高中階段12種常見(jiàn)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

高中階段12種常見(jiàn)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)匯報(bào)人：XXX2024-01-22目錄函數(shù)概念與基本性質(zhì)一次函數(shù)與二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)冪函數(shù)與分式函數(shù)超越函數(shù)與其他特殊函數(shù)CONTENTS01函數(shù)概念與基本性質(zhì)CHAPTER函數(shù)定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。函數(shù)的表示方法解析法、列表法和圖象法。函數(shù)定義及表示方法單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。奇偶性設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有x∈D，且f(-x)=-f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性與奇偶性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為y=f^(-1)(x)。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過(guò)u；有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)，記為：y=f[g(x)]。復(fù)合函數(shù)02一次函數(shù)與二次函數(shù)CHAPTER性質(zhì)斜率k決定了直線的傾斜程度。一次函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)都是連續(xù)的。截距b決定了直線在y軸上的位置。圖像：一次函數(shù)的圖像是一條直線。當(dāng)斜率k>0時(shí)，直線從左至右上升；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左至右下降。一次函數(shù)圖像及性質(zhì)二次函數(shù)圖像及性質(zhì)系數(shù)a決定了拋物線的開(kāi)口方向和寬度。性質(zhì)圖像：二次函數(shù)的圖像是一個(gè)拋物線。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。系數(shù)b和c共同決定了拋物線的位置。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式求得。

二次函數(shù)最值問(wèn)題最值存在性由于二次函數(shù)圖像是一個(gè)拋物線，因此在其定義域內(nèi)必然存在最大值或最小值。最值求解二次函數(shù)的最值發(fā)生在其對(duì)稱(chēng)軸上，即x=-b/2a處。將x值代入原函數(shù)即可求得最值y。應(yīng)用二次函數(shù)最值問(wèn)題在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用，如求解最大利潤(rùn)、最小成本等優(yōu)化問(wèn)題。03指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)CHAPTER

指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的一般形式為$y=a^x$，其中$a>0$且$aneq1$。指數(shù)函數(shù)的圖像是一條從原點(diǎn)出發(fā)，隨著$x$的增大而無(wú)限增大的曲線。當(dāng)$a>1$時(shí)，曲線上升；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，曲線下降。指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)包括：過(guò)定點(diǎn)$(0,1)$；在定義域內(nèi)單調(diào)；當(dāng)$a>1$時(shí)，函數(shù)值隨著$x$的增大而增大；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，函數(shù)值隨著$x$的增大而減小。對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為$y=log_a{x}$，其中$a>0$且$aneq1$。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是一條從負(fù)無(wú)窮大出發(fā)，隨著$x$的增大而無(wú)限增大的曲線。當(dāng)$a>1$時(shí)，曲線上升；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，曲線下降。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)包括：過(guò)定點(diǎn)$(1,0)$；在定義域內(nèi)單調(diào)；當(dāng)$a>1$時(shí)，函數(shù)值隨著$x$的增大而增大；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，函數(shù)值隨著$x$的增大而減小。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)03指數(shù)對(duì)數(shù)混合方程求解根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行求解。01指數(shù)方程求解通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)或者換元法等方法，將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。02對(duì)數(shù)方程求解通過(guò)消去對(duì)數(shù)或者換底公式等方法，將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。指數(shù)對(duì)數(shù)方程求解04三角函數(shù)與反三角函數(shù)CHAPTER正弦函數(shù)$y=sinx$圖像為周期性的波浪線，周期為$2pi$，振幅為1，值域?yàn)?[-1,1]$。余弦函數(shù)$y=cosx$圖像為周期性的波浪線，周期為$2pi$，振幅為1，值域?yàn)?[-1,1]$。正切函數(shù)$y=tanx$圖像為周期性的不連續(xù)曲線，周期為$pi$，值域?yàn)?R$（除去間斷點(diǎn)）。三角函數(shù)圖像及性質(zhì)反正弦函數(shù)$y=arcsinx$圖像為單調(diào)遞增的曲線，定義域?yàn)?[-1,1]$，值域?yàn)?[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]$。反余弦函數(shù)$y=arccosx$圖像為單調(diào)遞減的曲線，定義域?yàn)?[-1,1]$，值域?yàn)?[0,pi]$。反正切函數(shù)$y=arctanx$圖像為單調(diào)遞增的曲線，定義域?yàn)?R$，值域?yàn)?(-frac{pi}{2},frac{pi}{2})$。反三角函數(shù)圖像及性質(zhì)$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$，$cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny$。和差化積公式$sinxcosy=frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]$，$cosxsiny=frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]$。積化和差公式$sin2x=2sinxcosx$，$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$。倍角公式$sinfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1-cosx}{2}}$，$cosfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1+cosx}{2}}$。半角公式三角恒等式變換技巧05冪函數(shù)與分式函數(shù)CHAPTER冪函數(shù)的一般形式為y=x^n，其中n為實(shí)數(shù)。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)公式得到，即y'=nx^(n-1)。當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且隨著x的增大而增大；當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)的圖像也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，但隨著x的增大而減小。冪函數(shù)具有可加性、可乘性和可微性，但不具有可積性（除非n=-1）。冪函數(shù)圖像及性質(zhì)010204分式函數(shù)圖像及性質(zhì)分式函數(shù)的一般形式為y=(ax+b)/(cx+d)，其中a、b、c、d為常數(shù)，且ad-bc≠0。分式函數(shù)的圖像通常是一個(gè)雙曲線，其中心位于點(diǎn)(-d/c,a/c)。分式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)公式得到，即y'=(ad-bc)/(cx+d)^2。分式函數(shù)具有可加性、可乘性和可微性，但不具有可積性。03對(duì)于形如x^n=a/b或a/b=x^n的冪分式方程，可以先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用換元法或配方法求解。配方法：通過(guò)配方將原方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后利用開(kāi)平方法進(jìn)行求解。換元法：令y=x^n，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程進(jìn)行求解。在求解過(guò)程中需要注意定義域和值域的限制，以及解的實(shí)際意義。冪分式方程求解方法06超越函數(shù)與其他特殊函數(shù)CHAPTER如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，其圖像是周期性的波浪線。三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)如自然指數(shù)函數(shù)e^x，其圖像是遞增的指數(shù)曲線。如自然對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)，其圖像是遞增的對(duì)數(shù)曲線。030201超越函數(shù)簡(jiǎn)介及圖像展示如x^n(n為實(shí)數(shù))，其圖像根據(jù)n的取值不同而有所變化。冪函數(shù)如雙曲正弦、雙曲余弦等，其圖像類(lèi)似于三角函數(shù)但具有不同的性質(zhì)。雙曲函數(shù)一種擴(kuò)展了階乘概念到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特殊函數(shù)，其圖像具有遞增性質(zhì)。伽馬函數(shù)其他特殊函數(shù)簡(jiǎn)介及圖像展示