四年級(jí)奧數(shù)之整除與余數(shù)

四年級(jí)奧數(shù)整除與余數(shù)

【導(dǎo)言】我們學(xué)習(xí)的除法算式有兩種情況，一種是被除數(shù)除以除數(shù)以

后，余數(shù)為0,即數(shù)的整除性；另一種是被除數(shù)除以除數(shù)以后，余數(shù)

不為0,即有余數(shù)的除法。一個(gè)有余數(shù)的除法包括四個(gè)數(shù)：被除數(shù)個(gè)

除數(shù)=商……余數(shù)。這個(gè)關(guān)系也可以表示為：被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)。

下面來總結(jié)一下整除和有余數(shù)除法的特征：

1、整除：

（1）能被2整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，

那么這個(gè)數(shù)能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或

25）整除，那么這個(gè)數(shù)能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是?；?,那么這

個(gè)數(shù)能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或

125）整除，那么這個(gè)數(shù)能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，

那么這個(gè)數(shù)能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位

上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除。

2、有余數(shù)的除法：

（1）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。

（2）一個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。

（3）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。

（4）一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上

的數(shù)字之和的差除以11的余數(shù)相同。（如果奇位上的數(shù)字之和

小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，可用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)

字之和，再除以11,所得的余數(shù)與11的差即為所求）。

【經(jīng)典例題11已知一個(gè)6位數(shù)14A52B能被5和9整除，求這個(gè)6

位數(shù)。

【解題步驟】能被5整除的數(shù)的末位是?；?,能被9整除的末位是

各位上的數(shù)字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。當(dāng)B=0

時(shí)，A取6；當(dāng)B=5時(shí)，A取1。所以這個(gè)6位數(shù)是或

【鞏固練習(xí)】

1、已知一個(gè)五位數(shù)是A1A72能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。

【答案】由于12=3X4,且3和4是互質(zhì)的，所以能被12整除的數(shù)

也就是說即能被3整除又能被4整除。當(dāng)A1A72能被3整除時(shí)，則

有A+l+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因?yàn)檫@個(gè)5位

數(shù)的末兩位是72,能被4整除，所以該數(shù)可以被4整除。所以這個(gè)5

位數(shù)是11172或41472。

2、如果一個(gè)6位數(shù)13A57B能同時(shí)被2、3、5整除，求這個(gè)6位

數(shù)。

【答案】或或

3、有一個(gè)四位整數(shù)16AB如果要讓這個(gè)四位數(shù)同時(shí)能被2、3、4、

5整除，那么這個(gè)四位數(shù)的末兩位上應(yīng)是什么數(shù)？

【答案】20或80

【經(jīng)典例題2】要使六位數(shù)18ABC6能被36整除，而且所得的商最

小，這個(gè)六位數(shù)是多少？

【發(fā)散思維】由于18ABe6能被36整除，36=4X9,且4和9互質(zhì)，

所以這個(gè)6位數(shù)既能被4整除又能被9整除。再考慮“所得的商最小”

這個(gè)條件，應(yīng)首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。

【解題步驟】18ABe6能被4整除，則C6能被4整除，因此C可能

取1、3、5、7、9。18ABe6能被4整除，貝ijl+8+A+B+C+6=15+A+B+C

能被9整除。要使所得的商最小，就要使18ABC6盡可能小，即ABC

盡可能小，因此首先A盡可能小，其次B,最后C盡可能小。先試取

A=0,此六位數(shù)之和為15+B+C,欲使B+C盡可能小，而且15+B+C能

被9整除，則（B+C）取3,因?yàn)锽+C=3,且C只能取1、3、5、7、

9-則C=3,B=0.

當(dāng)A=0,B=0,C=3時(shí)一，此六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，

為+36=5001。

【鞏固練習(xí)】

1、在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被3、

4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能得小。

答案：這個(gè)六位數(shù)是。

2、一個(gè)三位數(shù)減去它的各位數(shù)字之和，其差還是一個(gè)三位數(shù)

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73A,求A是幾?

答案：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為100a+10b+c,根據(jù)題意有

100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b)*9=73A,這就說明73A一

定是9的倍數(shù)，所以A取8。

3、用0、1、3、5、7這五個(gè)數(shù)中的四個(gè)數(shù)字，可以組成許多

能被11整除的四位數(shù)，其中最小的一個(gè)四位數(shù)是多少？

答案：能組成14個(gè)，最小的是1375。

【經(jīng)典例題3］有一個(gè)自然數(shù)，用它去除70、98和143這三個(gè)數(shù)得

到的三個(gè)余數(shù)之和是29,求這個(gè)自然數(shù)。

【發(fā)散思維】如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X,則根據(jù)帶余除式可以得到下面三個(gè)

等式：70=xql+rl,98=xq2+r2,143=xq3+r3,將這三個(gè)等式相加就可以利

用余數(shù)之和為29這個(gè)條件了。

【解題步驟】將上面三個(gè)等式相加可以得到

70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3,

化簡得311=xq+29,

其中的字母q是上面三個(gè)商的和，它是一個(gè)整數(shù)。上面這個(gè)

等式還可以寫成xq=311-29,即xq=282,

從這個(gè)等式發(fā)現(xiàn)x是282的因數(shù)列出282的所有因數(shù)為1、

2、3、6、47、94、141、282,這8個(gè)因數(shù)中哪個(gè)可以成為

x的取值？逐一試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)x=47.

【鞏固練習(xí)】

1、有一個(gè)自然數(shù)，分別去除25、38、43、所得的余數(shù)都不為0,

且這三個(gè)余數(shù)之和是22,求這個(gè)自然數(shù)。

答案：如果把25、38、43三個(gè)數(shù)之和減去三個(gè)余數(shù)之和22,剩下的

數(shù)必然是所求數(shù)的整數(shù)倍。25+38+43=84,84=21X4,即84是4的

21倍。若所求之?dāng)?shù)為4,那么：25=4X6+1,38=4X9+2,43=4X10+3,

而1+2+3!=22,o若所求之?dāng)?shù)為21,那么：25=21義1+4,38=21義

1+17,43=21X2+1,4+17+1=21。所以這個(gè)自然數(shù)為21。

2、有一個(gè)自然數(shù)去除63、90、130都有余數(shù)，且余數(shù)之和為25,

求這個(gè)自然數(shù)。

答案：這個(gè)自然數(shù)是43。

3、用一個(gè)整數(shù)去除454和456,所得的余數(shù)都是17。求這個(gè)自然

數(shù)。

答案：23或46或92。

【經(jīng)典例題4］被除數(shù)除以除數(shù)，商是12,余數(shù)是26,被除數(shù)、除

數(shù)、商、余數(shù)四個(gè)數(shù)的和是454,求除數(shù)是多少。

【發(fā)散思維】被除數(shù)與除數(shù)的和是454-12-26=416。又因?yàn)樯淌?2,

余數(shù)是26,表示被除數(shù)比除數(shù)的12倍還多26,還要再減去26,所

以除數(shù)是(416-26)4-(12+1)=30。

【解題步驟】(454-12-26-26)4-(12+1)=30。

【鞏固練習(xí)】

1、兩數(shù)相除，商是19,余數(shù)是4,被除數(shù)與除數(shù)的差為652,求

被除數(shù)。

答案：688

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2、被除數(shù)除以除數(shù)，商是18,余數(shù)是62,被除數(shù)、除數(shù)、商及

余數(shù)的和是1529,求被除數(shù)是多少。

答案：1376

3、887除以一個(gè)數(shù)，商是52,且除數(shù)比余數(shù)大14,求除數(shù)和余數(shù)各

是多少。

答案：除數(shù)是17,余數(shù)是3。

【經(jīng)典例題5］求111…1除以7的余數(shù)是多少。

―2002個(gè)

【發(fā)散思維】我們用豎式除，觀察商的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)+7=15873,即每

6個(gè)1組成的多位數(shù)能被7整除。2002個(gè)1中有幾個(gè)6個(gè)1,看余幾

個(gè)1,再由此確定余數(shù)。

【解題步驟】20024-6=333……4,11114-7=158……5,

所以111…1除以7的余數(shù)是5。

72002個(gè)

【鞏固練習(xí)】

1、求444…4+9后余幾。

―2003個(gè)

答案：20034-9=222......5,444444-9=4938……2。

【經(jīng)典例題6］已知2002年的1月1日是星期二，那么2002年的12

月5日是星期幾？

【發(fā)散思維】因?yàn)樾瞧谑前匆?guī)律重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，每7天重復(fù)一次，

所以要知道2002年的12月5日是星期幾，就必須知道從1月1日到

12月5日之間有多少天。

【解題步驟】2002不能被4能除為平年，所以2月28天，1、3、5、

7、8、10都是31天，4、6、9、11都是30天。28+31X6+30X5=339

（天），所以339+7=48……3o即339天中有48個(gè)星期零3天，這

三天是從星期二起的3天，所以2002年的12月5日是星期四。

【鞏固練習(xí)】

1、今天是星期三，從今日算起