四川省眉山市仁壽第二中學2021屆高三數(shù)學上學期第四次診斷試題文

四川省眉山市仁壽第二中學2021屆高三數(shù)學上學期第四次診斷試題文

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

1.已知集合A={X|X2-X—6<。},集合B={x|x-l>0},則（C；?A）nB=（）

A.[3,+co)B.(1,3]C.(1,3)D.

2

2.若——=a+bi(a,beR),則+*2。=()

1+z

A.-1B.0C.1D.2

3.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知原=5,%,=1。，則/=()

A.15B.16C.19D.20

4.己知a=2O-8,》=（；）43,c=gin5則a,b,c的大小關系為（）

A.c<h<aB.h<a<cC.c<a<bD.a<h<c

5.己知非零向量滿足W=2卜卜且則〃與匕的夾角為（）

6.已知/（x）為偶函數(shù)，當x>0時，/（x）=lnx-3x,則曲線y=/（x）在點（―1,—3）處的切線

與兩坐標軸圍成圖形的面積等于（)

3

A.1B.-

4

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個直角邊為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是兩直角

邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）

A.7nB.8nC.9nD.10Jt

8.在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱

錐尸-被力為陽馬，側(cè)棱為J_底面46徵，PA=A4AD,￡為棱處的中點，則異面直線加與紡

所成角的正弦值為()

A-Tb-Tc-TD-T

9.已知函數(shù)〃x)=log“(x+3)—1(a>0且arl)的圖象恒過定點4若點4在直線

12

〃優(yōu)+紗+4=0上，其中.>(),則一十一的最小值為()

mn

24

A.-B.-C.2I).4

33

10.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線。交于P,Q兩點，且

EP+3FQ=0,則△OPQ(。為坐標原點)的面積S等于()

A.6B.2x/3C.友D.迪

33

11.已知函數(shù)/(x)=sinM+⑶，其中。>0,6《0m,其圖象關于直線x=?對稱，對滿

足|/(與)一/(工2)|=2的與，％,有上一，將函數(shù)/(x)的圖象向左平移7個單位

長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

,R.71

A.左乃，左乃+一(AeZ)B.k?！琸兀、—(AeZ)

62

C.k兀-\—,kjr4---(AeZ)D.kjr----,k/rH----(AeZ)

361212

12.函數(shù)y=/(x),xeR,/(l)=2021,對任意的xeR,都有f(x)—3/>0成立，則不等式

/(X)<d+2020的解集為()

A.(—oo,—l)B.(-1,1)C.(l,+oo)D.(-8,1)

二、填空題(每小題5分，共4小題，共20分)

13.將一顆均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是

4x-y-1>0,

14.若實數(shù)羽丁滿足約束條件，則z=?的最小值是

,x

x+y<4

15.已知橢圓E:J+/=l(a>8>0)的左焦點為尸，經(jīng)過原點O的直線/與橢圓E交于P,Q

兩點，若|PE|=3|Q月，且NPEQ=90°,則橢圓E的離心率為

16.己知點48",〃在球。的表面上，且46=4(7=2,%=20，若三棱錐4-8(力的體積為也1,

3

球心。恰好在棱力〃上，則這個球的表面積為

三、解答題(本大題共6個題,共70分)

17.(本小題滿分12分)已知S“是數(shù)列｛叫的前〃項和，且25,+3=3。.

(1)求｛4｝的通項公式;

1

(2)設a=，求數(shù)列也｝的前”項和7”.

log3a?-log3??+1

18.(本小題滿分12分)設f(x)=cos2x-2cos2(x+—)+1.

6

(1)求/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

A

(2)在銳角中角4B,。的對邊分別為a,b,c,f(—)=l,a=l,求面積的最

大值.

19.如圖所示，/心切是正方形，。是正方形的中心，P0工底面腦CO,底面邊長為。，￡是用的中點

(1)求證：PA〃平面8龐;平面用C_L平面颯'；

(2)若NCOE=30°,求四棱錐力及力的體積.

20.基于移動互聯(lián)技術的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風靡全國，帶給人們新

的出行體驗，某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月

內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，設月份代碼為x,市場占有率為y(%),得結(jié)果如表

年月2018.102018.112018.122019.12019.22019.3

X123456

y111316152021

(1)觀察數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明(精確到0.001)：

(2)求y關于x的線性回歸方程，并預測該公司2019年4月份的市場占有率；

(3)根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴大市場，現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和800

元/輛的甲，乙兩款車型報年限各不相同.考慮到公司的經(jīng)濟效益，該公司決定先對兩款單車各

100輛行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命表如下

車型報廢年限1年2年3年4年總計

甲款10304020100

乙/p>

經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其他成本，假

設每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計每單車使用壽命的概率，以每輛單車產(chǎn)生利潤

的期望值為決策依據(jù).如果你是該公司的負責人，你會選擇采購哪款車型？

參考數(shù)據(jù)：

￡(%,.-X)2=17.5,^-H2=76,￡(X,.-XX^-Y)=3571330*36.5

/=1/=1z=l

____

E(x,「x)(x-y)

參考公式：相關系數(shù)r=7_，回歸方程y=加+a中斜率和截距的最

住(X「對￡(匕-萬

Vf=li=l

￡(X,-9)(匕-歹)

小二乘估計公式分別為b=旦F--------——,a=^-b^.

Z(X,?一又了

/=!

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=or+lnx+l.

(I)若。=一1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)對任意的無＞(),不等式/(幻4",恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

(二)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分.

22.【選修4-4坐標系與參數(shù)方程】(本小題滿分10分)

在直角坐標系X。)，中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標

方程為夕sin9=2.

(1)〃為曲線G上的動點，點P在線段OM上，且滿足PO.OM=-4,求點P的軌跡G的

直角坐標方程；

7T

(2)曲線6上兩點4(月,§)與點6(02，。)，求AQ4B面積的最大值.

23.【選修4-5不等式選講】(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/(x)=|x-l|-|3-2x|.

(1)求不等式/(幻2：(%-1)的解集；

21

(2)若函數(shù)的最大值為〃，且2。+)=〃(。＞0*＞0),求一十一的最小值.

ab

文科數(shù)學(參考答案)

1.A解：A={x\-2<x<3},(R/={x|-2或x23},([RJ)C8={x|x23}=[3,+°°).

2

2.D解：因為——=。+初，所以1—i=〃+所以。=11=一1,所以儲。19+/。20=2

1+i

5X4

3.B設等差數(shù)列{a}的公差為d,由&=5,條=10,可得：5d+一廠d=5,4+54=10,解出即可

5義4

產(chǎn)一

得出。設等差數(shù)列{&}的公差為d,V*S=5,a6=10,??.54+2d=5,句+5d=10,解得：a

5,d=3,則舔=-5+7X3=16.

4.八解：???匕也)-0?3=20?3<2。?..?.1—

又c=-^~ln5=lm/^〈lne=L'cVAVa.故選：A.

5..B解：因為(a—b)-Lb,所以(a—b),b=a,b—b~=。，所以b1所以

ab⑸2i

cos°=Eiq=%n=5,所以“與"的夾角為彳’故選B.

6.C解：F(x)為偶函數(shù)，當x>0時，f(x)=Inx-3x,

當x<0時，可得f(A-)=f(-x)=Jn(-x)+3x,即有x<0時，f(x)=二3,

則曲線y=f(x)在點(-1.-3)處的切線斜率為3-1=2,得切線方程為產(chǎn)3=2(e1),

令x=0,可得尸3-1；令y=0,*=/

則切線與兩坐標軸圍成圖形的面積為故選：C.

224

7.C由三視圖可得，該幾何體為一個三棱錐，如圖三棱錐。一/8G

放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中，易知外接球的直徑2仁轉(zhuǎn)不F轉(zhuǎn)=3,故S球=4“1

=9n.

8.B解：因為在〃或，即/改/為所求,

連接切，則三角形為直角三角形,

不妨設AB=2a,則DE=y/~^a,EC=3a,

則sin/&?=1^=返，故選：B.

EC3

9.C解：令x+3=l,x--2,/(-2)=-1,二A(-2,-l),點A在直線如+町+4=0上，則

—2根一〃+4=0,即2機+〃=4,*.*mn>0,2機+〃=4,/.zn>0,H>0,

n4m

當且僅當一=—,即〃2=1,〃=2時等號成立.故選：C.

mn

10.D解：設P(x，x),Q(x2,y2),直線/的方程為x=Ay+l,將工=母+1代入丁=4%，消

去x可得y2—4⑥一4=0,所以X+%=4%，乂%=-4.

因為b=3QF,所以弘=一3%，所以—3%+必=以，則必=一2&,y,=6k,所以一2h6Z=T,

所以I口=4，

又|。尸|=1,所以△OP。的面積S=g|O用.|x-y2l=gxlx8W=苧

故選：D.

兀

11.A解：已知函數(shù)F(x)=sin(3田。)，其中G)>0,。仁(0,—-),其圖象關于直線

2

IT1T19JT

*=乓-對稱，對滿足|f(Xl)(尼)1=2的Xi,X2,有1小-也*〃=-^-=工-?不一，.?.3=2.再

根據(jù)其圖象關于直線*=工對稱，可得2X26=An+工，ASZ.

662

JTTTTT

：.f(x)=sin(2^—).將函數(shù)F(外的圖象向左平移丁個單位長度得到函數(shù)

666

g(x)=sin(2戶]■+上])=cos2x的圖象.令2A五W2xW24n+n,求得〃冗WxW衣五+[■,

362

JT

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是八五，An+—],Aez,故選：A.

12.D解：設人(x)=f(x)-y,則方'(x)=f(x)-3，>0,(x)在R上為增函數(shù)，h

(1)=F(1)-1'=2020,而/'(x)Vf+2020=f(x)-^<h(1),

即4(x)<h(1),/.x<1.故選：D.

二.填空題

13.根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6=36個.

點數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4個.

41

???出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為P=—=—.

369

4x-y-l>0,

14.；解：由實數(shù)x,y滿足約束條件｛y>\作出可

x+y<4

x+y=4

行域如圖所示，聯(lián)立｛,,解得B(3,1),

y=i

由目標函數(shù)z=lny-lnx=ln￡,而上的最小值為人利=->

xx3

；.Z的最小值是故答案為

33

15.巫解：取橢圓的右焦點"，連接W,外，

4

由橢圓的對稱性，可得四邊形/FS'為平行四邊形，

則I/1=1明，Z/^=n-ZW=180°-90°=90°,

|所|=3|明,而|所|+|/|=2a,所以|所|=楙,所以|兩=爭,

在RT△府中，(烏產(chǎn)+(女)2=(2c)2,解得：6=巫，故答案為：叵.

2244

16.解：如圖，由題意可知球心。為/〃的中點,

D

由四=然=2,6c=2近可得為直角三角形,

8C的中點"即為其外接圓圓心，平面CAB,

且〃到平面“夕的距離為20M,

114^2

...U=VD-ABCKS/ICABX20M=yX2X20M——，

0M=近

在直角三角形〃如中，r=a?=J，〃M=2,，s球=4打=2=16%故答案為16n.

三、解答題（本大題共6個題，共70分）

33

17.解：⑴因為5.=萬（4一1）,所以S.M=5（%+「1）.

3

相減得Sn+l-Sn=-（fl?+1-2分

3

所以??+1=/（%+「%），所以%=3%.

3

又S[=%=：（《一1）,解得4=3,

所以｛《,｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以%=q3"=3",

即｛%｝的通項公式為?！?3”.6分

,1111

（2）由（1）可得勿------:-------=———=--------.8分

log3anlog3all+i+n〃+1

n。1「1n八

―+…+-------=1------------.12分

3)〃+〃+1〃+1

j(j(jI

18.解：(1)f(x)=cos2%-2cos’(石)+I=cos2x-cos2(肝---)=cos2x-cos(2戶---)

663

=cos2%--^-cos2x+^^-sin2^=-i-cos2^+^^-sin2^=sin(2x+~^~),?3分?3分

22226

717r7T

則由2k/W2戶W2An+,k￡Z,

262

TTIT

得A■n----WxMkn+，keZ,

36

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［Am-卷，］z-ez............3分

AJT+A,6分

AAJTK

(2)若/'(皂)=1,則sin(2X—+--)=sin(4+---)=1,

2266

TTTTTT

??3是銳角，，力+?=冬，得/=冬?.........................2分8分

623

V5=1,/.由余弦定理得a=t)+c-2bccosAf

即l=Z/+c2-6c226c-6c=6c,/.bc^：1,當且僅當6=。時取等號，2分?10分

則三角形的面積S=56csin/WLX1乂叵=昱,

2224

即三角形面積的最大值為退...................................2分?12分

4

19.【詳解】解：（1）證明：連接應如圖所示.

:。、《分別為/G用的中點，...施?〃川.

?施t:平面被5；P依平面8龐,胡〃平面胭1；.................3分?3分

VW±￥ffiABCD,J.POYBD,在正方形［乞力中，BD1AC,

又＜POCAC=O,.*.協(xié)_1平面為C.

又以七平面糜，...平面切CJ_平面艇'；.......................3分?6分

P

(2)若NC龐'=30°,取OC中點R連接阮/

由上可得OF=^OC=^AC=J^-a,

4*B

:.EF=OF,tan30°=^-a,：,OP=2EF=^-a.

126

2

Vp.幽=LxaXJLa=^-a6分?12分

3618

20.解：（1）由參考數(shù)據(jù)可得r=,第=35=產(chǎn)959,接近1,

417.5X76-V1330—36.5

??.y與x之間具有較強的線性相關關系，可用線性回歸模型進行擬合；4分?4分

35-1+2+3+4+5+60<_一11+13+16+15+20+21,,

…玉丁N---------g---------=3.5,V：-----------------------------=1&

a=y-b7=16-2X3.5=9'

關于/的線性回歸方程為1°上探

y=2x+9

2019年4月份代碼x=7,代入線性回歸方程得“于是2019年4月份的市場占有率預報值

為23%；..............................................................................................................4分?8分

（3）用頻率估計概率，甲款單車的利潤X的分布列為

X-50005001000

P0.10.30.40.2

E(r>=-500X0.1+0X0.3+500X0.4+1000X0.2=350(元).

乙款單車的利潤y的分布列為

Y-3002007001200

P0.150.40.350.1

￡,(D=-300X0.15+200X0.4+700X0.35+1200X0.1=400(元).

以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，故應選擇乙款車型.???4分?12分

21.解：(I)x>0/'(x)=-A+/〃X+1,f7(x)z：-..................2分?2分

令/（x）>0,得0<x<l；令/（X）<0,得x>l；

??.F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),?2分?4分

(II)不等式a戶/〃戶1We,恒成立，等價于&4￡二1里二1.在(0,+8)恒成立，

x

令g(x);e'-lnx-l,x〉0,g’(x)3-)件型,.......2分?6分

XX

令h(x)=(x-l)3+lnx,%>0,h，(x)二x巳、)^〉0，????2分?8分

x

所以力(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，而力(1)=0,

所以(0,1)時，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

xG(1,+8)時，hQx)>0,即g'(%)>0,g(x)單調(diào)遞增；

所以在x=l處g(x)取得最小值g(1)=e-1

所以dWe-l,即實數(shù)a的取值范圍是........