四川省成都市2023年中考模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

四川省成都市2023年中考模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.下列是正方體展開圖的是（）

2.一家商店將某種服裝按成本提高40%標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件服裝仍可獲利15元，則

這種服裝每件的成本價(jià)是（）

A.115元B.120元C.125元D.130元

3.中國華為麒麟9000處理器是采用5納米制程工藝的手機(jī)芯片，在它的尺寸上塞進(jìn)了153億個(gè)晶

體管，是世界上最先進(jìn)的具有人工智能的手機(jī)處理，153億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.53x109B.15.3x108C.1.53xIO10D.1.53x1011

4.如圖所示，在△ABC中，CD,BE分別是4B,4C邊上的高，并且CO,BE交于點(diǎn)P,若乙4=

50°,則NBPC等于（）

5.如圖，Rt△4OB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y=［與△AOB的斜邊40相交于點(diǎn)C,與另一

直角邊AB相交于點(diǎn)D.若絲=今貝必。8。與△ABO的面積比為（）

6.如圖，在菱形ABCO中，AB=BD,點(diǎn)E,F分別是邊/B,ZD上任意點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且

AE=DF,連接BF,0E相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H,下列結(jié)論：①△4E0三△QPB；

②NBGE的大小為定值；③CG與BD一定不垂直；④若4F=2O尸，貝！|BG=6GF,其中正確的結(jié)論

C.③④D.①③④

7.如圖，多邊形442A3…4是。。的內(nèi)接正n邊形，已知。。的半徑為r,乙打。々的度數(shù)為a，點(diǎn)

O到4送2的距離為d,△GO%的面積為S.下面三個(gè)推斷中.

①當(dāng)n變化時(shí)，a隨n的變化而變化，a與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若a為定

值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若n為定值,

當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.如圖是拋物線y=-（久+1）2+1的一部分，其頂點(diǎn)為M,與y軸交于點(diǎn)（0,3）.與x軸的一個(gè)交

點(diǎn)為A,連接MO,MA,給出以卜四個(gè)結(jié)論：=4；8）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（—2,3）;③）SAOMA=4；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

9.定義[劃為不大于x的最大整數(shù)，如[2]=2,[b]=1,[4.1]=4,則滿足[迎]=5，則n的最大

整數(shù)為.

10.如圖，長方體中/B=10,BC=4,BF=3,P為HG中點(diǎn),在P處有一滴蜂蜜，一只螞蟻從點(diǎn)

A出發(fā)，沿長方體表面到點(diǎn)P處吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是.

11.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30。的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限.其斜邊兩端點(diǎn)4、B分別

落x軸、y軸上，且AB=13cm,點(diǎn)C與點(diǎn)0的距離的最大值=cm.

12.如圖，大樓AD高30m,遠(yuǎn)處有一塔BC,某人在樓底A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5。，爬到樓頂D測

得塔頂?shù)难鼋菫?0。，則塔高BC為m.

13.如圖，在矩形OAHC中，OC=8百，04=16,B為CH中點(diǎn)，連接4B.動點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)沿04

邊向點(diǎn)A運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動，兩個(gè)動點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單

位長度，連接CM,CN,MN,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(0<t<16)秒.則t=時(shí)，aCMN為直角

三角形.

Bn

O_A

三、解答題

14.

(1)因式分解:x2(x—3)+y2(3—x)

(2)已知％+y=3,xy=2,求2/y+4/必+2到3的值.

15.根據(jù)公安部交管局下發(fā)的通知，自2020年6月1日起，將在全國開展“一帶一盔”安全守護(hù)行

動，其中就要求騎行摩托車、電動自行車需要佩戴頭盔.某日我市交警部門在某十字路口共攔截了50

名不帶頭盔的摩托車、電動自行車騎行者，根據(jù)年齡段和性別得到如下表的統(tǒng)計(jì)信息：

年齡X(歲)人數(shù)男性占比

%<20450%

20<x<30m60%

30<%<402560%

40<x<50875%

%>503100%

請根據(jù)表中信息回答下列問題:

(1)統(tǒng)計(jì)表中？n的值為；

(2)若按照表格中各年齡段的人數(shù)來繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，則年齡在"304x<40”部分所對應(yīng)扇形

的圓心角的度數(shù)為多少？

(3)若從年齡在“x<20”的4人中，隨機(jī)抽取2人參加交通安全知識學(xué)習(xí)，求恰好抽到2名男性

的概率.

16.燕子洞是大自然賦予人類的神奇奧妙的天然大溶洞，只有真正走進(jìn)燕子洞的人，才會領(lǐng)略到燕

子洞雄奇壯美的自然景觀，為大自然之神工妙筆所嘆服，洞口垂直高度比世界吉尼斯紀(jì)錄的馬來西

亞沙撈越洞高度還要高大，被稱為“天下第一高大洞穴如圖，小紅到此地游玩，對燕子洞的高度頗

感興趣，于是用自己帶來的無人機(jī)測量數(shù)據(jù)，再用自己以前學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)知識來推算高度，已

知無人機(jī)A與洞口水平距離是93m,從無人機(jī)A看燕子洞頂部B仰角為30。，看山洞底部C俯角為

60。，小紅看向無人機(jī)A的仰角為70。,(參考數(shù)值：sin70°?0.94,cos70°~0.34,tan70°?

2.74,V3?1.73)

燕

子

洞

請回答以下問題:

（1）請求出燕子洞的高度（結(jié)果精確到個(gè)位）.

（2）若小紅身高1.6小，此刻正站在一塊1.29爪高的巖石上操控?zé)o人機(jī)，請你求出小紅與燕子洞洞

口的水平距離（結(jié)果精確到個(gè)位）.

17.如圖，ZkABC為。。的內(nèi)接三角形，AD1BC,垂足為D,直徑AE平分NBAD,交BC于點(diǎn)F,連

結(jié)BE.

A

(1)求證：Z.AEB=/.AFD-,

(2)若10,BF5,求。尸的長;

(3)若點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DG,若點(diǎn)。在OG上，求BF：FC的值.

18.定義：如圖1,點(diǎn)P為n40B平分線上一點(diǎn)，/MPN的兩邊分別與射線0/,OB交于M,N兩

點(diǎn)，若ZMPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OM?ON=OP2,貝1J稱NMPN是乙4OB的“夢之角”.

（1）如圖1,已知乙408=60。，點(diǎn)P為心4OB平分線上一點(diǎn)，/MPN的兩邊分別與射線（M,OB

交于M,N兩點(diǎn)，且/MPN=150。.求證：NMPN是乙4OB的'‘夢之角”；

（2）如圖2,已知乙4OB=a（0。＜a＜90。），OP=3,若NMPN是N40B的“夢之角”，連接

MN,用含a的式子分別表示乙MPN的度數(shù)和^MON的面積；

（3）如圖3,C是函數(shù)y=［（久＞0）圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于點(diǎn)

A,B兩點(diǎn)，且滿足BC=3C4,乙4OB的“夢之角”為乙4PB,請直接寫出OP的長及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

四、填空題

19.已知a,b,c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足'女=3?若w=3a+2b+5c,則W的最

12a+3b+4c=100

大值為.

20.2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診.當(dāng)疫情出現(xiàn)后，各級

政府及有關(guān)部門高度重視，堅(jiān)決阻斷疫情傳播.開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營公司為了防疫需要，引

進(jìn)一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，該產(chǎn)品有三種型號，通過市場調(diào)研后，按三種型號受消費(fèi)者喜愛的程

度分別對A型、B型、C型產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,45%出售（三種型號的成本相

同）.經(jīng)過一個(gè)月的經(jīng)營后，發(fā)現(xiàn)C型產(chǎn)品的銷量占總銷量的,且三種型號的總利潤率為35%.第二

個(gè)月，公司決定對A型產(chǎn)品進(jìn)行升級，升級后A型產(chǎn)品的成本提高了25%,銷量提高了20%；B

型、C型產(chǎn)品的銷量和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個(gè)月成本基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,50%出

售，則第二個(gè)月的總利潤率為.

21.如圖，已知A4BC中，^CAB=20°,/.ABC=30°,將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到△

AB'C,以下結(jié)論：?BC=B'C,②ACIIC'B',③C'B’J.BB',=/.ACC,其中正確結(jié)

論的序號是.

22.如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y=-/+6的部分圖像與其關(guān)于直線y=%的對稱圖形組成.點(diǎn)A是

直線y=x上方“愛心”圖案上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B是其對稱點(diǎn).若力B=4或,則點(diǎn)A的坐標(biāo)

23.已知：如圖，Rt/kABC中，乙4cB=90。，AC=BC=12,圓C半徑為6,P為斜邊上的一個(gè)

動點(diǎn)，PM、PN分別與圓C相切于M、N,連接MN交PC于點(diǎn)Q,則/Q的最小值為.

24.近年來我國國內(nèi)幼兒教育機(jī)器人發(fā)展趨勢迅猛，市場上出現(xiàn)了滿足各類要求的幼教機(jī)器人產(chǎn)

品“雙十一,‘當(dāng)天，某品牌幼教機(jī)器人專賣店抓住機(jī)遇，對最暢銷的A款幼教機(jī)器人進(jìn)行促銷，一臺

A款幼教機(jī)器人的成本價(jià)為850元，標(biāo)價(jià)為1300元.

(1)一臺A款幼教機(jī)器人的價(jià)格最多降價(jià)多少元，才能使利潤率不低于30%；

(2)該專賣店以前每周共售出A款幼教機(jī)器人100個(gè)，“雙H^一”狂購夜中每臺A款幼教機(jī)器人

在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)2m元，結(jié)果這天晚上賣出的A款幼教機(jī)器人的數(shù)量比原來一周賣出的A款幼

教機(jī)器人的數(shù)量增加了*m%,同時(shí)這天晚上的利潤比原來一周的利潤增加了m%,求m的值.

25.已知拋物線y=/一(2m+2)x+Tn?+26(?n是常數(shù))與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A在B的左

側(cè).

(1)若拋物線的對稱軸為直線x=2,求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，C(a,—1),D(4,n)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD下方拋物線上

的一動點(diǎn)，連接PC,PD,求△PCD的面積最大值；

(3)已知代數(shù)式M=m2+5m,記拋物線位于x軸下方的圖象為a,拋物線位于x軸上方的圖象

為72,將T1沿久軸翻折得圖象73,73與72組合成的新圖象記為7,當(dāng)直線y=%+1與圖象T有兩個(gè)交

點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象求M的取值范圍.

26.如圖.已知△NBC為等腰直角三角形，乙4=90。，D、E分別為4C、BC上的兩點(diǎn)，CD=&BE,

連接DE,將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得EF,連接DF與AB交于點(diǎn)M.

(1)如圖1,當(dāng)ZDEC=3O。時(shí)，若BC=2+V5，求4。的長；

(2)如圖2,連接CF,N為CF的中點(diǎn)，連接MN,求證：MN，BE；

(3)如圖3,連接4F,將4尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AG,連接FG、BG、CG,若4c=4,當(dāng)4

ACG周長取得最小值時(shí)，直接寫出^BCG的面積.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】35

10.【答案】V74

11.【答案】13

12.【答案】15V3m

13.【答案】t=)或8

14.【答案】(1)解：原式=x2(X-3)-y2(x-3)

=(X-3)(--y2)

=(x-3)(x-y)(x+y)

(2)解：2x3y+4x2y2+2xy3=2xy(x2+2xy+y2)=2xy(x4-y)2,

x+y=3,xy=2,

.?.原式=2x2x32=36

15.【答案】(1)10

(2)解：?.?年齡在“300xV40”部分的人數(shù)為25,

所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°x||=180°.

(3)解：?.?年齡在“x<20”的4人中有2名男性，2名女性，

.?.設(shè)2名男性用A,B表示，2名女性用C,D表示，根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

開始

第一次ABCD

/N/N/N/N

第二;欠BCDACDABDABC

由上圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，符合條件的結(jié)果有2種，所以恰好抽到2名男性的概率

16.【答案】(1)解：由題意可知：NBA。=30。，Z.DAC=60°,AD=93m,

/o

BD=tan30°xAD=竽x93=31V3(m)-

同理DC=V3AD=93V3(m),

:?BC=BD+DC=31V3+93V3=124V3?215(m)?

答:燕子洞高度約為215m；

(2)解：如圖，過小紅頭頂作EFJ.BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作4GJ.EF于點(diǎn)G,得矩形ADFG,

.*.GF=/D=93巾,

：.FC=1.6+1.29=2.89(m),

'-AG=DF=DC-FC=(9373-2.89)m,

由題意可知："EG=70。，

，tan700=釜,

AG_93V3-2.89

,EG58(TH)，

一tan70°2.74

：.EF=EG+G?=58+93=151(m),

答：小紅與燕子洞洞口的水平距離約為151m.

17.【答案】(1)證明：??FE為。。的直徑,

?"4BE=90。,

?"B4E+乙4EB=90。,

9：AD1BC,

，乙4。9=90。，，

?\/.AFD+Z.FAD=90°,

???AE平分4BAD,

Z.BAE=LFAD,

：.￡.AEB=^AFD;

(2)解：如圖1,過點(diǎn)F作FM_L4B于點(diǎn)M.則乙4M"=90。,

LAFD=/-BFEf乙AFD=〃EB,

:?乙BFE=^AEB,

；.BF=BE=5,

,:(ABE=^AMF=90°,/.BAE=^MAF,

△AMFABE,

.AM_MF

,?而=砒’

即4M_AB_10_

即而一霹一虧-2’

設(shè)MF=x,則4M=2%,

；?BM=10-2x,

'：BM2+MF2=BF2,

??.(10-2X)2+X2=52,

解得x=3,

即MF=3,

平分NBZD,AD1BC,

，DF=MF=3;

(3)解：?.,乙4DB=90。，G為4B的中點(diǎn),

.".AG=DG=BG,OGLAB,

，NBGD=N4GD=90°,

...△ADG為等腰直角三角形,

."GAD=45。，

???乙4BD=45。，

過點(diǎn)F作FH14B于點(diǎn)H,如圖2,

尸平分NB/D,

=FH,

,?ZB。=45。，

；.BF=V2FH=近FD，

'：^LAFD=Z.AEB,^AEB=^C,

."”0=4

：.AF=AC,

又,.[￡?1BC,

：.FD=DC,

設(shè)FD=DC=x,則BF=V2x）

.BF42x42

"=五=，

18.【答案】（1）證明：?.24OB=60。，P為Z710B的平分線上一點(diǎn),

1

?WOP=乙BOP=RAOB=30%

VzMOP+"MP+^MPO=180°,

AzOMP+zMPO=150°,

■:乙MPN=150°,

:?乙MPO+乙OPN=150°,

:?乙OMP=^OPN,

A△MOPjPON,

.OM_0P

,?誕=麗’

：.0P2=OM?ON,

，NMPN是乙4OB的“夢之角”；

(2)解：：NMPN是乙4。8的“夢之角”，

：.OM-ON=OP2,

.OM_OP

'''OP一ON'

?.?P為乙4OB的平分線上一點(diǎn)，

1

，乙MOP=(NOP=R,

/.△MOPFPON,

?"OMP=4。PN,

1

:?(MPN=Z.OPN+乙OPM=乙OMP+"PM180。一好

即NMPN=180°-^a；

過點(diǎn)M作MHLOB于H,如圖2,

圖2

2

則S4MON=30N.MH=30N.OMsina=|OP?sina^

;OP=3,

.「9.

,?S&MON=2$譏。；

(3)解：設(shè)點(diǎn)C(a,b),貝!Jab=4,

過點(diǎn)C作CH_L04于H；分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)；

I、當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，如圖3所示：

BC=3&4不可能；

II、當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上時(shí)，如圖4所示:

YBC=3CA,

.CA_1

,,麗二茶

VCH1OA,BO10A,

：.CH||OB,

C.LACH?△ABO,

.CH__AH_AC_1

^'OB~OA~AB~4,

?b_OA-a_1

^OB=~OA~=T

4

：.0B=4b,04=和，

.八acc4.j16.64

??04?OB=-^a-4b=-^-ab=

???44PB是zAOB的“夢之角”，

：.OP2=OA-OB,

,：Z.AOB=90°,OP平分NZOB,

.OP4V6

f=ypF=丁

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（竽，竽）；

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖5所示:

VBC=3CA,

：.AB=2CA,

.CA_1

??麗=彳

?：CH1OH,BO1OH,

：.CH||OB,

：.^ACH-^ABO.

.”=?=柜」

1

?b_CL-OA=-

^OB=~OA~2

：?0B=2b,OA=^a,

2416

**?OA?OB=-^a-2b=-^ab=

???41PB是乙40B的“夢之角”，

'：LAOB=90%OP平分ZAOB,

.OP2/6

-?XP=-yp=72=~

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（芋，—孚）；

綜上所述：op=§^或竽，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（蜉，竽）或（蜉,

19.【答案】130

20.【答案】34%

21.【答案】①②④

22.【答案】(一2,2)或(1,5)

23.【答案】6V2

24.【答案】(1)解：設(shè)降價(jià)x元，

niilHT而I不結(jié)才1300—%—850、30

則可列不等式：-850一>W

解得：%<195,

.?.最多降價(jià)195元.

(2)解：根據(jù)題意可列方程：(1300-2血一850)X100(1+|zn%)=100X450(1+m%)

解得：mi=95,巾2=0(舍)，

答：m的值為95.

25.【答案】(1)解：?.?拋物線的對稱軸為直線x=2,

?-(2m+2)_

-------2-乙

解得，m=1

所以，拋物線的解析式為：y=x2-4%+3

(2)解：當(dāng)y=—1時(shí)，則%2-4%+3=—1,

解得，x=2,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1)；

當(dāng)x=4時(shí)，y=42-4x4+3=3

，D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3).

如圖,

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b

.(2k+b=—1

4k+b=3

解得，d=2

lb=-5

?,?直線CO的解析式為y=2%-5,

過點(diǎn)P作尸QIIy軸交CD于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Om2-4m+3),

?二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(m,2m—5)

:?PQ=2m—5—(m2—4m+3)=—m2+6m—8,

在中以PQ為底，則高為點(diǎn)C至IJPQ的距離，即為%p-q，

.1

:?S“CQ=2xPQx(%p—%c)

同理可得，SAPPQ=^PQ@D-XP)

??S/jpco=2^XD_+6m—8)

1

=x(4—2)?(―m72+6m—8)

乙

=-m2+6m—8

=—(m—3)2+1

故當(dāng)m=3時(shí)，S“c0的最大值為1

(3)解：Vy=x2—(m+2)x4-m2+2m=(%—m)[x—(m+2)]

，拋物線與x軸交于點(diǎn)(巾，0)與點(diǎn)(m+2,0)

可知73的圖象的解析式為y=-/+(2m+2)x一(m2+2m)(m<%<m+2),

底天僅=—%2+(2m+2)x-(m2+2m)

聯(lián)Iy=x+l

得，x+1=—x2+(2m+2)x—(m2+2m)

?,?%2—(2m+l)x+(m+l)2=0

=(2m+l)2—4(m4-1)2=4m2+4m+1—4(m24-2m4-1)=-4m—3,

當(dāng)—4m—3=0,即m=—,時(shí)，直線y=x+l與圖象&有唯一的交點(diǎn)；

當(dāng)直線y=x+1經(jīng)過(m,0)時(shí)，m=-1；

當(dāng)直線y=%+1經(jīng)過(m+2,0)時(shí)，m--3,

由圖象，可知當(dāng)血＞一尚或一3＜?。家?時(shí)，直線y=久+1與圖象T有兩個(gè)交點(diǎn),

＞?TH2+5/71=(VI+^)2一

①一3Vm＜-1時(shí)，

/.當(dāng)租=—怖時(shí)，M=巾2+57n有最小值一半

當(dāng)m=-1.時(shí),M=—4；當(dāng)m=-3時(shí)，M=—6,

*,?-4MV-4

②TH>—(時(shí),

?**M=m2+5nl有最小值為M=(-1)2+5x(-1)=-

??.M的取值范圍為M>

綜上，—竽WMV—4或M>-

26.【答案】(1)解：如圖：過點(diǎn)D作加/1BC于點(diǎn)H,

???△ABC是等腰直角三角形，乙4二90。,

???ZB=ZC=45°,

???DH1BC,

???乙DHC=90°,

???乙HDC=90°-Z-C=45°,

???DH=CH,

??.△OHC為等腰直角三角形,

CDy[2a

???DH=CH=-^==c

y/2V2

???(DEC=30°,

???DE=2DH=2a,

:.EH=y/DE2—DH2=^/(Za)2—a2=V3a,

???BC=BE+EH+HC=a+V3a+a=2a+V3a,

又,:5C=2+V3

：?2a4-V3a=24-V3>

???a=1,

ACD=y/2a=V2,

???△ABC是等腰直角三角形,

-AC---2+―-V2+—.

后―V2一山+2'

:.AD=AC-CD=V2H—->/2=

(2)證明：如圖：連接BF、ME,過點(diǎn)D作DHLBC于點(diǎn)H,

???乙DEH+乙FEB=90°,

vDH1BC,

???乙DEH+Z.EDH=90°,

???乙FEB=乙EDH,

?:CD=&BE,且CD=&H0，

??.BE=HD,

在和中，

FE=ED

乙FEB=Z.EDH

BE=HD

/.△FEB三△EDH(S4S),

???Z,FBE=(EHD=90°,

?:ED=EF,f]^DEF=90°,

???乙EFD=Z.EDF=45°,

又???乙ABC=45°,

???(EFD=乙ABC=45°,即4EFM=乙MBE=45°,

??.F、B、E、M四點(diǎn)共圓，即四邊形FBEM為圓內(nèi)接四邊形,

???"BE+Z.FME=180°,

???Z.FME=180°一乙FBE=180°-90°=90°,

???EM1FM,

又「EF=ED,

??.FM=DM(三線合一)，

??.點(diǎn)M是D尸的中點(diǎn)，

又?.?點(diǎn)N是CF的中點(diǎn)，

MN是ADFC的中位線，

1

AMN=^DC,

?：CD=?BE，

MN=芍BE；

(3)解：如圖：以AB為邊向外作等邊三角形4BP,連接BF,作直線PG,

由旋轉(zhuǎn)可得：AF=AG,且4凡4G=60°,

.?.A4GF為等邊三角形，

???△4BP為等邊三角形，

AAB=AP,且Z8AP=6O。，

乙FAG=Z.BAP=60°,

Z.FAG+"AF=Z.BAP+/.PAF,

??.Z.BAF=Z-PAG,

在和△PAG中，

AB=AP

^BAF=Z-PAG

AF=AG

???△BAFwzkPAG(SAS),

；?Z-ABF=Z.APG,

由(2)可知，Z.FBE=90°,

???匕ABF=Z.FBE-乙ABC=90°-45°=45°,

???Z.APG=Z.ABF=45°,

???4P是一條定線段，^APG=45°,說明D、E運(yùn)動時(shí)，F(xiàn)隨之運(yùn)動，G也隨之運(yùn)動，但G始終在與

線段4P成45。角的直線上運(yùn)動，或者說點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是一條經(jīng)過點(diǎn)P且與4P夾角大小為45。的直

線，即圖中的直線PQ,

作CL_LPQ,垂足為3

此時(shí)，延長QP、CB交于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作PR1BK,垂足為R,

過點(diǎn)L作垂直為T,如圖:

???△4BP是等邊三角形，

???Z.AP