第三章線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

PAGE19第三章系統(tǒng)的分析——狀態(tài)方程的解§3-1線性連續(xù)定常齊次方程求解一、齊次方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義１、齊次方程狀態(tài)方程的齊次方程部分反映系統(tǒng)自由運動的狀況（即沒有輸入作用的狀況），設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的齊次部分為：線性定常連續(xù)系統(tǒng)：初始條件：２、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義齊次狀態(tài)方程有兩種常見解法：（1）冪級數(shù)法；（2）拉氏變換法。其解為。其中稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（或矩陣指數(shù)函數(shù)、矩陣指數(shù)），記為：。若初始條件為，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣記為：對于線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫為，它是時刻t，t0的函數(shù)。但它一般不能寫成指數(shù)形式。（１）冪級數(shù)法——直接求解設(shè)的解是t的向量冪級數(shù)式中都是n維向量，是待定系數(shù)。則當(dāng)時，為了求其余各系數(shù)，將求導(dǎo)，并代入，得：上式對于所有的都成立，故而有：且有：故以上系數(shù)完全確定，所以有：定義（矩陣指數(shù)或矩陣函數(shù)）：則。（２）拉氏變換解法將兩端取拉氏變換，有拉氏反變換，有則由微分方程解的唯一性可知：【例3.1.1】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，初始條件為，試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)方程的解。解：（１）求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣此題中：，所以（２）狀態(tài)方程的解【例3.1.2】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，初始條件為，試求狀態(tài)方程的解。解：故而二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)（1）（2）（3）證明：（4），證明：（5）證明：，代入上式∴證畢。（6）證明：……….…(1)……………(2)…………….(3)比較（1）、(3)式，有成立。證畢。（7）證明：（8）若，則若，則（9）設(shè)為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，引入非奇異變換后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：證明：將代入中，有∴。證畢。（10）兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣①設(shè)，即A為對角陣，且具有互異元素。則②設(shè)A為約當(dāng)陣，則【例3.1.3試求和A。解：（1）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)4，可知（2）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2，可知【例3.1.4試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)10，可知【例3.1.5解：利用性質(zhì)（1），所以該矩陣不是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?！纠?.1.6】當(dāng)時，當(dāng)時，試求系統(tǒng)矩陣A和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：由性質(zhì)（2）可知：由已知，有∴∴§3-2線性連續(xù)定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程：，求。1、直接積分法左乘，有由于所以，兩端同時積分，有∴注意：若取作為初始時刻，積分可得：2、拉氏變換法，兩邊同時取拉氏變換（當(dāng)時刻的狀態(tài)為）則由拉氏變換卷積定理：在此視為，視為。則（與直接求解結(jié)果相同！）【例3.2.1】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，輸入初始條件為，試求解此非齊次狀態(tài)方程。解：由已知有（1）先求，由前面例題（例3.1.2）（2）求故而特別說明：若，則其狀態(tài)軌跡圖可以MABLAB繪出：%Example3.grid;xlabel('時間軸');ylabel('x代表x1，*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end§3-3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算1、直接冪級數(shù)法2、拉氏變換法3、利用性質(zhì)，采用對角化的方法【例3.3.1】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，試利用對角化的方法求解：，解出特征值，。選用變換陣P，使對角化。由于A為友矩陣，故P可選為：，根據(jù)可推出：而∴4、利用Caylay-Hamilton定理計算（待定系數(shù)法）（1）Caylay-Hamilton定理設(shè)n階矩陣A的特征多項式為：則A滿足其特征方程，即（2）推論1矩陣A的k（）次冪，可表示為A的階多項式，【例如】已知，求解：A的特征多項式為：根據(jù)Caylay-Hamilton定理，有，∴故依次歸納，有：所以有：（3）推論2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩可表示為A的階多項式式中，均為冪函數(shù)?！纠?.3.2】試利用Caylay-Hamilton定理求。解：（1）求系統(tǒng)矩陣A的特征值，解出，（2）一般情況下，對于n個互異的特征值，寫出如下方程組：并解出即可。對于本例：解出，（3）對于系統(tǒng)具有n個互異的特征值的情況，按下式計算：對于本例有：§3-4離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解一、由差分方程建立動態(tài)方程線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用線性連續(xù)動態(tài)方程的離散化得到。SISO線性定常離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為：式中，k表示kT時刻；T為采樣周期；y(k)、u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量；、（，且）為表征系統(tǒng)特征的常數(shù)?？紤]初始條件為零時的Z變換關(guān)系有：，對上邊式子兩邊取Z變換，并整理為：按連續(xù)系統(tǒng)的方法，對做串聯(lián)分解，最后可得到離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一種形式：簡記為：MIMO線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為：離散系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖【例3.4試寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：其中：，，，二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的離散化線性定常非齊次狀態(tài)方程在及作用下的解為：或令，則，則，于是記令，則代換后有故離散化狀態(tài)方程為：輸出方程為：【例3.4采樣周期為T的離散化狀態(tài)方程。解：先求所以：例3.4%Example3.4A=sym('[0,1;0,-2]')B=sym('[0;1]')T='T'[G,H]=c2d(A,B,T)%example3.4symsstT;A=sym('[0,1;0,-2]');B=sym('[0;1]');I=eye(2);L=inv(s*I-A)lap=ilaplace(L)G=subs(lap,'T')H=int(symmul(lap,B),0,T)三、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解兩種解法：遞推法和Z變換法。遞推法：又稱迭代法，對于定常和時變系統(tǒng)都適用。Z變換法：只適用于定常系統(tǒng)。1、遞推法依次令，從而有…………依此類推。遞推公式為：其中稱為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為。（滿足：；）【例3.4，，初始狀態(tài)，，試用遞推法求解。解：顯然，用遞推法求解所得到的不是一個封閉的解析形式，而是一個解序列。采用MATLAB語言，求解例3.%Example3.G=[0,1;-0.16,-1];H=[1;1];U=1;X1=[1;-1];holdon;fork=1:400X1=G*X1+H*Uplot(X1(1),X1