既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列題型總結(jié)

既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的題型及解體方法累加法：形如例題：已知數(shù)列滿足，求解析：由題可得：累乘法：形如例題：已知數(shù)列滿足，求解析：由題可得：遞推法：公式為和的關(guān)系式，解題方法：例題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求解析：由題可得：時(shí)，時(shí)，，此時(shí)數(shù)列不滿足綜上所述：4、裂項(xiàng)相消法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為關(guān)于項(xiàng)數(shù)的分?jǐn)?shù)，并且分子分母相差為定值。常見(jiàn)的幾種裂項(xiàng)：例題：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求并證明解析：由題可得:5、錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列或者等差數(shù)列除以一個(gè)等比數(shù)列題型，即（為等差數(shù)列，為等比數(shù)列）例題：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列前項(xiàng)和解析：由題可得：...(1)等式左右兩邊同時(shí)乘以2可得：...(2)-(2)式得：分組求和法：適用于通項(xiàng)公式由等差數(shù)列、等比數(shù)列以及常數(shù)列線性組合而成的數(shù)列例題：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前項(xiàng)和解析：待定系數(shù)法：題型一：（均為常數(shù)且）處理方法：假設(shè)，即，即，令，則即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列例題：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：設(shè)，即令，則，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，題型二：（為常數(shù)，且）處理方法：等式左右兩邊同時(shí)除以得：令（均為常數(shù)），則（為常數(shù)且）即變?yōu)樾问揭?，再用待定系?shù)法處理例題:已知數(shù)列滿足,，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：由題可得：令，則設(shè)，即令，則，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，題型三：形如（為實(shí)數(shù)，）處理方法：等式左右兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，令，，則（為實(shí)數(shù)且）即變?yōu)樾问揭?，再用待定系?shù)法處理例題：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：由題可得：令，則設(shè)，即令，則，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，又題型四：形如（為常數(shù)，）處理方法：等式左右兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：令，則（），即變?yōu)樾问揭?，再采用待定系?shù)法例題：已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：等式左右兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：，即令，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，特征根法：形如（為常數(shù)），其特征根方程為：，即處理方法：假設(shè)（為常數(shù)），即故為一元二次方程的兩個(gè)根若此方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則我們可以得到，求出的通項(xiàng)公式，再利用待定系數(shù)法求出；若此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則我們可以得到和兩個(gè)等比數(shù)列，分別求出和的通項(xiàng)公式，然后兩式相減可以得到例題1：已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：由題可得：數(shù)列的特征根方程為,方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(1)(2)-(1)式得：例題2：已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：由題可得：數(shù)列的特征根方程為，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即等式左右兩邊同時(shí)除以得：令，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)法：形如（均為常數(shù)）不動(dòng)點(diǎn)定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存?使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。即若函數(shù)在定義域范圍內(nèi)與直線有交點(diǎn)，則函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)。處理方法：設(shè)（）若有2個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)，則（），即數(shù)列為等差數(shù)列若有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則（），即數(shù)列為等比數(shù)列證明：（1）當(dāng)有2個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)有唯一解，即有唯一解，，即（2）當(dāng)有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)例題1：已知數(shù)列滿足（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：令，解得：故數(shù)列有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)數(shù)列滿足，故數(shù)列是以為首項(xiàng)