2.1幾何證明概述

第二章幾何證明

本章研究的主要內(nèi)容：

一、幾何證明及其方法二、幾類常見幾何問題的證明三、幾個著名的幾何定理精選ppt§2.1幾何證明概述2.2.1命題及其結(jié)構(gòu)1、命題的四種形式〔變化〕★命題的構(gòu)成前提〔題設〕……結(jié)論……命題可分為真命題與假命題★數(shù)學命題的一般形式〔假言命題〕假設P，那么Q.或符號“〞表示推出.精選ppt命題的換質(zhì)——否命題★命題的換位★命題的四種形式——逆命題原命題：假設P,那么Q.逆命題：假設P,那么Q.逆否命題：假設P,那么Q.否命題：假設P,那么Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否精選ppt命題的四種形式的真假關系：互為逆否的命題同真假2、逆命題與逆定理★逆命題就是逆定理嗎？★一個定理的逆定理是唯一的嗎？.如“等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中垂線〞此命題有5個逆定理.精選ppt①②③④精選ppt⑤BADC精選ppt3、充分條件、必要條件與充要條件分析如下命題：

(1)平行四邊形對角線互相平分.(2)菱形對角線互相垂直.4、證明的意義★證明的含義和作用★證明的組成①論題——即要證明的問題②論據(jù)——即為真的命題③論證——即一系列的推理精選ppt5、證明要嚴謹證明中常見的錯誤有：論題錯誤、論據(jù)缺乏、論證不充分等判斷一個命題不成立，通常是找反例.例1有一組對邊相等和一組對角相等的四邊形是平行四邊形ADBC題設：四邊形ABCD中,AD=BC,∠A=∠C.求證：ABCD是平行四邊形.精選pptAFDEBC證明：如圖做輔助線(證明略)思考：以上證明有問題嗎？問題出在哪里？能舉出反例嗎？●EADBC●●如右以下圖所示，作等腰三角形DAE，在AB邊上任取一點B，作等腰梯形BEDC.得四邊形ABCD.顯然四邊形ABCD符合題目條件，但ABCD非平行四邊形.精選ppt例2設兩個三角形有兩邊及外接圓半徑成比例，那么必相似.(前蘇聯(lián)中學教材中定理)ABCMNO證法一：在如圖兩三角形中有(O,

是外心)那么同理可證：故精選ppt證法二：如圖，那么因表圓半徑)可見從而[證畢]思考：以上證明一定成立嗎？可考慮的特例，即得：“同園內(nèi)接兩三角形，假設有兩邊分別相等，那么必全等〞這顯然不成立！(如下頁圖)精選ppt例3一個三角形的兩邊和其中一邊的高，同另一三角形的兩邊和其中一邊的高對應相等，那么此兩個三角形全等.(這曾經(jīng)是我國初中課本上的一道習題)證題思路如以下圖：精選ppt作業(yè)：1．例3中的結(jié)論成立嗎？如不成立試舉出反例.2.寫出命題“兩直線夾角的平分線上一點距此兩邊等遠〞的逆命題、否命題及逆否命題，并證明其逆命題.3.證明：圓外切四邊形的一雙對邊之和等于另一雙對邊之和.表達并證明其逆定理.3題逆定理證明提示：(用反證法或同一法)精選ppt2.1.2直接證法與間接證法

1.直接證法與間接證法的意義⑴直接證法這種由原題入手的證明方法叫直接證法.⑵間接證法將一個命題改為它的等效命題來進行證明，這樣的證明方法叫間接正法.精選ppt①反證法反證法就是證明一個命題時，直接證明不容易，而證明其逆否命題成的一種方法.運用反證法證明的一般步驟是：Ⅰ否認結(jié)論；Ⅱ由此結(jié)合推出矛盾；Ⅲ因此原結(jié)論不能為假，只能為真。精選ppt反證法的類型：歸謬法——結(jié)論的反面只有一款。窮舉法——結(jié)論的反面有假設干款。應用舉例：例4園內(nèi)不是直徑的兩弦，不能平分。：求證：證明：〔用歸謬法證〕精選ppt例5直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。：求證：證明：〔用窮舉法〕精選ppt②同一法

當欲證某圖形具有某種性質(zhì)而又不易直接證明時，有時候可以作出具有所示性質(zhì)的圖形，然后證明所作圖形就是同一個，把它們等同起來。這種證法叫做同一法。能用同一法證明的命題，實際上是依據(jù)事實：具有所示性質(zhì)的圖形是唯一的。例5以正方形ABCD的一邊CD為底向形內(nèi)作等腰三角形ECD使其兩底角為，那么是等邊三角形。精選ppt證明方法直接證法間接正法反證法同一法歸謬法窮舉法〔3〕證明方法分類證明：〔同一法〕精選ppt作業(yè)：1.兩圓相交，那么其交點不能在連心線的同側(cè).2.假設與有公共底邊，且，那么點在外部.3.設梯形兩腰之和等于一腰，那么此腰兩鄰角的平分線必通過另一腰的中點.4.以正方形一邊為底在正方形所在的一側(cè)作等腰三角形，使其頂角為，那么將其頂點與正方形另兩頂點連接，必構(gòu)成正三角形.精選ppt2.1.3分析法與綜合法1.分析法

——執(zhí)果索因DCBA…………(因)(果)向下找結(jié)論的充分條件精選ppt例6外接于，那么它們的對角線共點。證法一：〔用分析法證〕欲證它們對角線共點.只需證AC與EG互相平分.即只需證AECG是平行四邊形.又只需證AE=CG.又只需證，而此容易得證.精選ppt例7為的中線上任一點，且，求證：證明：(用分析法)欲證①只需證②(注意到與)只需證，③只需證，④④式顯然成立.精選ppt⑴選擇性分析法選擇性分析法解題，就是從要求解的結(jié)論B出發(fā)，希望能一步步把問題轉(zhuǎn)化，但又難以逆推轉(zhuǎn)化，進而轉(zhuǎn)化為分析要及到結(jié)論B需要什么樣〔充分〕的條件，并為此在探求的“三岔口〞作方向猜測和方向擇優(yōu)。假設有條件C就有結(jié)論B，即C就是選擇找到的使B成立的充分條件〔CB〕；同樣的，再分析在什么樣的條件下能選擇及到C，即DC；…；最終追溯到此結(jié)論成立或命題的某一充分條件〔或充分條件組〕恰好是條件或結(jié)論A為止。在運用選擇性分析法解題時，常使用短語：“只需···即可〞來刻劃。精選ppt例8如圖，四邊形的一條對角線平行于兩對對邊之交點的連線，求證：平分.(1978年全國數(shù)學競賽題)BMCNDEFA分析：欲證的是線段等量關系，可試運用比例線段轉(zhuǎn)化來探討，但又不易直接證〔假設作輔助線證又另當別論〕，從而運用分析法來求解.證明：設AC交BD于M，交EF于N，那么.精選pptBMCNDEFA要證BM=MD,作方向猜測，只需證NE=NF或即可.事實上這不容易證，于是再作方向猜測，欲證BM=MD，只需證或即可.而,從而只需證即可.又只需證即可.精選ppt而,故欲證結(jié)論獲證.精選ppt⑵可逆性分析法如果在從結(jié)論向條件追溯的過程中，每一步都推求的充分必要條件，那么這種分析法又可叫可逆分析法。因而用可逆分析法命題用選擇性分析法一定能證明；反之，用選擇性分析法證明的命題，用可逆性分析法不一定能證明。在可逆性分析法的證明中，常用符號“〞來表示，或最后指出“上述每步可逆，故命題成立〞。精選ppt例9凸四邊形的四邊長分別為，兩對角線長為，那么四邊形的面積為：證明：欲證①，那么需證①注意到計算四邊形的另一形式的面積公式(由三角形面積公式推導而來)，兩對角線夾角為時，，那么需證精選ppt即那么需證再注意到余弦定理，如圖有精選ppt那么上述步驟每步均可逆，故原結(jié)論獲證.注：此例結(jié)論成為布瑞須賴爾德(Bretschneider，1808~1878)公式.精選ppt⑶構(gòu)作性分析法如果在從結(jié)論向條件追溯過程中，在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口〞處，需采取相應的構(gòu)作性措施：如假設一些條件，作某些輔助圖或式等，再進行探索、推導，才能追溯到原命題的條件〔或稍作變形處理〕的分析法叫做構(gòu)作性分析法。精選ppt例10如圖，是的中線，任意引直線交于，交于.求證：.分析：注意到題中有中點，而求證式是一個比較特殊的比例式.需要轉(zhuǎn)化來求解.證法一：欲證，只需證即可.假設延長AD至H，使，那么只需證EF∥BH.精選ppt而由題設，D為BC中點，那么BHCE為平行四邊形，即有EF∥BH.故原命題獲證.證法二：欲證，只需證即可.假設取FB的中點G，那么只需證EF∥DG即可.而由題設，D為BC中點，即DG為⊿BCF的中位線，即有EF∥DG.故原命題獲證.精選pptabcdefABCDEF例11如圖，設凸四邊形ABCD的邊長分別為a,b,c,d，兩對角線長分別為e,f.求證：證明：(留作研究題目)注：(1)此例是布瑞須賴爾德發(fā)現(xiàn)的“四邊形余弦定理〞.(2)由此例可得托勒密(Ptolemy)定理：四邊形中，，并且等號當且僅當四邊形內(nèi)接于圓時成立.精選ppt⑷設想型分析法(合情推理)在向條件的追溯過程中，借助于有根據(jù)的設想、假定，形成“言之成理〞的心構(gòu)思，再進行“持之有據(jù)〞的驗證逐步地找出正確途徑的分析法又稱為設想型分析法.在求解一些關于位置關系、軌跡、作圖等問題時，常采用這種方法.例12在銳角三角形的三邊上各找一點，使以三點為頂點的三角形周長最小.例13兩邊求作三角形，使這兩邊上的中線互相垂直.以上兩例在學習合情推理時再討論.精選ppt例14如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，求在此三角形內(nèi)部且到底邊的距離等于兩腰的距離的幾何平均值的點的軌跡.ABCEFHM精選ppt2.綜合法——由因?qū)Ч鸄BCD…………(果)(因)向下推精選ppt深入開掘題設內(nèi)涵，充分運用條件是熟練地運用綜合法解題的關鍵.例15外接于，那么它們的對角線共點。證法二：〔用綜合法證〕把分析法與綜合法結(jié)合起來，在分析中有綜合法，在綜合法中有分析法或交叉使用去論證，求解命題的思維方法叫做分析綜合法。它通常是從一個例題的兩點向中間“擠〞，這樣，容易發(fā)現(xiàn)證題的突破口，收到事半功倍的效果。精選ppt作業(yè)：(用綜合法或分析法證明以下各題)1．中，在上任取一點E，在AB的延長線上取一點D，使BD=EC.證明BC平分DE.2．證明等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為常量.3．證明等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差為常量.4．證明等邊三角形內(nèi)部任意一點到三邊的距離之和為常量.(又假設此點去在取在三角形外，命題將如何變化？)精選ppt2.1.4演繹法與歸納法1.什么是推理？推理是從一個或幾個判斷得出一個新的判斷的思維形式.★推理與證明的區(qū)別與聯(lián)系★最常見的三類推理:歸納推理;演繹推理;類比推理.在幾何中還常用到合情推理.2.歸納推理★歸納推理是從特殊到一般的思維方法(歸納法).精選ppt歸納推理完全歸納枚舉法(對象有限)數(shù)學歸納法(對象無限)不完全歸納法★★枚舉法舉例例16證明在圓內(nèi)同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍.證明(略)：(分三種情況進行枚舉歸納，即圓心在圓周角的一條邊上，圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外)(作出圖形進行分析說明)精選ppt★數(shù)學歸納法舉例例17圓上一點至內(nèi)接偶數(shù)多邊形相間各邊距離之積,等于該點至其余各邊的距離之積.：是圓內(nèi)接邊形,圓上一點P到各個邊所在直線……的距離依次記為.求證：=精選ppt證明：(1)當n=2時，即可述為如下命題：從圓上一點到內(nèi)接四邊形ABCD各邊做垂線PE、PF、PG、PH,那么.(如圖)易證,從而易得.即當n=2時命題成立.PP精選ppt(2)設定理對于n成立,證明它對于n+1也成立.如圖,由歸納假設對于2n邊形有=.而對于四邊形有.兩式相乘約去因子p.即得求證.故,對取任意自然數(shù)命題都成立.Pp精選ppt★不完全歸納舉例例18凸n邊形內(nèi)角和為.3.演繹推理★演繹推理是從一般到特殊的思維方法.★演繹推理中最常見的形式是三段論三段論由三個局部組成:大前提(全稱判斷),小前提(特殊判斷),結(jié)論(最后的判斷).例如：凡矩形對角線相等，(大前提)

正方形是矩形,(小前提)

所以,正方形對角線相等.(結(jié)論)精選ppt三段論式推理可以用公式表示為：所有的M都是B〔大前提〕S是M〔小前提〕故S是M〔結(jié)論〕★數(shù)學證明中演繹推理舉例數(shù)學中的三段論,為了表達簡便,常常略去一個前提(多半是大前提),有時甚至略去小前提只寫出結(jié)論.例19(如圖)D是線段BC的中點,過D引射線,A是射線上任一點.求證:∠ACB,∠ABC的大小順序不變,與A的位置無關.(以下對證明過程進行剖析)精選ppt證明：不妨設∠ACB

＞∠ABC,在射線DA上任意取一,即需證明.因為∠ACB＞∠ABC所以,AB＞AC(三角形中大角對大邊)那么∠ADB＞∠ADC(兩三角形假設有兩邊對應相等,那么第三邊大者對角也大)因而〔兩三角形假設有兩邊對應相等,那么夾角大者對邊也大)那么〔三角形大邊對大角〕精選ppt4．類比推理★什么是類比推理?根據(jù)兩個對象在某些屬性上的相同而得出這兩個對象在其他屬性上也可能相同的結(jié)論.如對象A有屬性a、b、c、d,對象B有屬性a、b、c,那么就可以得出對象B也有屬性d這一結(jié)論.類比推理是一中或然性的推理,它只能給人們提供線索、啟發(fā)人們思考和發(fā)現(xiàn)問題,結(jié)論是否正確,還必須借助其他方法驗證.精選ppt★類比推理舉例例20在直角三角形中,有勾股定理.相應的,取空間中這樣的四面體:它的三個面是直角三角形,把這四面體的這三個面看成直角三角形的直角邊,而把第四面看作斜邊.又把這四面體的面積看作直角三角形相應的各邊長.于是猜測命題〞……那三面的面積的和等于第四面的平方〞該問題留給同學們自己研究.精選ppt5.合情推理★什么是合情推理?

★論證推理與合情推理的關系

★幾何問題中的合情推理——猜測例21過O外兩點P、Q，作一圓與此圓相切。精選ppt分析：首先設想圓已經(jīng)作出……作法：〔略〕證明：〔略〕精選ppt例22由等邊三角形內(nèi)任一點，向三邊作垂線，那么三垂線段長之和為定值。分析：〔如圖，略〕證明：〔略〕精選ppt作業(yè)：1．三角形兩邊之積等于第三邊上的高于外接圓之積.(運用此結(jié)論可以證明例20而不用數(shù)學歸納法)用普通歸納法證明2-3題2.設圓O與O’交于P、Q兩點，過Q任作一直線交圓于A、B，那么∠APB＝∠OPO’.3.在⊿ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中點，求證.用數(shù)學歸納法證明4-5題4．圓內(nèi)接偶數(shù)多邊形相間各角之和等于其余各角之和.精選ppt5.從一點M作多邊形A1A2、A2A3、…、AnA1的垂線MH1、MH2、…、MHn，那么.6.證明：從圓上一點到其內(nèi)接四邊形一雙對邊的距離之積，等于從該店到兩條對角線的距離之積.7.設A、B、C、D為直線上順次四點，證明歐拉定理：.假設使用有向線段，那么不管四點順序如何，上式總成立.8.兩邊求作三角形，使這兩邊上的中線互相垂直.精選ppt9.在中，，求在此三角形內(nèi)部且到底邊的距離等于兩腰的距離的幾何平均值的點的軌跡.精選ppt2.1.5幾何證明的其他方法——面積法、代數(shù)法、三角法、解析法、復數(shù)法、向量法等1.面積法★面積法解題的根本依據(jù)(1)幾個面積公式設在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊依次為a、b、c，ha為a邊上的高，R為外接圓的半徑，r為內(nèi)切圓的半徑，p為三邊之長的一半，S⊿ABC表示⊿ABC的面積，那么有①②

精選ppt③

④

⑤

⑥設凸四邊形ABCD的邊長為a、b、c、d，兩對角線長為e、f，兩對角線夾角為，表示四邊形ABCD的面積，那么有⑦⑧

精選ppt假設記為一雙對角和，那么⑨⑩

⑩

(2)幾個常用的等積變形定理①面積分割原理：一個圖形的面積等于它的各個局部面積之和；②兩個全等形的面積相等；③等底〔含同底〕等高的兩個三角形面積相等；反之假設兩三角形等高〔或等底〕且等積，那么它們等底〔或等高〕；精選ppt④等積平行定理：；且點在BC的同側(cè)∥.①相似圖形的面積比等于其相似比的平方；②兩個同〔等〕底的三角形〔平行四邊形〕的面積比等于這邊上對應高的比；③兩個同〔等〕高的三角形〔平行四邊形〕的面積比等于它們底邊的比；

(3)幾個常用的面積比定理精選ppt④夾在兩條平線間的兩個平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果截得兩條線段之比總等于一個常數(shù)，那么這兩個平面圖形的面積之比為；⑤共邊比例定理：假設與的公共邊所在的直線與直線PQ交于M，那么；⑥共角比例定理：假設在與中，或，那么；精選ppt⑦內(nèi)接于同一圓的兩個三角形的面積比等于三邊乘積的比.(4)幾個重要結(jié)論①三角形的三條中線將該三角形分成等面積的六個小三角形.②平行四邊形的兩條對角線將平行四邊形分成面積相等的四個小三角形.③平行四邊形一邊上任一點與對邊兩端點的連線將該平行四邊形分成等積的兩局部.④平行四邊形內(nèi)任一點與四頂點的連線將其分成四個三角形，那么對頂?shù)膬蓚€三角形面積之和相等.⑤任意凸四邊形兩對角線將該四邊形分成四個三角形，對頂?shù)膬扇切蚊娣e之積相等.精選ppt★面積法解題舉例例23用面積法證明勾股定理.BACDEFGHI精選pptABCPDEF

例24設P是⊿ABC的∠A平分線上的任意一點，過C引CE∥PB交AB延長線于E，過B引BF∥PC交AC的延長線于F，求證：BE＝CF.精選ppt

2.代數(shù)法

例25在同底的一切周長相等的三角形中，面積最大的是哪一種三角形？

證明：(可用代數(shù)法證)借助于代數(shù)式的計算而獲得幾何命題的證明方法叫做代數(shù)法.

用代數(shù)法證幾何題，關鍵是把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對其數(shù)量關系的討論.也就是說，把幾何問題代數(shù)化.精選ppt例26正方形ABCD，在BC邊上任取一點E，過E作AE的垂線交角C的外角平分線于F.求證：AE=EF.

3.三角法

利用圖形已有的三角形(或添加輔助線，出現(xiàn)三角形)和題中給出的某些線段和角的特定關系，通過構(gòu)成三角函數(shù)式，結(jié)合三角知識通過三角運算，從而使命題獲證的方法稱為三角法.它是幾何證明中的一種常用方法.證明一：(純幾何法)精選ppt

證明二：(三角法)精選ppt例27證明三：(用解析法證)4.解析法解析法也稱坐標法，就是把平面幾何圖形通過建立直角坐標系，把平面上的點和直線與數(shù)或方程對應，化為代數(shù)式或方程，通過代數(shù)運算或解方程到達論證的目的.解析法的關鍵是恰中選擇坐標系，此外還要熟練掌握和藹于使用解析幾何有關公式、定理.精選ppt

5.向量法

在幾何學中，把幾何圖形看作點的集合，而平面上的點、線段、可表示為向量.因此可以把作為點的集合的幾何圖形看作是向量的集合.這樣，平面幾何中涉及的度量關系和位置關系，都可以表示為某種向量代數(shù)的運算.這種借助于向量代數(shù)的運算來證幾何題的方法稱為向量法.向量法具有書寫簡便，便于運算等優(yōu)點.但往往難點在于選擇媒介向量，在解題時，要善于把條件與結(jié)論的關系或中間向量聯(lián)系起來，溝通與未知的聯(lián)系.精選ppt

例28證明三角形重心定理AGEDCB

[分析]如圖，D,E是⊿ABC邊AC,AB的中點，BD,CE交于G.

易知精選ppt

6.復數(shù)法復數(shù)x+yi(x,y為實數(shù))與復平面上的點可以建立一一對應關系.把幾何圖形的點看作對應于復平面的復數(shù)，借助于復數(shù)的運算，獲得幾何命題證明的方法稱為復數(shù)法.用復數(shù)法證明幾何題，首先將題目給出的條件“翻譯〞成復數(shù)的假設干關系式，然后經(jīng)過一系列的復數(shù)運算，得出一批新的關系式，最后把它們再“翻譯〞所需要的幾何結(jié)論.幾何條件復數(shù)關系新的復數(shù)關系幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化幾何推理復數(shù)運算轉(zhuǎn)化精選ppt

例29如圖，在矩形OABC中，MN＝OA，AN＝1，AB＝5，OD＝DE

＝EA

＝

.求證：O