q，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】由題意設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，因式分解得，從而得，即可求解出，無(wú)法求解出，可得答案.【詳解】顯然等比數(shù)列不是常數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，其中A，B，C，q為常數(shù)，，，因?yàn)?，即等差?shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和之積為，所以，所以，所以，，，所以不能判斷出的值，故只有④正確.故選：A4.已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【答案】C【分析】先求得，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：C5.已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或5【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{}的通項(xiàng)，再求出并進(jìn)行推理計(jì)算作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是：，因此，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，數(shù)列遞減，，所以取最大值時(shí)n為3或4.故選：C【題型六】等比數(shù)列與1比較型不等式判斷1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)【答案】A【分析】根據(jù)并結(jié)合，得到，，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，而為等比?shù)列，，于是，，則A錯(cuò)誤；，則B正確；，則C正確；因?yàn)椋允菙?shù)列中的最大項(xiàng)，則D正確.故選：A.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整數(shù)的值為4042【答案】C【分析】對(duì)于A，分，和結(jié)合已知條件分析判斷，對(duì)于B，由已知條件可得，再結(jié)合等比中項(xiàng)判斷，對(duì)于C，由已知條件可得，，，從而可得結(jié)論，對(duì)于D，由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷【詳解】∵，∴，或，又，若，則與矛盾，若，則，與矛盾，則，，，∴A錯(cuò)誤∴，∴B錯(cuò)誤，∵且，∴的值是中最大的，∴C正確，∵，，∴使成立的最小正整數(shù)的值為4043，∴D錯(cuò)誤.故選：C3.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再計(jì)算，列式解不等式作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為q，由得，于是得，而，解得，因此，，，由得：，從而得：，而，解得，又，則，所以n的最小值為5.故選：C4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.再分析每一個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，且，，，所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)于B：，故B不正確；對(duì)于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項(xiàng)都為正值，所以無(wú)最大值，所以數(shù)列無(wú)最大值，故C不正確；對(duì)于D：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.故選：D.5.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷①；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②；利用下標(biāo)和定理判斷③；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④，從而得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于①：，，，．又，，且，，故①正確；對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，故③正確；對(duì)于④：，，故④正確．故選：D．【題型七】插入數(shù)型等比1.將等比數(shù)列按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.【詳解】解：由已知得，，，等比數(shù)列的公比．令，則，，所以數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，故．故選：A．2.若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；…在和之間插入n個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列．這樣得到一個(gè)新數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列結(jié)論：①②③④其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列求和的方法逐一判斷：，可得①的正誤；在數(shù)列中是第項(xiàng)，可得②的正誤；由，，得，可得③的正誤；分組求和得，可得④的正誤.【詳解】①,故①正確；②在數(shù)列中是第項(xiàng)，所以，故②錯(cuò)誤；③，，故③正確；④，故④正確.故選：C4.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比為3，等差數(shù)列的首項(xiàng)是-5，公差為1，把中的各項(xiàng)按如下規(guī)則依次插入的每相鄰兩項(xiàng)之間，構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，即在和兩項(xiàng)之間依次插入中n個(gè)項(xiàng)，則（

）A．1950 B．1951 C．1952 D．1953【答案】B【解析】根據(jù)規(guī)律得出數(shù)列的前2020項(xiàng)含有的前63項(xiàng)，的前項(xiàng)，推斷出，最后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出答案.【詳解】構(gòu)成的新數(shù)列中，到共有項(xiàng)當(dāng)時(shí)，共有項(xiàng)，而之間含有的63項(xiàng)則數(shù)列的前2020項(xiàng)含有的前63項(xiàng)，的前項(xiàng)則故選：B5.在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)的和是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)中間兩數(shù)為，，由3，，成等比數(shù)列，知，由，，9等比數(shù)列，知，列出方程組，解方程組從而求得這兩個(gè)數(shù)的和．【詳解】設(shè)中間兩數(shù)為，，則，解之得，所以．故選：D．【題型八】等比數(shù)列單調(diào)性1..已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，，，由可得出，從而分析出時(shí)，，時(shí)，．把方程變形為，引入函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象可得結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時(shí)，，時(shí)，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個(gè)解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們?cè)诤蜁r(shí)相交，無(wú)論還是，由圖象可得，，，時(shí)，，時(shí)，，因此，，，，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)由已知兩項(xiàng)相等得出公差和公比的關(guān)系，考慮到方程有兩解，把此方程變形為，引入函數(shù)，通過(guò)函數(shù)圖象觀察得到和的關(guān)系，從而由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．2.若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D3.設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，，即，或，即，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C4.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.【詳解】由已知，解得或，，此時(shí)數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.5.如果是公比為q的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，那么“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分別從充分性和必要性結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)入手進(jìn)行分析即可得解.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，綜上可得充分性成立；必要性：當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，對(duì)恒成立，可得，；當(dāng)數(shù)列為遞減數(shù)列時(shí)，對(duì)恒成立，可得，；綜上可得必要性成立；“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.【題型九】等比數(shù)列恒成立型求參1.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，若數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列C．恒成立 D．【答案】D【解析】求出，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)可判斷A、B，舉例可判斷C，利用數(shù)學(xué)歸納法判斷D.【詳解】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，解得。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得。因?yàn)闊o(wú)窮數(shù)列，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，所以。對(duì)選項(xiàng)A，若為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，若為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設(shè)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，設(shè)，取，則，，顯然不成立；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由，顯然恒成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，故恒成立，故D正確.故選：D2.（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎獢?shù)列是公比為的等比數(shù)列，是其前和，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分類討論確定的表達(dá)式，再根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法即可求出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)?，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)?，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則不等式變形得，，即，若該不等式恒成立，則，即，所以設(shè)，，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)該不等式不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，若該不等式恒成立，只需，解得（舍去）或，綜上，；若為奇數(shù)，不等式變形得，，滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，是公比為的等比數(shù)列，記，若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推關(guān)系得，結(jié)合若不等式對(duì)一切恒成立，代入解得或，分別討論在這兩個(gè)范圍內(nèi)的條件滿足情況，從而解得參數(shù)a的范圍.【詳解】由知，，則，解得或，若，則不可能對(duì)一切正整數(shù)成立；若，則對(duì)一切正整數(shù)成立，只需即可，即，解得故選：A4.（2021·甘肅武威·武威第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列中，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件求得等比數(shù)列通項(xiàng)，將恒成立不等式移項(xiàng)，利用單調(diào)性來(lái)判斷最值情況，從而求得參數(shù)最大值.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，解得，所以，所以恒成立等價(jià)于恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為，故選：A．5.（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對(duì)恒成立”是“是公比為2的等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列以及充分必要條件的定義即可求解.【詳解】解：若，則，即，根據(jù)等比數(shù)列的定義，是公比為2的等比數(shù)列不成立；若是公比為2的等比數(shù)列，則，即，所以成立；所以“對(duì)恒成立”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.【題型十】等比型下標(biāo)數(shù)列1.（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知遞增數(shù)列對(duì)任意均滿足，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，若，那矛盾，若，那么成立，若，那矛盾，所以，?dāng)，所以，即，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以前項(xiàng)和為.故選：D.2.已知數(shù)列中，，且（），則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別為等比數(shù)列，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式即解.【詳解】∵，,∴，得，由，，得，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴；同理得數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴；∴．故選：D.3.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，n的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求出，進(jìn)而得到，由分組求和得，由判斷出為遞增數(shù)列，計(jì)算出即可求解.【詳解】由題意知：，，，又，故為遞增數(shù)列，又，故當(dāng)時(shí)，n的最大值為6.故選：C.4.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.【題型十一】等比數(shù)列求范圍型1.（2020秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】用表示，然后再求解．【詳解】∵，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，∴，，∴，，時(shí)等號(hào)成立，若，則，若，，∴的取值范圍是．故選：A．2. （2019·浙江·高二專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為，如果實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列和為得到，在由成等比數(shù)列，將用表示出來(lái)，利用二次函數(shù)即可求出的取值范圍．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為，，，，因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，則，且，，當(dāng)時(shí)，最小值為，故的取值范圍為，故選C.3.（2022·河北·高二階段練習(xí)）在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)有三條弦的長(zhǎng)度成等比數(shù)列.則其公比的取值范圍（

）.A． B．C． D．【答案】C【詳解】易得圓的直徑為5，所以過(guò)點(diǎn)的弦長(zhǎng)最大是5.又過(guò)點(diǎn)且垂直于過(guò)該點(diǎn)的直徑弦長(zhǎng)最小，其長(zhǎng)為4.由得，而，所以，且.選C.4.（2019·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為9，如果實(shí)數(shù)構(gòu)成公比不等于的等比數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差中項(xiàng)可得，利用等比中項(xiàng)可得且，故，然后利用二次函數(shù)求出范圍即可【詳解】實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為，，，解得，實(shí)數(shù)構(gòu)成公比不等于的等比數(shù)列，∴，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小值為，∵，∴，故的取值范圍為故選：5.（2017秋·湖南岳陽(yáng)·高二岳陽(yáng)一中階段練習(xí)）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，結(jié)合可得到，結(jié)合即可得到答案【詳解】解：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，由可得，即解得，又，故或，所以的取值范圍是，故選：C【題型十二】等比數(shù)列與三角函數(shù)綜合知識(shí)點(diǎn)與技巧：中，，，或，，三邊成等比，意味著角，熟記此結(jié)論可以提高解小題的時(shí)間.1.（2022·安徽池州·高一階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角、、的所對(duì)的邊、、成等比數(shù)列，且公比為，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：∵，，成等比數(shù)列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，可知的取值范圍是.2.（2022·遼寧·高二練習(xí)）在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列.則的取值范圍是.A．(0,+∞) B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)a、b、c的公比為q.則b=aq,.故.由.3.（2023春·遼寧·高二遼師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角的所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)成等比數(shù)列,有,根據(jù)正弦定理有,根據(jù)三角形三邊關(guān)系,有.所以,即.消掉得.化簡(jiǎn)得：，同時(shí)除以，可得，所以解得.則4.（2022春·重慶·高二統(tǒng)考）設(shè)△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則角B的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：成等比數(shù)列，，，又，．故選C．5.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知中，，，成等比數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，，成等比數(shù)列，得，由正弦定理可得.由余弦定理可得.所以.令.,.所以..故選A.培優(yōu)練1.（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】令，得，當(dāng)時(shí)，，由此推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而得到．【詳解】解：令，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得兩式相減得，即，整理得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴．故答案為：．2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知式可得或，則代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，解得：或，當(dāng)或時(shí)，，，故選：A.3..已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，由，，構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，列式求出公差，則由化簡(jiǎn)得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，構(gòu)成等比數(shù)列，得：，整理得：即．化簡(jiǎn)得：，即．．故選：C．4.正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，則（

）A．或－1 B．或1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，即可得解.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，，即，解得或（舍去），，故選：C5.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，當(dāng)最小時(shí)，的值為（