高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題四 立體幾何 專題強化練十 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題強化練十空間幾何體的三視圖、表面積及體積一、選擇題1．如圖，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(A．①②B．①④C．②③D．②④解析：圖①是△PAC在底面上的投影，④是△PAC在前后側(cè)面上的投影．因此正投影可能是①④，選項B正確．答案：B2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A．60B．30C．20D．10解析：由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，則三棱錐A1-BCD是三視圖所示三棱錐，VA1-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10.答案：D3．(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為3.答案：C4．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為()A．18eq\r(6)B．18eq\r(3)C．18eq\r(2)D.eq\f(27\r(2),2)解析：在俯視圖Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三視圖的意義，則BH＝6，HC＝3，根據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3eq\r(2).易知該“塹堵”的側(cè)(左)視圖是矩形，長為6，寬為AH＝3eq\r(2)，故側(cè)視圖的面積S＝6×3eq\r(2)＝18eq\r(2).答案：C5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．πB．2πC．3πD．8π解析：由三視圖知，該幾何體是一個圓柱挖去一個同底的圓錐．所以該幾何體的體積V＝3×π×12－eq\f(1,3)·π×12×3＝2π.答案：B6．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)解析：設(shè)等邊△ABC的邊長為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，得x＝6.設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r＝eq\f(6,sin60°)，得r＝2eq\r(3).所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，則點D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6.故V三棱錐D-ABC的最大值為eq\f(1,3)·S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).答案：B二、填空題7．(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是________．解析：由三視圖知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以其體積V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.答案：68．(2018·濟南市模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖的輪廓是底邊為2eq\r(3)，高為1的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，左視圖是個半圓．則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖知，幾何體是由兩個大小相同的半圓錐的組合體．其中r＝1，高h(yuǎn)＝eq\r(3).故幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π9．已知長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA1的中點，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為________解析：取BD的中點為O1，連接OO1，OE，O1E，O1A則四邊形OO1AE為矩形，因為OA⊥平面BDE，所以O(shè)A⊥EO1，即四邊形OO1AE為正方形，則球O的半徑R＝OA＝2，所以球O的表面積S＝4π×22＝16π.答案：16π10．(2018·鄭州調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱與eq\f(1,8)個球組成的組合體，其體積為eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,8)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(5π,3).答案：eq\f(5π,3)11．(2018·煙臺質(zhì)檢)已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為eq\r(2)的正三角形，PA，PB，PC兩兩垂直，則球O的表面積是________．解析：設(shè)球O的半徑為R，且2R＝eq\r(PA2＋PB2＋PC2).因為△ABC是邊長為2的正三角形，PA、PB、PC兩兩垂直．所以PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，則2R＝eq\r(3)，所以球的表面積S球＝4πR2＝3π.答案：3π三、解答題12．(2018·佛山質(zhì)檢)如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝eq\f(1,2)BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M為PC的中點．(1)證明：DM∥平面PAB；(2)求四面體M-ABD的體積．(1)證明：取PB中點N，連接MN、AN.因為M為PC的中點，所以MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又AD∥BC，且AD＝eq\f(1,2)BC，得MN綊AD，所以ADMN為平行四邊形，所以DM∥AN.又AN?平面PAB，DM?平面PAB，所以DM∥平面PAB.(2)解：取AB中點O，連接PO，PO⊥AB.又因為平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD，取BC中點H，連結(jié)AH，因為AB＝AC，所以AH⊥BC，又因為AD∥BC，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝eq\f(1,2)BC＝1