概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程茆詩松

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程茆詩松匯報人：AA2024-01-19目錄概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法假設(shè)檢驗與方差分析回歸分析初步概率論基本概念0101020304樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合?；臼录话粋€樣本點的事件。復(fù)合事件由兩個或兩個以上的基本事件組成的事件。樣本空間與事件概率定義01在給定條件下，某一事件A發(fā)生的可能性大小的度量，記作P(A)。02概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。03等可能概型每個基本事件發(fā)生的可能性都相等的概率模型。概率定義及性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率如果事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與B相互獨立。獨立性P(AB)=P(A)P(B|A)，用于計算兩個事件的交事件的概率。乘法公式條件概率與獨立性如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。在全概率公式的條件下，可以求得事件Bi已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。全概率公式貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式隨機變量及其分布02隨機變量定義及分類定義隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。分類隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量取值可數(shù)，而連續(xù)型隨機變量取值不可數(shù)。離散型隨機變量的分布律描述了隨機變量取各個值的概率。分布律定義包括0-1分布、二項分布、泊松分布等。常見離散型隨機變量分布離散型隨機變量分布律概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)描述了隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率。常見連續(xù)型隨機變量分布包括均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)隨機變量函數(shù)分布若X是一個隨機變量，g(X)是X的函數(shù)，則g(X)也是一個隨機變量，稱為隨機變量X的函數(shù)。隨機變量函數(shù)的定義當(dāng)已知隨機變量X的分布時，可以通過一定的方法求出g(X)的分布。例如，當(dāng)X服從正態(tài)分布時，g(X)可能服從其他類型的分布，這取決于函數(shù)g的具體形式。隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量及其分布03VS設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度如果二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可微，則稱函數(shù)$f(x,y)$為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量聯(lián)合分布二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)記為$FX(x)$，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)記為$FY(y)$。設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)$，$(X,Y)$關(guān)于Y的邊緣概率密度為$fY(y)$。若對于固定的$y$，$fY(y)>0$，則稱$f(x|y)=f(x,y)/fY(y)$為在$Y=y$條件下$X$的條件概率密度。邊緣分布函數(shù)條件分布邊緣分布與條件分布相互獨立的定義設(shè)二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)$，邊緣概率密度分別為$fX(x)$和$fY(y)$。若對于所有$x,y$有$f(x,y)=fX(x)fY(y)$，則稱隨機變量$X$和$Y$是相互獨立的。相互獨立的性質(zhì)相互獨立的隨機變量具有一些重要性質(zhì)，如獨立隨機變量的和、差、積和商（除數(shù)不為零）仍是相互獨立的隨機變量。相互獨立隨機變量多維隨機變量的函數(shù)設(shè)$(X_1,X_2,...,X_n)$是n維隨機變量，$g(x_1,x_2,...,x_n)$是n元實值函數(shù)，則稱$Z=g(X_1,X_2,...,X_n)$為n維隨機變量的函數(shù)。要點一要點二多維隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量函數(shù)的分布可以通過多維隨機變量的聯(lián)合分布和變換的雅可比行列式來求解。具體方法包括直接法、變換法和卷積法等。多維隨機變量函數(shù)分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法04總體研究對象的全體個體組成的集合，具有共同性質(zhì)。樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)。個體組成總體的每一個基本單位。樣本容量樣本中包含的個體數(shù)目。總體與樣本常用統(tǒng)計量樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩等。統(tǒng)計量由樣本數(shù)據(jù)計算出來的量，用于描述樣本特征。統(tǒng)計量的性質(zhì)無偏性、有效性、一致性等。統(tǒng)計量及其性質(zhì)當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值趨近于總體均值。大數(shù)定律無論總體分布如何，當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。中心極限定理統(tǒng)計量的概率分布，如t分布、F分布、卡方分布等。抽樣分布抽樣分布定理點估計用樣本統(tǒng)計量的某個值來估計總體參數(shù)的方法，如最大似然估計、最小二乘估計等。區(qū)間估計根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個置信區(qū)間，以一定概率包含總體參數(shù)的真值。置信水平和置信區(qū)間是區(qū)間估計的兩個重要概念。估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)無偏性、有效性、一致性、充分性等。參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗與方差分析05假設(shè)檢驗基本原理原假設(shè)與備擇假設(shè)在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)通常是我們要反駁的假設(shè)，而備擇假設(shè)是我們希望證實的假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的一個數(shù)值，用于決定是否拒絕原假設(shè)。拒絕域是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，如果檢驗統(tǒng)計量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)。顯著性水平與P值顯著性水平是事先設(shè)定的一個概率值，用于判斷檢驗統(tǒng)計量的極端程度。P值是觀察到的檢驗統(tǒng)計量或更極端情況出現(xiàn)的概率，如果P值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)。用于檢驗單個正態(tài)總體均值是否等于某個給定值。用于檢驗單個正態(tài)總體方差是否等于某個給定值。單樣本t檢驗卡方檢驗單個正態(tài)總體均值和方差檢驗兩獨立樣本t檢驗用于比較兩個獨立正態(tài)總體的均值是否有顯著差異。F檢驗用于比較兩個獨立正態(tài)總體的方差是否有顯著差異。兩個正態(tài)總體均值和方差比較方差分析基本思想通過分析不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。單因素方差分析研究一個控制變量的不同水平是否對觀察變量產(chǎn)生了顯著影響。多因素方差分析研究兩個或兩個以上的控制變量的不同水平是否對觀察變量產(chǎn)生了顯著影響。方差分析原理及應(yīng)用回歸分析初步06變量關(guān)系描述通過散點圖等方式初步判斷兩個變量之間是否存在線性關(guān)系。模型建立根據(jù)假設(shè)，建立一元線性回歸模型，即$y=beta_0+beta_1x+epsilon$。模型假設(shè)對一元線性回歸模型進行假設(shè)，包括誤差項的獨立性、同方差性等。一元線性回歸模型建立最小二乘法原理通過最小化殘差平方和來估計回歸系數(shù)$beta_0$和$beta_1$。參數(shù)性質(zhì)探討最小二乘法估計量的性質(zhì)，如無偏性、一致性等。參數(shù)估計公式利用最小二乘法原理，推導(dǎo)出回歸系數(shù)的估計公式。最小二乘法估計參數(shù)總平方和分解回歸方程顯著性檢驗將總平方和分解為回歸平方和與殘差平方和兩部分。F